Theorem oldmm1 40019

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 31888 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmm1	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ollat 40015	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
4	3	3ad2ant1 1150	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		olop 40016	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
6	5	3ad2ant1 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7		oldmm1.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
8	1, 7	latmcl 18502	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	3, 8	syl3an1 1180	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10		oldmm1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
11	1, 10	opoccl 39996	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
12	6, 9, 11	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
13	1, 10	opoccl 39996	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	5, 13	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
16	1, 10	opoccl 39996	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 16	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
18	17	3adant2 1148	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
19		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	1, 19	latjcl 18501	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	4, 15, 18, 20	syl3anc 1397	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 19	latlej1 18510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
23	4, 15, 18, 22	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
24		simp2 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 10	oplecon1b 40003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
26	6, 24, 21, 25	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
27	23, 26	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
28	1, 2, 19	latlej2 18511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
29	4, 15, 18, 28	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
30		simp3 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31	1, 2, 10	oplecon1b 40003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
32	6, 30, 21, 31	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
33	29, 32	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
34	1, 10	opoccl 39996	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
35	6, 21, 34	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
36	1, 2, 7	latlem12 18528	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
37	4, 35, 24, 30, 36	syl13anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
38	27, 33, 37	mpbi2and 724	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
39	1, 2, 10	oplecon1b 40003	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))
40	6, 21, 9, 39	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))
41	38, 40	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
42	1, 2, 7	latmle1 18526	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
43	3, 42	syl3an1 1180	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
44	1, 2, 10	oplecon3b 40002	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
45	6, 9, 24, 44	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
46	43, 45	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
47	1, 2, 7	latmle2 18527	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
48	3, 47	syl3an1 1180	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
49	1, 2, 10	oplecon3b 40002	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
50	6, 9, 30, 49	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
51	48, 50	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
52	1, 2, 19	latjle12 18512	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)) → ((( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
53	4, 15, 18, 12, 52	syl13anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
54	46, 51, 53	mpbi2and 724	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
55	1, 2, 4, 12, 21, 41, 54	latasymd 18507	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  lecple 17323  occoc 17324  joincjn 18373  meetcmee 18374  Latclat 18493  OPcops 39974  OLcol 39976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18356  df-poset 18375  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-lat 18494  df-oposet 39978  df-ol 39980

This theorem is used by:  oldmm2  40020  oldmm3N  40021  cmtcomlemN  40050  cmtbr2N  40055  omlfh1N  40060  cvrexch  40222  lhpmod2i2  40840  lhpmod6i1  40841  doca2N  41928  djajN  41939