Theorem lhpmod2i2 38501

Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 38325 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmod.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmod2i2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem lhpmod2i2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1197	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1r 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		lhpmod.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	3, 4, 5	lhpocat 38480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8		hlop 37824	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
10		simp2l 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		lhpmod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12	11, 3	opoccl 37656	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14		simp2r 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	11, 3	opoccl 37656	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	9, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ≤ 𝑋)
18		lhpmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19	11, 18, 3	oplecon3b 37662	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
20	9, 14, 10, 19	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
21	17, 20	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌))
22		lhpmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		lhpmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
24	11, 18, 22, 23, 4	atmod1i2 38322	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
25	1, 7, 13, 16, 21, 24	syl131anc 1383	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
26	1	hllatd 37826	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
27	11, 5	lhpbase 38461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
28	2, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐵)
29	11, 23	latmcl 18329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
30	26, 10, 28, 29	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
31	11, 22	latjcl 18328	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
32	26, 30, 14, 31	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
33	11, 22	latjcl 18328	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
34	26, 28, 14, 33	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
35	11, 23	latmcl 18329	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)
36	26, 10, 34, 35	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)
37	11, 3	opcon3b 37658	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌))))
38	9, 32, 36, 37	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌))))
39		hlol 37823	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40	1, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ OL)
41	11, 22, 23, 3	oldmm1 37679	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))))
42	40, 10, 34, 41	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))))
43	11, 22, 23, 3	oldmj1 37683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
44	40, 28, 14, 43	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
45	44	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
46	42, 45	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
47	11, 22, 23, 3	oldmj1 37683	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
48	40, 30, 14, 47	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
49	11, 22, 23, 3	oldmm1 37679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
50	40, 10, 28, 49	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
51	50	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
52	48, 51	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
53	46, 52	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
54	38, 53	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
55	25, 54	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  occoc 17141  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  OPcops 37634  OLcol 37636  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451

This theorem is referenced by:  cdleme30a  38841  trlcolem  39189