Theorem lhpmod2i2 38031

Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 37855 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmod.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmod2i2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem lhpmod2i2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1195	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1r 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		lhpmod.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	3, 4, 5	lhpocat 38010	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8		hlop 37355	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
10		simp2l 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		lhpmod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12	11, 3	opoccl 37187	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14		simp2r 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	11, 3	opoccl 37187	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	9, 14, 15	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17		simp3 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑌 ≤ 𝑋)
18		lhpmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19	11, 18, 3	oplecon3b 37193	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
20	9, 14, 10, 19	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
21	17, 20	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌))
22		lhpmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		lhpmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
24	11, 18, 22, 23, 4	atmod1i2 37852	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
25	1, 7, 13, 16, 21, 24	syl131anc 1381	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
26	1	hllatd 37357	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
27	11, 5	lhpbase 37991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
28	2, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝑊 ∈ 𝐵)
29	11, 23	latmcl 18139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
30	26, 10, 28, 29	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
31	11, 22	latjcl 18138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
32	26, 30, 14, 31	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
33	11, 22	latjcl 18138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
34	26, 28, 14, 33	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
35	11, 23	latmcl 18139	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)
36	26, 10, 34, 35	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)
37	11, 3	opcon3b 37189	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌))))
38	9, 32, 36, 37	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌))))
39		hlol 37354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40	1, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ OL)
41	11, 22, 23, 3	oldmm1 37210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))))
42	40, 10, 34, 41	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))))
43	11, 22, 23, 3	oldmj1 37214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
44	40, 28, 14, 43	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
45	44	oveq2d 7284	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘(𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
46	42, 45	eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
47	11, 22, 23, 3	oldmj1 37214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
48	40, 30, 14, 47	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
49	11, 22, 23, 3	oldmm1 37210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
50	40, 10, 28, 49	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
51	50	oveq1d 7283	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
52	48, 51	eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
53	46, 52	eqeq12d 2755	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌))) = ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
54	38, 53	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → (((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
55	25, 54	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑊) ∨ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑊 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  lecple 16950  occoc 16951  joincjn 18010  meetcmee 18011  Latclat 18130  OPcops 37165  OLcol 37167  Atomscatm 37256  HLchlt 37343  LHypclh 37977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-join 18047  df-meet 18048  df-p0 18124  df-p1 18125  df-lat 18131  df-clat 18198  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344  df-psubsp 37496  df-pmap 37497  df-padd 37789  df-lhyp 37981

This theorem is referenced by:  cdleme30a  38371  trlcolem  38719