Theorem lhpmod2i2 40498

Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 40322 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmod.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmod2i2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem lhpmod2i2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1r 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		lhpmod.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	3, 4, 5	lhpocat 40477	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8		hlop 39822	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
10		simp2l 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		lhpmod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12	11, 3	opoccl 39654	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14		simp2r 1202	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	11, 3	opoccl 39654	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	9, 14, 15	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17		simp3 1139	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ≤ 𝑋)
18		lhpmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19	11, 18, 3	oplecon3b 39660	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
20	9, 14, 10, 19	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
21	17, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌))
22		lhpmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		lhpmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
24	11, 18, 22, 23, 4	atmod1i2 40319	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
25	1, 7, 13, 16, 21, 24	syl131anc 1386	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
26	1	hllatd 39824	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
27	11, 5	lhpbase 40458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
28	2, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐵)
29	11, 23	latmcl 18397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
30	26, 10, 28, 29	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
31	11, 22	latjcl 18396	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
32	26, 30, 14, 31	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
33	11, 22	latjcl 18396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
34	26, 28, 14, 33	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
35	11, 23	latmcl 18397	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)
36	26, 10, 34, 35	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)
37	11, 3	opcon3b 39656	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌))))
38	9, 32, 36, 37	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌))))
39		hlol 39821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40	1, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ OL)
41	11, 22, 23, 3	oldmm1 39677	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))))
42	40, 10, 34, 41	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))))
43	11, 22, 23, 3	oldmj1 39681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
44	40, 28, 14, 43	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
45	44	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
46	42, 45	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
47	11, 22, 23, 3	oldmj1 39681	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
48	40, 30, 14, 47	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
49	11, 22, 23, 3	oldmm1 39677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
50	40, 10, 28, 49	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
51	50	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
52	48, 51	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
53	46, 52	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
54	38, 53	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
55	25, 54	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  lecple 17218  occoc 17219  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  OPcops 39632  OLcol 39634  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  LHypclh 40444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-lhyp 40448

This theorem is referenced by:  cdleme30a  40838  trlcolem  41186