Theorem ordprcon 35347

Description: If an ordinal class is not a set, then it must be the proper class of all ordinals. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ordprcon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 = On)

Proof of Theorem ordprcon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordeleqon 7761	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
2	1	birani 507	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
3		prcnel 3478	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ On)
4	3	adantl 485	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ 𝐴 ∈ On)
5	2, 4	orcnd 889	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 = On)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  Ord word 6341  Oncon0 6342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-tr 5207  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-ord 6345  df-on 6346

This theorem is referenced by:  ordtypeon  35350