Theorem oldmm1 39210

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 31454 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmm1	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ollat 39206	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		olop 39207	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
6	5	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7		oldmm1.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
8	1, 7	latmcl 18399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	3, 8	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10		oldmm1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
11	1, 10	opoccl 39187	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
12	6, 9, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
13	1, 10	opoccl 39187	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	5, 13	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
16	1, 10	opoccl 39187	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 16	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
18	17	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
19		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	1, 19	latjcl 18398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	4, 15, 18, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 19	latlej1 18407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
23	4, 15, 18, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
24		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 10	oplecon1b 39194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
26	6, 24, 21, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
27	23, 26	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
28	1, 2, 19	latlej2 18408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
29	4, 15, 18, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
30		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31	1, 2, 10	oplecon1b 39194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
32	6, 30, 21, 31	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
33	29, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
34	1, 10	opoccl 39187	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
35	6, 21, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
36	1, 2, 7	latlem12 18425	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
37	4, 35, 24, 30, 36	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
38	27, 33, 37	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
39	1, 2, 10	oplecon1b 39194	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))
40	6, 21, 9, 39	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))
41	38, 40	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
42	1, 2, 7	latmle1 18423	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
43	3, 42	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
44	1, 2, 10	oplecon3b 39193	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
45	6, 9, 24, 44	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
46	43, 45	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
47	1, 2, 7	latmle2 18424	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
48	3, 47	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
49	1, 2, 10	oplecon3b 39193	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
50	6, 9, 30, 49	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
51	48, 50	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
52	1, 2, 19	latjle12 18409	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)) → ((( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
53	4, 15, 18, 12, 52	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
54	46, 51, 53	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
55	1, 2, 4, 12, 21, 41, 54	latasymd 18404	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  lecple 17227  occoc 17228  joincjn 18272  meetcmee 18273  Latclat 18390  OPcops 39165  OLcol 39167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-lat 18391  df-oposet 39169  df-ol 39171

This theorem is referenced by:  oldmm2  39211  oldmm3N  39212  cmtcomlemN  39241  cmtbr2N  39246  omlfh1N  39251  cvrexch  39414  lhpmod2i2  40032  lhpmod6i1  40033  doca2N  41120  djajN  41131