Theorem onsupcl2 42890

Description: The supremum of a set of ordinals is an ordinal. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onsupcl2	⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On → ∪ 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsupcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwb 4615	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ On))
2		ssonuni 7788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ On → ∪ 𝐴 ∈ On))
3	2	imp 405	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ On) → ∪ 𝐴 ∈ On)
4	1, 3	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On → ∪ 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4607  ∪ cuni 4913  Oncon0 6376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-tr 5271  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6379  df-on 6380

This theorem is referenced by: (None)