Theorem lhprelat3N 40914

Description: The Hilbert lattice is relatively atomic with respect to co-atoms (lattice hyperplanes). Dual version of hlrelat3 40286. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhprelat3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhprelat3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhprelat3.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhprelat3.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhprelat3.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhprelat3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhprelat3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑤 ∈ 𝐻 (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ∧ (𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐶   𝑤,𝐻   𝑤,𝐾   𝑤, ≤   𝑤, ∧   𝑤,𝑋   𝑤,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   < (𝑤)

Proof of Theorem lhprelat3N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
2		simpll1 1231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
3		lhprelat3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 40163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ 𝐵)
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
8		lhprelat3.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	3, 7, 4, 8	lhpoc2N 40889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐻))
10	2, 6, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐻))
11	1, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐻)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))) → ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐻)
13		hlop 40236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	2, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
15	2	hllatd 40238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
16		simpll3 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	3, 7	opoccl 40068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐵)
18	14, 6, 17	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐵)
19		lhprelat3.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	3, 19	latmcl 18529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∈ 𝐵)
21	15, 16, 18, 20	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∈ 𝐵)
22		lhprelat3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
23	3, 7, 22	cvrcon3b 40151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)))))
24	14, 21, 16, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)))))
25		hlol 40235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
26	2, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OL)
27		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
28	3, 27, 19, 7	oldmm3N 40093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) = (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝))
29	26, 16, 6, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) = (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝))
30	29	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
31	24, 30	bitr2d 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ↔ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌))
32		simpll2 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		lhprelat3.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
34	3, 33, 7	oplecon3b 40074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
35	14, 32, 21, 34	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
36	29	breq1d 5113	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
37	35, 36	bitr2d 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))))
38	31, 37	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)) ↔ ((𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌 ∧ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)))))
39	38	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌 ∧ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))))
40	39	ancomd 467	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))) → (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∧ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌))
41		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((oc‘𝐾)‘𝑝) → (𝑌 ∧ 𝑤) = (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)))
42	41	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ((oc‘𝐾)‘𝑝) → (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))))
43	41	breq1d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ((oc‘𝐾)‘𝑝) → ((𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌 ↔ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌))
44	42, 43	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ((oc‘𝐾)‘𝑝) → ((𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ∧ (𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∧ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌)))
45	44	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐻 ∧ (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∧ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌)) → ∃𝑤 ∈ 𝐻 (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ∧ (𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌))
46	12, 40, 45	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))) → ∃𝑤 ∈ 𝐻 (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ∧ (𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌))
47		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
48	47, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐾 ∈ OP)
49		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
50	3, 7	opoccl 40068	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
51	48, 49, 50	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
52		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
53	3, 7	opoccl 40068	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
54	48, 52, 53	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
55		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
56		lhprelat3.s	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
57	3, 56, 7	opltcon3b 40078	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) < ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
58	48, 52, 49, 57	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) < ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
59	55, 58	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) < ((oc‘𝐾)‘𝑋))
60	3, 33, 56, 27, 22, 4	hlrelat3 40286	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) < ((oc‘𝐾)‘𝑋)) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
61	47, 51, 54, 59, 60	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
62	46, 61	r19.29a 3170	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑤 ∈ 𝐻 (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ∧ (𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  lecple 17350  occoc 17351  ltcplt 18397  joincjn 18400  meetcmee 18401  Latclat 18520  OPcops 40046  OLcol 40048   ⋖ ccvr 40136  Atomscatm 40137  HLchlt 40224  LHypclh 40858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-p1 18513  df-lat 18521  df-clat 18588  df-oposet 40050  df-ol 40052  df-oml 40053  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-lhyp 40862

This theorem is used by: (None)