Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmod6i1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lhpmod6i1 39568
Description: Modular law for hyperplanes analogous to complement of atmod2i1 39390 for atoms. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhpmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhpmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lhpmod.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpmod6i1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š))
Proof of Theorem lhpmod6i1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3 eqid 2725 . . . . 5 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
4 eqid 2725 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
5 lhpmod.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
63, 4, 5lhpocat 39546 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
71, 2, 6syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
8 hlop 38890 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
91, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ OP)
10 simp2l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 lhpmod.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1211, 3opoccl 38722 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
139, 10, 12syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
14 simp2r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1511, 3opoccl 38722 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
169, 14, 15syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
17 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
1811, 5lhpbase 39527 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
192, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
20 lhpmod.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2111, 20, 3oplecon3b 38728 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Š ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
229, 10, 19, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ (𝑋 ≀ π‘Š ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
2317, 22mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
24 lhpmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
25 lhpmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2611, 20, 24, 25, 4atmod2i1 39390 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
271, 7, 13, 16, 23, 26syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
281hllatd 38892 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2911, 25latmcl 18431 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
3028, 14, 19, 29syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
3111, 24latjcl 18430 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
3228, 10, 30, 31syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
3311, 24latjcl 18430 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
3428, 10, 14, 33syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
3511, 25latmcl 18431 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
3628, 34, 19, 35syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
3711, 3opcon3b 38724 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))))
389, 32, 36, 37syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))))
39 hlol 38889 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
401, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ OL)
4111, 24, 25, 3oldmm1 38745 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
4240, 34, 19, 41syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
4311, 24, 25, 3oldmj1 38749 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
4440, 10, 14, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
4544oveq1d 7431 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
4642, 45eqtrd 2765 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
4711, 24, 25, 3oldmj1 38749 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))))
4840, 10, 30, 47syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))))
4911, 24, 25, 3oldmm1 38745 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
5040, 14, 19, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ ∧ π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
5150oveq2d 7432 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(π‘Œ ∧ π‘Š))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
5248, 51eqtrd 2765 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
5346, 52eqeq12d 2741 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))) ↔ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))
5438, 53bitrd 278 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ ((𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š) ↔ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∨ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))))
5527, 54mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  occoc 17240  joincjn 18302  meetcmee 18303  Latclat 18422  OPcops 38700  OLcol 38702  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517
This theorem is referenced by:  lhple  39571  trlcolem  40255
  Copyright terms: Public domain W3C validator