Theorem oldmm1 39199

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 31554 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
oldmm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
oldmm1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oldmm1	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem oldmm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ollat 39195	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
4	3	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		olop 39196	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
6	5	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
7		oldmm1.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
8	1, 7	latmcl 18498	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	3, 8	syl3an1 1162	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10		oldmm1.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
11	1, 10	opoccl 39176	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
12	6, 9, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
13	1, 10	opoccl 39176	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	5, 13	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
15	14	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
16	1, 10	opoccl 39176	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 16	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
18	17	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
19		oldmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	1, 19	latjcl 18497	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	4, 15, 18, 20	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 19	latlej1 18506	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
23	4, 15, 18, 22	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
24		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 10	oplecon1b 39183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
26	6, 24, 21, 25	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋))
27	23, 26	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
28	1, 2, 19	latlej2 18507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
29	4, 15, 18, 28	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
30		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31	1, 2, 10	oplecon1b 39183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
32	6, 30, 21, 31	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌))
33	29, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
34	1, 10	opoccl 39176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
35	6, 21, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵)
36	1, 2, 7	latlem12 18524	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
37	4, 35, 24, 30, 36	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
38	27, 33, 37	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
39	1, 2, 10	oplecon1b 39183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))
40	6, 21, 9, 39	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))))
41	38, 40	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))
42	1, 2, 7	latmle1 18522	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
43	3, 42	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
44	1, 2, 10	oplecon3b 39182	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
45	6, 9, 24, 44	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
46	43, 45	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
47	1, 2, 7	latmle2 18523	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
48	3, 47	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
49	1, 2, 10	oplecon3b 39182	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
50	6, 9, 30, 49	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
51	48, 50	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
52	1, 2, 19	latjle12 18508	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)) → ((( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
53	4, 15, 18, 12, 52	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
54	46, 51, 53	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌))(le‘𝐾)( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
55	1, 2, 4, 12, 21, 41, 54	latasymd 18503	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  occoc 17306  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489  OPcops 39154  OLcol 39156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490  df-oposet 39158  df-ol 39160

This theorem is referenced by:  oldmm2  39200  oldmm3N  39201  cmtcomlemN  39230  cmtbr2N  39235  omlfh1N  39240  cvrexch  39403  lhpmod2i2  40021  lhpmod6i1  40022  doca2N  41109  djajN  41120