Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmm1 37231
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 29887 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmm1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))

Proof of Theorem oldmm1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2738 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 ollat 37227 . . 3 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1132 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 olop 37228 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
653ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7 oldmm1.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
81, 7latmcl 18158 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
93, 8syl3an1 1162 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
10 oldmm1.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
111, 10opoccl 37208 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) ∈ 𝐵)
126, 9, 11syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) ∈ 𝐵)
131, 10opoccl 37208 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
145, 13sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
15143adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
161, 10opoccl 37208 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
175, 16sylan 580 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
18173adant2 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
19 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
201, 19latjcl 18157 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵)
214, 15, 18, 20syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵)
221, 2, 19latlej1 18166 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
234, 15, 18, 22syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
24 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
251, 2, 10oplecon1b 37215 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → (( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
266, 24, 21, 25syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
2723, 26mpbid 231 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
281, 2, 19latlej2 18167 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
294, 15, 18, 28syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
30 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
311, 2, 10oplecon1b 37215 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵 ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → (( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
326, 30, 21, 31syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
3329, 32mpbid 231 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
341, 10opoccl 37208 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) ∈ 𝐵)
356, 21, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) ∈ 𝐵)
361, 2, 7latlem12 18184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
374, 35, 24, 30, 36syl13anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
3827, 33, 37mpbi2and 709 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
391, 2, 10oplecon1b 37215 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ ( ‘(𝑋 𝑌))(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌))))
406, 21, 9, 39syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ ( ‘(𝑋 𝑌))(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌))))
4138, 40mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌))(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
421, 2, 7latmle1 18182 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
433, 42syl3an1 1162 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
441, 2, 10oplecon3b 37214 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
456, 9, 24, 44syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
4643, 45mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)))
471, 2, 7latmle2 18183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
483, 47syl3an1 1162 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
491, 2, 10oplecon3b 37214 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
506, 9, 30, 49syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
5148, 50mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)))
521, 2, 19latjle12 18168 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ‘(𝑋 𝑌)) ∈ 𝐵)) → ((( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)) ∧ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))) ↔ (( 𝑋) ( 𝑌))(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
534, 15, 18, 12, 52syl13anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)) ∧ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))) ↔ (( 𝑋) ( 𝑌))(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
5446, 51, 53mpbi2and 709 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌))(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)))
551, 2, 4, 12, 21, 41, 54latasymd 18163 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  occoc 16970  joincjn 18029  meetcmee 18030  Latclat 18149  OPcops 37186  OLcol 37188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-lat 18150  df-oposet 37190  df-ol 37192
This theorem is referenced by:  oldmm2  37232  oldmm3N  37233  cmtcomlemN  37262  cmtbr2N  37267  omlfh1N  37272  cvrexch  37434  lhpmod2i2  38052  lhpmod6i1  38053  doca2N  39140  djajN  39151
  Copyright terms: Public domain W3C validator