Theorem lhpmod6i1 40698

Description: Modular law for hyperplanes analogous to complement of atmod2i1 40520 for atoms. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpmod.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpmod6i1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊))

Proof of Theorem lhpmod6i1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1214	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1r 1215	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		lhpmod.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	3, 4, 5	lhpocat 40676	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
8		hlop 40021	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	1, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
10		simp2l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		lhpmod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12	11, 3	opoccl 39853	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	9, 10, 12	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14		simp2r 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	11, 3	opoccl 39853	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	9, 14, 15	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
17		simp3 1154	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑋 ≤ 𝑊)
18	11, 5	lhpbase 40657	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
19	2, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐵)
20		lhpmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21	11, 20, 3	oplecon3b 39859	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	9, 10, 19, 21	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑋 ≤ 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	17, 22	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))
24		lhpmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
25		lhpmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
26	11, 20, 24, 25, 4	atmod2i1 40520	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
27	1, 7, 13, 16, 23, 26	syl131anc 1408	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
28	1	hllatd 40023	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
29	11, 25	latmcl 18492	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
30	28, 14, 19, 29	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
31	11, 24	latjcl 18491	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
32	28, 10, 30, 31	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
33	11, 24	latjcl 18491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
34	28, 10, 14, 33	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
35	11, 25	latmcl 18492	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
36	28, 34, 19, 35	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
37	11, 3	opcon3b 39855	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ↔ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)))))
38	9, 32, 36, 37	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ↔ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)))))
39		hlol 40020	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
40	1, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ OL)
41	11, 24, 25, 3	oldmm1 39876	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
42	40, 34, 19, 41	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
43	11, 24, 25, 3	oldmj1 39880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
44	40, 10, 14, 43	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
45	44	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
46	42, 45	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
47	11, 24, 25, 3	oldmj1 39880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ 𝑊))))
48	40, 10, 30, 47	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ 𝑊))))
49	11, 24, 25, 3	oldmm1 39876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
50	40, 14, 19, 49	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ 𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))
51	50	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
52	48, 51	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊))))
53	46, 52	eqeq12d 2785	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊)) = ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))) ↔ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))
54	38, 53	bitrd 282	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → ((𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊) ↔ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑊)))))
55	27, 54	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  lecple 17313  occoc 17314  joincjn 18363  meetcmee 18364  Latclat 18483  OPcops 39831  OLcol 39833  Atomscatm 39922  HLchlt 40009  LHypclh 40643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-proset 18346  df-poset 18365  df-plt 18380  df-lub 18396  df-glb 18397  df-join 18398  df-meet 18399  df-p0 18475  df-p1 18476  df-lat 18484  df-clat 18551  df-oposet 39835  df-ol 39837  df-oml 39838  df-covers 39925  df-ats 39926  df-atl 39957  df-cvlat 39981  df-hlat 40010  df-psubsp 40162  df-pmap 40163  df-padd 40455  df-lhyp 40647

This theorem is referenced by:  lhple  40701  trlcolem  41385