Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmm1 35176
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 28843 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmm1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))

Proof of Theorem oldmm1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2765 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 ollat 35172 . . 3 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1163 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 olop 35173 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
653ad2ant1 1163 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7 oldmm1.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
81, 7latmcl 17321 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
93, 8syl3an1 1202 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
10 oldmm1.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
111, 10opoccl 35153 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) ∈ 𝐵)
126, 9, 11syl2anc 579 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) ∈ 𝐵)
131, 10opoccl 35153 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
145, 13sylan 575 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
15143adant3 1162 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
161, 10opoccl 35153 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
175, 16sylan 575 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
18173adant2 1161 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
19 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
201, 19latjcl 17320 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵)
214, 15, 18, 20syl3anc 1490 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵)
221, 2, 19latlej1 17329 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
234, 15, 18, 22syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
24 simp2 1167 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
251, 2, 10oplecon1b 35160 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → (( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
266, 24, 21, 25syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
2723, 26mpbid 223 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
281, 2, 19latlej2 17330 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
294, 15, 18, 28syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
30 simp3 1168 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
311, 2, 10oplecon1b 35160 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵 ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → (( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
326, 30, 21, 31syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌)(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
3329, 32mpbid 223 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
341, 10opoccl 35153 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) ∈ 𝐵)
356, 21, 34syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) ∈ 𝐵)
361, 2, 7latlem12 17347 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ‘(( 𝑋) ( 𝑌))) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
374, 35, 24, 30, 36syl13anc 1491 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
3827, 33, 37mpbi2and 703 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
391, 2, 10oplecon1b 35160 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( 𝑋) ( 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ ( ‘(𝑋 𝑌))(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌))))
406, 21, 9, 39syl3anc 1490 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( ‘(( 𝑋) ( 𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ ( ‘(𝑋 𝑌))(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌))))
4138, 40mpbid 223 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌))(le‘𝐾)(( 𝑋) ( 𝑌)))
421, 2, 7latmle1 17345 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
433, 42syl3an1 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
441, 2, 10oplecon3b 35159 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
456, 9, 24, 44syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
4643, 45mpbid 223 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)))
471, 2, 7latmle2 17346 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
483, 47syl3an1 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
491, 2, 10oplecon3b 35159 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
506, 9, 30, 49syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
5148, 50mpbid 223 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)))
521, 2, 19latjle12 17331 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ‘(𝑋 𝑌)) ∈ 𝐵)) → ((( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)) ∧ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))) ↔ (( 𝑋) ( 𝑌))(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
534, 15, 18, 12, 52syl13anc 1491 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((( 𝑋)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)) ∧ ( 𝑌)(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))) ↔ (( 𝑋) ( 𝑌))(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌))))
5446, 51, 53mpbi2and 703 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) ( 𝑌))(le‘𝐾)( ‘(𝑋 𝑌)))
551, 2, 4, 12, 21, 41, 54latasymd 17326 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  Basecbs 16133  lecple 16224  occoc 16225  joincjn 17213  meetcmee 17214  Latclat 17314  OPcops 35131  OLcol 35133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-proset 17197  df-poset 17215  df-lub 17243  df-glb 17244  df-join 17245  df-meet 17246  df-lat 17315  df-oposet 35135  df-ol 35137
This theorem is referenced by:  oldmm2  35177  oldmm3N  35178  cmtcomlemN  35207  cmtbr2N  35212  omlfh1N  35217  cvrexch  35379  lhpmod2i2  35997  lhpmod6i1  35998  doca2N  37085  djajN  37096
  Copyright terms: Public domain W3C validator