Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmod6i1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmod6i1 39644
Description: Modular law for hyperplanes analogous to complement of atmod2i1 39466 for atoms. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l = (le‘𝐾)
lhpmod.j = (join‘𝐾)
lhpmod.m = (meet‘𝐾)
lhpmod.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmod6i1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊))

Proof of Theorem lhpmod6i1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑊𝐻)
3 eqid 2725 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 eqid 2725 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5 lhpmod.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
63, 4, 5lhpocat 39622 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
71, 2, 6syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8 hlop 38966 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
91, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
10 simp2l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑋𝐵)
11 lhpmod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1211, 3opoccl 38798 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
139, 10, 12syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14 simp2r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑌𝐵)
1511, 3opoccl 38798 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
169, 14, 15syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑋 𝑊)
1811, 5lhpbase 39603 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
192, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝑊𝐵)
20 lhpmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2111, 20, 3oplecon3b 38804 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
229, 10, 19, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
2317, 22mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋))
24 lhpmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
25 lhpmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
2611, 20, 24, 25, 4atmod2i1 39466 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ((oc‘𝐾)‘𝑋)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
271, 7, 13, 16, 23, 26syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
281hllatd 38968 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
2911, 25latmcl 18440 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
3028, 14, 19, 29syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
3111, 24latjcl 18439 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) ∈ 𝐵)
3228, 10, 30, 31syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) ∈ 𝐵)
3311, 24latjcl 18439 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3428, 10, 14, 33syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
3511, 25latmcl 18440 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑊) ∈ 𝐵)
3628, 34, 19, 35syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((𝑋 𝑌) 𝑊) ∈ 𝐵)
3711, 3opcon3b 38800 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 (𝑌 𝑊)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊) ↔ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊)))))
389, 32, 36, 37syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊) ↔ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊)))))
39 hlol 38965 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
401, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → 𝐾 ∈ OL)
4111, 24, 25, 3oldmm1 38821 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4240, 34, 19, 41syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4311, 24, 25, 3oldmj1 38825 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4440, 10, 14, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
4544oveq1d 7434 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4642, 45eqtrd 2765 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
4711, 24, 25, 3oldmj1 38825 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊))))
4840, 10, 30, 47syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊))))
4911, 24, 25, 3oldmm1 38821 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
5040, 14, 19, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
5150oveq2d 7435 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘(𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
5248, 51eqtrd 2765 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
5346, 52eqeq12d 2741 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 (𝑌 𝑊))) ↔ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))
5438, 53bitrd 278 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → ((𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊) ↔ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) (((oc‘𝐾)‘𝑌) ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))
5527, 54mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑊) → (𝑋 (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 𝑌) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  lecple 17248  occoc 17249  joincjn 18311  meetcmee 18312  Latclat 18431  OPcops 38776  OLcol 38778  Atomscatm 38867  HLchlt 38954  LHypclh 39589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-proset 18295  df-poset 18313  df-plt 18330  df-lub 18346  df-glb 18347  df-join 18348  df-meet 18349  df-p0 18425  df-p1 18426  df-lat 18432  df-clat 18499  df-oposet 38780  df-ol 38782  df-oml 38783  df-covers 38870  df-ats 38871  df-atl 38902  df-cvlat 38926  df-hlat 38955  df-psubsp 39108  df-pmap 39109  df-padd 39401  df-lhyp 39593
This theorem is referenced by:  lhple  39647  trlcolem  40331
  Copyright terms: Public domain W3C validator