Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmod6i1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmod6i1 37665
Description: Modular law for hyperplanes analogous to complement of atmod2i1 37487 for atoms. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l = (le‘𝐾)
lhpmod.j = (join‘𝐾)
lhpmod.m = (meet‘𝐾)
lhpmod.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmod6i1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊))

Proof of Theorem lhpmod6i1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑊𝐻)
3 eqid 2738 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 eqid 2738 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5 lhpmod.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
63, 4, 5lhpocat 37643 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
71, 2, 6syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8 hlop 36988 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
91, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
10 simp2l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑋𝐵)
11 lhpmod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1211, 3opoccl 36820 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
139, 10, 12syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14 simp2r 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑌𝐵)
1511, 3opoccl 36820 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
169, 14, 15syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17 simp3 1139 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑋 𝑊)
1811, 5lhpbase 37624 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
192, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑊𝐵)
20 lhpmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2111, 20, 3oplecon3b 36826 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
229, 10, 19, 21syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2317, 22mpbid 235 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋))
24 lhpmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
25 lhpmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
2611, 20, 24, 25, 4atmod2i1 37487 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
271, 7, 13, 16, 23, 26syl131anc 1384 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
281hllatd 36990 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
2911, 25latmcl 17771 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
3028, 14, 19, 29syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
3111, 24latjcl 17770 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) ∈ 𝐵)
3228, 10, 30, 31syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) ∈ 𝐵)
3311, 24latjcl 17770 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3428, 10, 14, 33syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3511, 25latmcl 17771 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑊) ∈ 𝐵)
3628, 34, 19, 35syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((𝑋 𝑌) 𝑊) ∈ 𝐵)
3711, 3opcon3b 36822 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 (𝑌 𝑊)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊) ↔ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊)))))
389, 32, 36, 37syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊) ↔ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊)))))
39 hlol 36987 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
401, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ OL)
4111, 24, 25, 3oldmm1 36843 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4240, 34, 19, 41syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4311, 24, 25, 3oldmj1 36847 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4440, 10, 14, 43syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4544oveq1d 7179 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4642, 45eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4711, 24, 25, 3oldmj1 36847 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊))))
4840, 10, 30, 47syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊))))
4911, 24, 25, 3oldmm1 36843 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
5040, 14, 19, 49syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
5150oveq2d 7180 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
5248, 51eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
5346, 52eqeq12d 2754 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) ↔ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))
5438, 53bitrd 282 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊) ↔ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))
5527, 54mpbird 260 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  lecple 16668  occoc 16669  joincjn 17663  meetcmee 17664  Latclat 17764  OPcops 36798  OLcol 36800  Atomscatm 36889  HLchlt 36976  LHypclh 37610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-proset 17647  df-poset 17665  df-plt 17677  df-lub 17693  df-glb 17694  df-join 17695  df-meet 17696  df-p0 17758  df-p1 17759  df-lat 17765  df-clat 17827  df-oposet 36802  df-ol 36804  df-oml 36805  df-covers 36892  df-ats 36893  df-atl 36924  df-cvlat 36948  df-hlat 36977  df-psubsp 37129  df-pmap 37130  df-padd 37422  df-lhyp 37614
This theorem is referenced by:  lhple  37668  trlcolem  38352
  Copyright terms: Public domain W3C validator