Theorem onsupcl2 43182

Description: The supremum of a set of ordinals is an ordinal. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onsupcl2	⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On → ∪ 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsupcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwb 4590	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ On))
2		ssonuni 7783	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ On → ∪ 𝐴 ∈ On))
3	2	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ On) → ∪ 𝐴 ∈ On)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On → ∪ 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464   ⊆ wss 3933  𝒫 cpw 4582  ∪ cuni 4889  Oncon0 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-opab 5188  df-tr 5242  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-ord 6368  df-on 6369

This theorem is referenced by: (None)