Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmod2i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmod2i2 37292
Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 37116 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l = (le‘𝐾)
lhpmod.j = (join‘𝐾)
lhpmod.m = (meet‘𝐾)
lhpmod.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmod2i2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((𝑋 𝑊) 𝑌) = (𝑋 (𝑊 𝑌)))

Proof of Theorem lhpmod2i2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑊𝐻)
3 eqid 2822 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 eqid 2822 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5 lhpmod.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
63, 4, 5lhpocat 37271 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
71, 2, 6syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8 hlop 36616 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
91, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
10 simp2l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑋𝐵)
11 lhpmod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1211, 3opoccl 36448 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
139, 10, 12syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14 simp2r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌𝐵)
1511, 3opoccl 36448 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
169, 14, 15syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌 𝑋)
18 lhpmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
1911, 18, 3oplecon3b 36454 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
209, 14, 10, 19syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2117, 20mpbid 235 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌))
22 lhpmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
23 lhpmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
2411, 18, 22, 23, 4atmod1i2 37113 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
251, 7, 13, 16, 21, 24syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
261hllatd 36618 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
2711, 5lhpbase 37252 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
282, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑊𝐵)
2911, 23latmcl 17653 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
3026, 10, 28, 29syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
3111, 22latjcl 17652 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑊) 𝑌) ∈ 𝐵)
3226, 30, 14, 31syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((𝑋 𝑊) 𝑌) ∈ 𝐵)
3311, 22latjcl 17652 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊𝐵𝑌𝐵) → (𝑊 𝑌) ∈ 𝐵)
3426, 28, 14, 33syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑊 𝑌) ∈ 𝐵)
3511, 23latmcl 17653 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑊 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑊 𝑌)) ∈ 𝐵)
3626, 10, 34, 35syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑋 (𝑊 𝑌)) ∈ 𝐵)
3711, 3opcon3b 36450 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑋 𝑊) 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 (𝑊 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑋 𝑊) 𝑌) = (𝑋 (𝑊 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌))))
389, 32, 36, 37syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((𝑋 𝑊) 𝑌) = (𝑋 (𝑊 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌))))
39 hlol 36615 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
401, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ OL)
4111, 22, 23, 3oldmm1 36471 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑊 𝑌) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑊 𝑌))))
4240, 10, 34, 41syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑊 𝑌))))
4311, 22, 23, 3oldmj1 36475 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4440, 28, 14, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4544oveq2d 7156 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑊 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
4642, 45eqtrd 2857 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
4711, 22, 23, 3oldmj1 36475 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4840, 30, 14, 47syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4911, 22, 23, 3oldmm1 36471 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
5040, 10, 28, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
5150oveq1d 7155 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
5248, 51eqtrd 2857 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
5346, 52eqeq12d 2838 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑊 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑊) 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
5438, 53bitrd 282 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → (((𝑋 𝑊) 𝑌) = (𝑋 (𝑊 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
5525, 54mpbird 260 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑌 𝑋) → ((𝑋 𝑊) 𝑌) = (𝑋 (𝑊 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  occoc 16564  joincjn 17545  meetcmee 17546  Latclat 17646  OPcops 36426  OLcol 36428  Atomscatm 36517  HLchlt 36604  LHypclh 37238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36430  df-ol 36432  df-oml 36433  df-covers 36520  df-ats 36521  df-atl 36552  df-cvlat 36576  df-hlat 36605  df-psubsp 36757  df-pmap 36758  df-padd 37050  df-lhyp 37242
This theorem is referenced by:  cdleme30a  37632  trlcolem  37980
  Copyright terms: Public domain W3C validator