Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmm1 37679
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 30467 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmm1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))

Proof of Theorem oldmm1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2736 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 ollat 37675 . . 3 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1133 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 olop 37676 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
653ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7 oldmm1.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
81, 7latmcl 18329 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
93, 8syl3an1 1163 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
10 oldmm1.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
111, 10opoccl 37656 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) ∈ 𝐵)
126, 9, 11syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) ∈ 𝐵)
131, 10opoccl 37656 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
145, 13sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
15143adant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
161, 10opoccl 37656 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
175, 16sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
18173adant2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
19 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
201, 19latjcl 18328 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵)
214, 15, 18, 20syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵)
221, 2, 19latlej1 18337 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
234, 15, 18, 22syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
24 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
251, 2, 10oplecon1b 37663 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → (( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
266, 24, 21, 25syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
2723, 26mpbid 231 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
281, 2, 19latlej2 18338 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
294, 15, 18, 28syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
30 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
311, 2, 10oplecon1b 37663 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵 ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → (( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
326, 30, 21, 31syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
3329, 32mpbid 231 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
341, 10opoccl 37656 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) ∈ 𝐵)
356, 21, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) ∈ 𝐵)
361, 2, 7latlem12 18355 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
374, 35, 24, 30, 36syl13anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
3827, 33, 37mpbi2and 710 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
391, 2, 10oplecon1b 37663 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ ( ‘(𝑋 𝑌))(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌))))
406, 21, 9, 39syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ ( ‘(𝑋 𝑌))(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌))))
4138, 40mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌))(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
421, 2, 7latmle1 18353 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
433, 42syl3an1 1163 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
441, 2, 10oplecon3b 37662 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
456, 9, 24, 44syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
4643, 45mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)))
471, 2, 7latmle2 18354 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
483, 47syl3an1 1163 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
491, 2, 10oplecon3b 37662 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
506, 9, 30, 49syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
5148, 50mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)))
521, 2, 19latjle12 18339 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ‘(𝑋 𝑌)) ∈ 𝐵)) → ((( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)) ∧ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))) ↔ (( 𝑋) ( 𝑌))(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
534, 15, 18, 12, 52syl13anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)) ∧ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))) ↔ (( 𝑋) ( 𝑌))(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
5446, 51, 53mpbi2and 710 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌))(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)))
551, 2, 4, 12, 21, 41, 54latasymd 18334 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  occoc 17141  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  OPcops 37634  OLcol 37636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-lat 18321  df-oposet 37638  df-ol 37640
This theorem is referenced by:  oldmm2  37680  oldmm3N  37681  cmtcomlemN  37710  cmtbr2N  37715  omlfh1N  37720  cvrexch  37883  lhpmod2i2  38501  lhpmod6i1  38502  doca2N  39589  djajN  39600
  Copyright terms: Public domain W3C validator