Theorem onsupcl2 44417

Description: The supremum of a set of ordinals is an ordinal. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
onsupcl2	⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On → ∪ 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem onsupcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwb 4568	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ On))
2		ssonuni 7815	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ⊆ On → ∪ 𝐴 ∈ On))
3	2	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ On) → ∪ 𝐴 ∈ On)
4	1, 3	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 On → ∪ 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  Oncon0 6377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6380  df-on 6381

This theorem is used by: (None)