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Theorem dochss 40842
Description: Subset law for orthocomplement. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochss.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochss.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dochss.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dochss (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
Proof of Theorem dochss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hlclat 38834 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
31, 2syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
4 ssrab2 4075 . . . . . 6 {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
54a1i 11 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
6 simpll3 1211 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
7 simpr 483 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)) β†’ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§))
86, 7sstrd 3990 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)) β†’ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§))
98ex 411 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§) β†’ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)))
109ss2rabdv 4071 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})
11 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
12 eqid 2727 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 eqid 2727 . . . . . 6 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
1411, 12, 13clatglbss 18516 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))
153, 5, 10, 14syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))
16 hlop 38838 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
171, 16syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OP)
1811, 13clatglbcl 18502 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
193, 4, 18sylancl 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 ssrab2 4075 . . . . . 6 {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
2111, 13clatglbcl 18502 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
223, 20, 21sylancl 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 eqid 2727 . . . . . 6 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
2411, 12, 23oplecon3b 38676 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
2517, 19, 22, 24syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ (((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
2615, 25mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})))
27 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2811, 23opoccl 38670 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2917, 22, 28syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3011, 23opoccl 38670 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3117, 19, 30syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 dochss.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
33 eqid 2727 . . . . 5 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3411, 12, 32, 33dihord 40741 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
3527, 29, 31, 34syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
3626, 35mpbird 256 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
37 dochss.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
38 dochss.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
39 dochss.o . . . 4 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4011, 13, 23, 32, 33, 37, 38, 39dochval 40828 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
41403adant3 1129 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
42 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
43 simp2 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑉)
4442, 43sstrd 3990 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
4511, 13, 23, 32, 33, 37, 38, 39dochval 40828 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
4627, 44, 45syl2anc 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
4736, 41, 463sstr4d 4027 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3428   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  lecple 17245  occoc 17246  glbcglb 18307  CLatccla 18495  OPcops 38648  HLchlt 38826  LHypclh 39461  DVecHcdvh 40555  DIsoHcdih 40705  ocHcoch 40824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-riotaBAD 38429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-undef 8283  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-0g 17428  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-p1 18423  df-lat 18429  df-clat 18496  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-cntz 19273  df-lsm 19596  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-drng 20631  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lvec 20993  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-llines 38975  df-lplanes 38976  df-lvols 38977  df-lines 38978  df-psubsp 38980  df-pmap 38981  df-padd 39273  df-lhyp 39465  df-laut 39466  df-ldil 39581  df-ltrn 39582  df-trl 39636  df-tendo 40232  df-edring 40234  df-disoa 40506  df-dvech 40556  df-dib 40616  df-dic 40650  df-dih 40706  df-doch 40825
This theorem is referenced by:  dochsscl  40845  dochord  40847  dihoml4  40854  dochocsp  40856  dochdmj1  40867  dochpolN  40967  lclkrlem2p  40999  lclkrslem1  41014  lclkrslem2  41015  lcfrvalsnN  41018  mapdsn  41118
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