Theorem oldmm1 40098

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 32014 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmm1	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ollat 40094	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
4	3	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		olop 40095	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
6	5	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7		oldmm1.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
8	1, 7	latmcl 18534	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	3, 8	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10		oldmm1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
11	1, 10	opoccl 40075	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
12	6, 9, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
13	1, 10	opoccl 40075	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	5, 13	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
16	1, 10	opoccl 40075	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 16	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
18	17	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
19		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	1, 19	latjcl 18533	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	4, 15, 18, 20	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 19	latlej1 18542	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
23	4, 15, 18, 22	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
24		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 10	oplecon1b 40082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
26	6, 24, 21, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
27	23, 26	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
28	1, 2, 19	latlej2 18543	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
29	4, 15, 18, 28	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
30		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31	1, 2, 10	oplecon1b 40082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
32	6, 30, 21, 31	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
33	29, 32	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
34	1, 10	opoccl 40075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
35	6, 21, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
36	1, 2, 7	latlem12 18560	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
37	4, 35, 24, 30, 36	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
38	27, 33, 37	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
39	1, 2, 10	oplecon1b 40082	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))
40	6, 21, 9, 39	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))
41	38, 40	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
42	1, 2, 7	latmle1 18558	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
43	3, 42	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
44	1, 2, 10	oplecon3b 40081	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
45	6, 9, 24, 44	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
46	43, 45	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
47	1, 2, 7	latmle2 18559	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
48	3, 47	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
49	1, 2, 10	oplecon3b 40081	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
50	6, 9, 30, 49	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
51	48, 50	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
52	1, 2, 19	latjle12 18544	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)) → ((( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
53	4, 15, 18, 12, 52	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
54	46, 51, 53	mpbi2and 725	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
55	1, 2, 4, 12, 21, 41, 54	latasymd 18539	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  lecple 17355  occoc 17356  joincjn 18405  meetcmee 18406  Latclat 18525  OPcops 40053  OLcol 40055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-proset 18388  df-poset 18407  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-lat 18526  df-oposet 40057  df-ol 40059

This theorem is used by:  oldmm2  40099  oldmm3N  40100  cmtcomlemN  40129  cmtbr2N  40134  omlfh1N  40139  cvrexch  40301  lhpmod2i2  40919  lhpmod6i1  40920  doca2N  42007  djajN  42018