Theorem ordprcon 35696

Description: If an ordinal class is not a set, then it must be the proper class of all ordinals. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ordprcon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 = On)

Proof of Theorem ordprcon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordeleqon 7785	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
2	1	birani 509	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
3		prcnel 3476	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ On)
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ 𝐴 ∈ On)
5	2, 4	orcnd 892	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 = On)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  Ord word 6354  Oncon0 6355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6358  df-on 6359

This theorem is used by:  ordtypeon  35698