Theorem oldmm1 39805

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 31674 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmm1	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ollat 39801	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
4	3	3ad2ant1 1145	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		olop 39802	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
6	5	3ad2ant1 1145	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7		oldmm1.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
8	1, 7	latmcl 18455	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	3, 8	syl3an1 1175	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10		oldmm1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
11	1, 10	opoccl 39782	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
12	6, 9, 11	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
13	1, 10	opoccl 39782	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	5, 13	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1144	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
16	1, 10	opoccl 39782	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 16	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
18	17	3adant2 1143	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
19		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	1, 19	latjcl 18454	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	4, 15, 18, 20	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 19	latlej1 18463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
23	4, 15, 18, 22	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
24		simp2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 10	oplecon1b 39789	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
26	6, 24, 21, 25	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
27	23, 26	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
28	1, 2, 19	latlej2 18464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
29	4, 15, 18, 28	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
30		simp3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31	1, 2, 10	oplecon1b 39789	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
32	6, 30, 21, 31	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
33	29, 32	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
34	1, 10	opoccl 39782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
35	6, 21, 34	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
36	1, 2, 7	latlem12 18481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
37	4, 35, 24, 30, 36	syl13anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
38	27, 33, 37	mpbi2and 722	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
39	1, 2, 10	oplecon1b 39789	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))
40	6, 21, 9, 39	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))
41	38, 40	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
42	1, 2, 7	latmle1 18479	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
43	3, 42	syl3an1 1175	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
44	1, 2, 10	oplecon3b 39788	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
45	6, 9, 24, 44	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
46	43, 45	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
47	1, 2, 7	latmle2 18480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
48	3, 47	syl3an1 1175	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
49	1, 2, 10	oplecon3b 39788	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
50	6, 9, 30, 49	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
51	48, 50	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
52	1, 2, 19	latjle12 18465	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)) → ((( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
53	4, 15, 18, 12, 52	syl13anc 1390	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
54	46, 51, 53	mpbi2and 722	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
55	1, 2, 4, 12, 21, 41, 54	latasymd 18460	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  lecple 17276  occoc 17277  joincjn 18326  meetcmee 18327  Latclat 18446  OPcops 39760  OLcol 39762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-proset 18309  df-poset 18328  df-lub 18359  df-glb 18360  df-join 18361  df-meet 18362  df-lat 18447  df-oposet 39764  df-ol 39766

This theorem is referenced by:  oldmm2  39806  oldmm3N  39807  cmtcomlemN  39836  cmtbr2N  39841  omlfh1N  39846  cvrexch  40008  lhpmod2i2  40626  lhpmod6i1  40627  doca2N  41714  djajN  41725