Theorem lhpmod2i2 40157

Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 39981 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmod.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmod2i2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem lhpmod2i2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1r 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		lhpmod.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	3, 4, 5	lhpocat 40136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8		hlop 39481	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
10		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		lhpmod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12	11, 3	opoccl 39313	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	11, 3	opoccl 39313	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	9, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ≤ 𝑋)
18		lhpmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19	11, 18, 3	oplecon3b 39319	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
20	9, 14, 10, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
21	17, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌))
22		lhpmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		lhpmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
24	11, 18, 22, 23, 4	atmod1i2 39978	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
25	1, 7, 13, 16, 21, 24	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
26	1	hllatd 39483	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
27	11, 5	lhpbase 40117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
28	2, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐵)
29	11, 23	latmcl 18348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
30	26, 10, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
31	11, 22	latjcl 18347	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
32	26, 30, 14, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
33	11, 22	latjcl 18347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
34	26, 28, 14, 33	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
35	11, 23	latmcl 18348	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)
36	26, 10, 34, 35	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)
37	11, 3	opcon3b 39315	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌))))
38	9, 32, 36, 37	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌))))
39		hlol 39480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40	1, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ OL)
41	11, 22, 23, 3	oldmm1 39336	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))))
42	40, 10, 34, 41	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))))
43	11, 22, 23, 3	oldmj1 39340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
44	40, 28, 14, 43	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
45	44	oveq2d 7368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
46	42, 45	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
47	11, 22, 23, 3	oldmj1 39340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
48	40, 30, 14, 47	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
49	11, 22, 23, 3	oldmm1 39336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
50	40, 10, 28, 49	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
51	50	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
52	48, 51	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
53	46, 52	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
54	38, 53	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
55	25, 54	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  lecple 17170  occoc 17171  joincjn 18219  meetcmee 18220  Latclat 18339  OPcops 39291  OLcol 39293  Atomscatm 39382  HLchlt 39469  LHypclh 40103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-p1 18332  df-lat 18340  df-clat 18407  df-oposet 39295  df-ol 39297  df-oml 39298  df-covers 39385  df-ats 39386  df-atl 39417  df-cvlat 39441  df-hlat 39470  df-psubsp 39622  df-pmap 39623  df-padd 39915  df-lhyp 40107

This theorem is referenced by:  cdleme30a  40497  trlcolem  40845