Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omllaw4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omllaw4 38582
Description: Orthomodular law equivalent. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
omllaw4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omllaw4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
omllaw4.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omllaw4.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omllaw4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋))
Proof of Theorem omllaw4
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OML)
2 omlop 38577 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
323ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
4 simp3 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 omllaw4.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 omllaw4.o . . . . 5 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
75, 6opoccl 38530 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
83, 4, 7syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 simp2 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
105, 6opoccl 38530 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
113, 9, 10syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
12 omllaw4.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 eqid 2731 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
14 omllaw4.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
155, 12, 13, 14, 6omllaw 38579 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))))
161, 8, 11, 15syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))))
175, 12, 6oplecon3b 38536 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
182, 17syl3an1 1162 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
19 omllat 38578 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
20193ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
215, 14latmcl 18403 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2220, 11, 4, 21syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
235, 6opoccl 38530 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
243, 22, 23syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
255, 14latmcl 18403 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2620, 24, 4, 25syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
275, 6opcon3b 38532 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ))))
283, 26, 9, 27syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ))))
295, 13latjcom 18410 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)))
3020, 22, 8, 29syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)))
31 omlol 38576 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OL)
32313ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OL)
335, 13, 14, 6oldmm2 38554 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ)) = ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
3432, 22, 4, 33syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ)) = ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
355, 6opococ 38531 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
363, 4, 35syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
3736oveq2d 7428 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ))
3837oveq2d 7428 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)))
3930, 34, 383eqtr4d 2781 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))))
4039eqeq2d 2742 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) = ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ)) ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))))
4128, 40bitrd 279 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))))
4216, 18, 413imtr4d 294 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  occoc 17212  joincjn 18274  meetcmee 18275  Latclat 18394  OPcops 38508  OLcol 38510  OMLcoml 38511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18258  df-poset 18276  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-lat 18395  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515
This theorem is referenced by:  poml4N  39290  dihoml4c  40713
  Copyright terms: Public domain W3C validator