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Theorem dochss 40747
Description: Subset law for orthocomplement. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochss.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochss.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dochss.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dochss (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
Proof of Theorem dochss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hlclat 38739 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
31, 2syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
4 ssrab2 4072 . . . . . 6 {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
54a1i 11 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
6 simpll3 1211 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
7 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)) β†’ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§))
86, 7sstrd 3987 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)) β†’ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§))
98ex 412 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§) β†’ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)))
109ss2rabdv 4068 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})
11 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
12 eqid 2726 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 eqid 2726 . . . . . 6 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
1411, 12, 13clatglbss 18482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))
153, 5, 10, 14syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))
16 hlop 38743 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
171, 16syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OP)
1811, 13clatglbcl 18468 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
193, 4, 18sylancl 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 ssrab2 4072 . . . . . 6 {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
2111, 13clatglbcl 18468 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
223, 20, 21sylancl 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 eqid 2726 . . . . . 6 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
2411, 12, 23oplecon3b 38581 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
2517, 19, 22, 24syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ (((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
2615, 25mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})))
27 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2811, 23opoccl 38575 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2917, 22, 28syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3011, 23opoccl 38575 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3117, 19, 30syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 dochss.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
33 eqid 2726 . . . . 5 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3411, 12, 32, 33dihord 40646 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
3527, 29, 31, 34syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
3626, 35mpbird 257 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
37 dochss.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
38 dochss.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
39 dochss.o . . . 4 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4011, 13, 23, 32, 33, 37, 38, 39dochval 40733 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
41403adant3 1129 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
42 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
43 simp2 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑉)
4442, 43sstrd 3987 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
4511, 13, 23, 32, 33, 37, 38, 39dochval 40733 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
4627, 44, 45syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
4736, 41, 463sstr4d 4024 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  occoc 17212  glbcglb 18273  CLatccla 18461  OPcops 38553  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  DIsoHcdih 40610  ocHcoch 40729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611  df-doch 40730
This theorem is referenced by:  dochsscl  40750  dochord  40752  dihoml4  40759  dochocsp  40761  dochdmj1  40772  dochpolN  40872  lclkrlem2p  40904  lclkrslem1  40919  lclkrslem2  40920  lcfrvalsnN  40923  mapdsn  41023
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