Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omllaw4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omllaw4 38054
Description: Orthomodular law equivalent. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
omllaw4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omllaw4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
omllaw4.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omllaw4.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omllaw4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋))
Proof of Theorem omllaw4
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OML)
2 omlop 38049 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
323ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
4 simp3 1139 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 omllaw4.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 omllaw4.o . . . . 5 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
75, 6opoccl 38002 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
83, 4, 7syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 simp2 1138 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
105, 6opoccl 38002 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
113, 9, 10syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
12 omllaw4.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 eqid 2733 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
14 omllaw4.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
155, 12, 13, 14, 6omllaw 38051 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))))
161, 8, 11, 15syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))))
175, 12, 6oplecon3b 38008 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
182, 17syl3an1 1164 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
19 omllat 38050 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
20193ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
215, 14latmcl 18389 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2220, 11, 4, 21syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
235, 6opoccl 38002 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
243, 22, 23syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
255, 14latmcl 18389 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2620, 24, 4, 25syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
275, 6opcon3b 38004 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ))))
283, 26, 9, 27syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ))))
295, 13latjcom 18396 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)))
3020, 22, 8, 29syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)))
31 omlol 38048 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OL)
32313ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OL)
335, 13, 14, 6oldmm2 38026 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ)) = ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
3432, 22, 4, 33syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ)) = ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))
355, 6opococ 38003 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
363, 4, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
3736oveq2d 7420 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ))
3837oveq2d 7420 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)))
3930, 34, 383eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ)) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ)))))
4039eqeq2d 2744 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) = ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ)) ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))))
4128, 40bitrd 279 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = (( βŠ₯ β€˜π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘Œ))))))
4216, 18, 413imtr4d 294 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ π‘Œ)) ∧ π‘Œ) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  lecple 17200  occoc 17201  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  OPcops 37980  OLcol 37982  OMLcoml 37983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987
This theorem is referenced by:  poml4N  38762  dihoml4c  40185
  Copyright terms: Public domain W3C validator