Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmod2i2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lhpmod2i2 38909
Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 38733 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhpmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhpmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lhpmod.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpmod2i2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem lhpmod2i2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3 eqid 2733 . . . . 5 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
4 eqid 2733 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
5 lhpmod.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
63, 4, 5lhpocat 38888 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
71, 2, 6syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
8 hlop 38232 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
91, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ OP)
10 simp2l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 lhpmod.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1211, 3opoccl 38064 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
139, 10, 12syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
14 simp2r 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1511, 3opoccl 38064 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
169, 14, 15syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
17 simp3 1139 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
18 lhpmod.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1911, 18, 3oplecon3b 38070 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
209, 14, 10, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
2117, 20mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))
22 lhpmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
23 lhpmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2411, 18, 22, 23, 4atmod1i2 38730 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
251, 7, 13, 16, 21, 24syl131anc 1384 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
261hllatd 38234 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2711, 5lhpbase 38869 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
282, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2911, 23latmcl 18393 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
3026, 10, 28, 29syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
3111, 22latjcl 18392 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
3226, 30, 14, 31syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
3311, 22latjcl 18392 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
3426, 28, 14, 33syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Š ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
3511, 23latmcl 18393 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
3626, 10, 34, 35syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
3711, 3opcon3b 38066 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ)) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ))))
389, 32, 36, 37syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ)) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ))))
39 hlol 38231 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
401, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ OL)
4111, 22, 23, 3oldmm1 38087 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Š ∨ π‘Œ))))
4240, 10, 34, 41syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Š ∨ π‘Œ))))
4311, 22, 23, 3oldmj1 38091 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Š ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
4440, 28, 14, 43syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Š ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
4544oveq2d 7425 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Š ∨ π‘Œ))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))))
4642, 45eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))))
4711, 22, 23, 3oldmj1 38091 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
4840, 30, 14, 47syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
4911, 22, 23, 3oldmm1 38087 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
5040, 10, 28, 49syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
5150oveq1d 7424 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
5248, 51eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
5346, 52eqeq12d 2749 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ))) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ)) ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))))
5438, 53bitrd 279 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ)) ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))))
5525, 54mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (π‘Š ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  occoc 17205  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  OPcops 38042  OLcol 38044  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859
This theorem is referenced by:  cdleme30a  39249  trlcolem  39597
  Copyright terms: Public domain W3C validator