Theorem lhprelat3N 41097

Description: The Hilbert lattice is relatively atomic with respect to co-atoms (lattice hyperplanes). Dual version of hlrelat3 40469. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhprelat3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhprelat3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhprelat3.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhprelat3.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhprelat3.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lhprelat3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhprelat3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑤 ∈ 𝐻 (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ∧ (𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐶   𝑤,𝐻   𝑤,𝐾   𝑤, ≤   𝑤, ∧   𝑤,𝑋   𝑤,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   < (𝑤)

Proof of Theorem lhprelat3N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
2		simpll1 1231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
3		lhprelat3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 40346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ 𝐵)
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
7		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
8		lhprelat3.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	3, 7, 4, 8	lhpoc2N 41072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐻))
10	2, 6, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐻))
11	1, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐻)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))) → ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐻)
13		hlop 40419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
14	2, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
15	2	hllatd 40421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
16		simpll3 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	3, 7	opoccl 40251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐵)
18	14, 6, 17	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐵)
19		lhprelat3.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	3, 19	latmcl 18614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∈ 𝐵)
21	15, 16, 18, 20	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∈ 𝐵)
22		lhprelat3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
23	3, 7, 22	cvrcon3b 40334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)))))
24	14, 21, 16, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)))))
25		hlol 40418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
26	2, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OL)
27		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
28	3, 27, 19, 7	oldmm3N 40276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) = (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝))
29	26, 16, 6, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) = (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝))
30	29	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝)))
31	24, 30	bitr2d 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ↔ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌))
32		simpll2 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		lhprelat3.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
34	3, 33, 7	oplecon3b 40257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
35	14, 32, 21, 34	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ↔ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
36	29	breq1d 5113	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
37	35, 36	bitr2d 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))))
38	31, 37	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)) ↔ ((𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌 ∧ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)))))
39	38	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌 ∧ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))))
40	39	ancomd 467	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))) → (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∧ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌))
41		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((oc‘𝐾)‘𝑝) → (𝑌 ∧ 𝑤) = (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)))
42	41	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ((oc‘𝐾)‘𝑝) → (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))))
43	41	breq1d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ((oc‘𝐾)‘𝑝) → ((𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌 ↔ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌))
44	42, 43	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ((oc‘𝐾)‘𝑝) → ((𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ∧ (𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌) ↔ (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∧ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌)))
45	44	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘𝑝) ∈ 𝐻 ∧ (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝)) ∧ (𝑌 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑝))𝐶𝑌)) → ∃𝑤 ∈ 𝐻 (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ∧ (𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌))
46	12, 40, 45	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))) → ∃𝑤 ∈ 𝐻 (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ∧ (𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌))
47		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
48	47, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐾 ∈ OP)
49		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
50	3, 7	opoccl 40251	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
51	48, 49, 50	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
52		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
53	3, 7	opoccl 40251	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
54	48, 52, 53	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
55		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
56		lhprelat3.s	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
57	3, 56, 7	opltcon3b 40261	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) < ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
58	48, 52, 49, 57	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) < ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
59	55, 58	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) < ((oc‘𝐾)‘𝑋))
60	3, 33, 56, 27, 22, 4	hlrelat3 40469	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) < ((oc‘𝐾)‘𝑋)) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
61	47, 51, 54, 59, 60	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(((oc‘𝐾)‘𝑌)𝐶(((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌)(join‘𝐾)𝑝) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
62	46, 61	r19.29a 3171	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑤 ∈ 𝐻 (𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑤) ∧ (𝑌 ∧ 𝑤)𝐶𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  occoc 17436  ltcplt 18482  joincjn 18485  meetcmee 18486  Latclat 18605  OPcops 40229  OLcol 40231   ⋖ ccvr 40319  Atomscatm 40320  HLchlt 40407  LHypclh 41041

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-lhyp 41045

This theorem is used by: (None)