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Theorem glbconNOLD 37886
Description: Obsolete version of glbconN 37885 as of 3-Jan-2025. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
glbcon.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
glbcon.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
glbcon.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
glbconNOLD ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜(π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆})))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯, βŠ₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem glbconNOLD
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqin2 4176 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 ∩ 𝑆) = 𝑆)
21biimpi 215 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 ∩ 𝑆) = 𝑆)
3 dfin5 3919 . . . 4 (𝐡 ∩ 𝑆) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}
42, 3eqtr3di 2788 . . 3 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑆 = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆})
54fveq2d 6847 . 2 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}))
6 glbcon.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 eqid 2733 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
8 glbcon.g . . . 4 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
9 biid 261 . . . 4 ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦)))
10 id 22 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 ssrab2 4038 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡
1211a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡)
136, 7, 8, 9, 10, 12glbval 18263 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}) = (℩𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))))
14 hlop 37870 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
15 hlclat 37866 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
166, 8clatglbcl 18399 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}) ∈ 𝐡)
1715, 11, 16sylancl 587 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ (πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}) ∈ 𝐡)
1813, 17eqeltrrd 2835 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (℩𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))) ∈ 𝐡)
196fvexi 6857 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
2019riotaclbBAD 37463 . . . . 5 (βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦)) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))) ∈ 𝐡)
2118, 20sylibr 233 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦)))
22 glbcon.o . . . . 5 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
23 breq1 5109 . . . . . . 7 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ (𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧))
2423ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧))
25 breq2 5110 . . . . . . . 8 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ (𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))
2625imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
2726ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
2824, 27anbi12d 632 . . . . 5 (𝑦 = ( βŠ₯ β€˜π‘£) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))))
296, 22, 28riotaocN 37717 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))) β†’ (℩𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))) = ( βŠ₯ β€˜(℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))))
3014, 21, 29syl2anc 585 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (℩𝑦 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)𝑦))) = ( βŠ₯ β€˜(℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))))
3114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
326, 22opoccl 37702 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
3331, 32sylancom 589 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
3414ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
356, 22opoccl 37702 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
3634, 35sylancom 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
376, 22opococ 37703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)) = 𝑧)
3834, 37sylancom 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)) = 𝑧)
3938eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)))
40 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ( βŠ₯ β€˜π‘§) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘’) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)))
4140rspceeqv 3596 . . . . . . . . . . 11 ((( βŠ₯ β€˜π‘§) ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’))
4236, 39, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’))
43 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆))
44 breq2 5110 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
4543, 44imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
4645adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
4733, 42, 46ralxfrd 5364 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
48 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
49 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
506, 7, 22oplecon3b 37708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
5131, 48, 49, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
5251imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
5352ralbidva 3169 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
5447, 53bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣)))
55 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ 𝑧 ∈ 𝑆))
5655ralrab 3652 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧))
57 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) = ( βŠ₯ β€˜π‘’))
5857eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆))
5958ralrab 3652 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣))
6054, 56, 593bitr4g 314 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣))
6114ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
626, 22opoccl 37702 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
6361, 62sylancom 589 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
6414ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
656, 22opoccl 37702 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
6664, 65sylancom 589 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘€) ∈ 𝐡)
676, 22opococ 37703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘€)) = 𝑀)
6864, 67sylancom 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘€)) = 𝑀)
6968eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘€)))
70 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ( βŠ₯ β€˜π‘€) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘€)))
7170rspceeqv 3596 . . . . . . . . . 10 ((( βŠ₯ β€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘€))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘))
7266, 69, 71syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘))
73 breq1 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘) β†’ (𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧))
7473ralbidv 3171 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧))
75 breq1 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘) β†’ (𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£) ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))
7674, 75imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
7776adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑀 = ( βŠ₯ β€˜π‘‘)) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
7863, 72, 77ralxfrd 5364 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
7914ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
80 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
81 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
826, 7, 22oplecon3b 37708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
8379, 80, 81, 82syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
8483imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
8584ralbidva 3169 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
8679, 32sylancom 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
8714ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
8887, 35sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘§) ∈ 𝐡)
8987, 37sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)) = 𝑧)
9089eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘§)))
9188, 90, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’))
92 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’)))
9343, 92imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
9493adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 = ( βŠ₯ β€˜π‘’)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
9586, 91, 94ralxfrd 5364 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘’))))
9685, 95bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧)))
9758ralrab 3652 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 (( βŠ₯ β€˜π‘’) ∈ 𝑆 β†’ 𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑))
9855ralrab 3652 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧))
9996, 97, 983bitr4g 314 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧))
100 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
101 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
1026, 7, 22oplecon3b 37708 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))
10361, 100, 101, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))
10499, 103imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
105104ralbidva 3169 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‘)(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))
10678, 105bitr4d 282 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑)))
10760, 106anbi12d 632 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))) ↔ (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑))))
108107riotabidva 7334 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))) = (℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑))))
109 ssrab2 4038 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡
110 glbcon.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
111 biid 261 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑)) ↔ (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑)))
112 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
113 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡)
1146, 7, 110, 111, 112, 113lubval 18250 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆} βŠ† 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}) = (℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑))))
115109, 114mpan2 690 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}) = (℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑣 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}𝑒(leβ€˜πΎ)𝑑 β†’ 𝑣(leβ€˜πΎ)𝑑))))
116108, 115eqtr4d 2776 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£)))) = (π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆}))
117116fveq2d 6847 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ ( βŠ₯ β€˜(℩𝑣 ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆} ( βŠ₯ β€˜π‘£)(leβ€˜πΎ)𝑧 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}𝑀(leβ€˜πΎ)𝑧 β†’ 𝑀(leβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘£))))) = ( βŠ₯ β€˜(π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆})))
11813, 30, 1173eqtrd 2777 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ (πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ 𝑆}) = ( βŠ₯ β€˜(π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆})))
1195, 118sylan9eqr 2795 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ( βŠ₯ β€˜(π‘ˆβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ ( βŠ₯ β€˜π‘₯) ∈ 𝑆})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3350  {crab 3406   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  Basecbs 17088  lecple 17145  occoc 17146  lubclub 18203  glbcglb 18204  CLatccla 18392  OPcops 37680  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-undef 8205  df-lub 18240  df-glb 18241  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-hlat 37859
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