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Theorem glbconNOLD 38905
Description: Obsolete version of glbconN 38904 as of 3-Jan-2025. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
glbcon.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
glbcon.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
glbcon.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
glbconNOLD ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜(π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆})))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯, βŠ₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem glbconNOLD
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqin2 4209 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 ∩ 𝑆) = 𝑆)
21biimpi 215 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 ∩ 𝑆) = 𝑆)
3 dfin5 3948 . . . 4 (𝐡 ∩ 𝑆) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}
42, 3eqtr3di 2780 . . 3 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑆 = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆})
54fveq2d 6895 . 2 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}))
6 glbcon.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 eqid 2725 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
8 glbcon.g . . . 4 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
9 biid 260 . . . 4 ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦)))
10 id 22 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 ssrab2 4069 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡
1211a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡)
136, 7, 8, 9, 10, 12glbval 18358 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}) = (℩𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))))
14 hlop 38889 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
15 hlclat 38885 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
166, 8clatglbcl 18494 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}) ∈ 𝐡)
1715, 11, 16sylancl 584 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ (πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}) ∈ 𝐡)
1813, 17eqeltrrd 2826 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (℩𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))) ∈ 𝐡)
196fvexi 6905 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
2019riotaclbBAD 38482 . . . . 5 (βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦)) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))) ∈ 𝐡)
2118, 20sylibr 233 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦)))
22 glbcon.o . . . . 5 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
23 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ (𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧))
2423ralbidv 3168 . . . . . 6 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧))
25 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ (𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))
2625imbi2d 339 . . . . . . 7 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
2726ralbidv 3168 . . . . . 6 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
2824, 27anbi12d 630 . . . . 5 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))))
296, 22, 28riotaocN 38736 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))) β†’ (℩𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))) = ( βŠ₯ β€˜(℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))))
3014, 21, 29syl2anc 582 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (℩𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))) = ( βŠ₯ β€˜(℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))))
3114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
326, 22opoccl 38721 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
3331, 32sylancom 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
3414ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
356, 22opoccl 38721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
3634, 35sylancom 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
376, 22opococ 38722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)) = 𝑧)
3834, 37sylancom 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)) = 𝑧)
3938eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)))
40 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ( βŠ₯ β€˜π‘§) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘’) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)))
4140rspceeqv 3624 . . . . . . . . . . 11 ((( βŠ₯ β€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’))
4236, 39, 41syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’))
43 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆))
44 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
4543, 44imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
4645adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
4733, 42, 46ralxfrd 5402 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
48 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
49 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
506, 7, 22oplecon3b 38727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
5131, 48, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
5251imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
5352ralbidva 3166 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
5447, 53bitr4d 281 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣)))
55 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ 𝑧 ∈ 𝑆))
5655ralrab 3681 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧))
57 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) = ( βŠ₯ β€˜π‘’))
5857eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆))
5958ralrab 3681 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣))
6054, 56, 593bitr4g 313 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣))
6114ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
626, 22opoccl 38721 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
6361, 62sylancom 586 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
6414ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
656, 22opoccl 38721 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
6664, 65sylancom 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
676, 22opococ 38722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘€)) = 𝑀)
6864, 67sylancom 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘€)) = 𝑀)
6968eqcomd 2731 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘€)))
70 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ( βŠ₯ β€˜π‘€) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘€)))
7170rspceeqv 3624 . . . . . . . . . 10 ((( βŠ₯ β€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘€))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘))
7266, 69, 71syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘))
73 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘) β†’ (𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧))
7473ralbidv 3168 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧))
75 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘) β†’ (𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£) ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))
7674, 75imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
7776adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘)) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
7863, 72, 77ralxfrd 5402 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
7914ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
80 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
81 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
826, 7, 22oplecon3b 38727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
8379, 80, 81, 82syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
8483imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
8584ralbidva 3166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
8679, 32sylancom 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
8714ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
8887, 35sylancom 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
8987, 37sylancom 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)) = 𝑧)
9089eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)))
9188, 90, 41syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’))
92 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
9343, 92imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
9493adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
9586, 91, 94ralxfrd 5402 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
9685, 95bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧)))
9758ralrab 3681 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑))
9855ralrab 3681 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧))
9996, 97, 983bitr4g 313 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧))
100 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
101 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
1026, 7, 22oplecon3b 38727 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))
10361, 100, 101, 102syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))
10499, 103imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
105104ralbidva 3166 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
10678, 105bitr4d 281 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑)))
10760, 106anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))) ↔ (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑))))
108107riotabidva 7391 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))) = (℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑))))
109 ssrab2 4069 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡
110 glbcon.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
111 biid 260 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑)) ↔ (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑)))
112 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
113 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡)
1146, 7, 110, 111, 112, 113lubval 18345 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}) = (℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑))))
115109, 114mpan2 689 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}) = (℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑))))
116108, 115eqtr4d 2768 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))) = (π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}))
117116fveq2d 6895 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ ( βŠ₯ β€˜(℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))) = ( βŠ₯ β€˜(π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆})))
11813, 30, 1173eqtrd 2769 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ (πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}) = ( βŠ₯ β€˜(π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆})))
1195, 118sylan9eqr 2787 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜(π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  βˆƒ!wreu 3362  {crab 3419   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  β„©crio 7370  Basecbs 17177  lecple 17237  occoc 17238  lubclub 18298  glbcglb 18299  CLatccla 18487  OPcops 38699  HLchlt 38877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-riotaBAD 38480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-undef 8275  df-lub 18335  df-glb 18336  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-hlat 38878
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