Theorem oplecon3b 38728

Description: Contraposition law for orthoposets. (chsscon3 31354 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opcon3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opcon3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
opcon3.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oplecon3b	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ≤ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem oplecon3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opcon3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		opcon3.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		opcon3.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	1, 2, 3	oplecon3 38727	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ( ⊥ ‘𝑌) ≤ ( ⊥ ‘𝑋)))
5		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6	1, 3	opoccl 38722	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	6	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
8	1, 3	opoccl 38722	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3	oplecon3 38727	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌) ≤ ( ⊥ ‘𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≤ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌) ≤ ( ⊥ ‘𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≤ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
12	1, 3	opococ 38723	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
13	12	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
14	1, 3	opococ 38723	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
15	14	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
16	13, 15	breq12d 5156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≤ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
17	11, 16	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌) ≤ ( ⊥ ‘𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑌))
18	4, 17	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ≤ ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  Basecbs 17179  lecple 17239  occoc 17240  OPcops 38700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-nul 5301

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-dm 5682  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oposet 38704

This theorem is referenced by:  oplecon1b  38729  opltcon3b  38732  oldmm1  38745  omllaw4  38774  cvrcmp2  38812  glbconN  38905  glbconNOLD  38906  lhpmod2i2  39567  lhpmod6i1  39568  lhprelat3N  39569  dochss  40894