Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dochss 40224
Description: Subset law for orthocomplement. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochss.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochss.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dochss.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dochss (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
Proof of Theorem dochss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hlclat 38216 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
31, 2syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
4 ssrab2 4076 . . . . . 6 {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
54a1i 11 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
6 simpll3 1214 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
7 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)) β†’ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§))
86, 7sstrd 3991 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)) β†’ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§))
98ex 413 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§) β†’ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)))
109ss2rabdv 4072 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})
11 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
12 eqid 2732 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 eqid 2732 . . . . . 6 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
1411, 12, 13clatglbss 18468 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))
153, 5, 10, 14syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))
16 hlop 38220 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
171, 16syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ OP)
1811, 13clatglbcl 18454 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
193, 4, 18sylancl 586 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 ssrab2 4076 . . . . . 6 {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
2111, 13clatglbcl 18454 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
223, 20, 21sylancl 586 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 eqid 2732 . . . . . 6 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
2411, 12, 23oplecon3b 38058 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
2517, 19, 22, 24syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ (((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
2615, 25mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})))
27 simp1 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2811, 23opoccl 38052 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2917, 22, 28syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3011, 23opoccl 38052 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3117, 19, 30syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 dochss.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
33 eqid 2732 . . . . 5 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3411, 12, 32, 33dihord 40123 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)})) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
3527, 29, 31, 34syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ((((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))(leβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
3626, 35mpbird 256 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))) βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
37 dochss.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
38 dochss.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
39 dochss.o . . . 4 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4011, 13, 23, 32, 33, 37, 38, 39dochval 40210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
41403adant3 1132 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ π‘Œ βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
42 simp3 1138 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
43 simp2 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑉)
4442, 43sstrd 3991 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
4511, 13, 23, 32, 33, 37, 38, 39dochval 40210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
4627, 44, 45syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘§)}))))
4736, 41, 463sstr4d 4028 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  occoc 17201  glbcglb 18259  CLatccla 18447  OPcops 38030  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DVecHcdvh 39937  DIsoHcdih 40087  ocHcoch 40206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088  df-doch 40207
This theorem is referenced by:  dochsscl  40227  dochord  40229  dihoml4  40236  dochocsp  40238  dochdmj1  40249  dochpolN  40349  lclkrlem2p  40381  lclkrslem1  40396  lclkrslem2  40397  lcfrvalsnN  40400  mapdsn  40500
  Copyright terms: Public domain W3C validator