Theorem onsupcl2 43685

Description: The supremum of a set of ordinals is an ordinal. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onsupcl2	⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On → ∪ 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsupcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwb 4540	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ On))
2		ssonuni 7727	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ On → ∪ 𝐴 ∈ On))
3	2	imp 408	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ On) → ∪ 𝐴 ∈ On)
4	1, 3	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On → ∪ 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532  ∪ cuni 4841  Oncon0 6314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-sb 2075  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-tr 5183  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-ord 6317  df-on 6318

This theorem is referenced by: (None)