Theorem ordprcon 35503

Description: If an ordinal class is not a set, then it must be the proper class of all ordinals. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ordprcon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 = On)

Proof of Theorem ordprcon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordeleqon 7790	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
2	1	birani 509	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
3		prcnel 3483	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ On)
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ 𝐴 ∈ On)
5	2, 4	orcnd 892	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 = On)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  Ord word 6366  Oncon0 6367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-tr 5224  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-ord 6370  df-on 6371

This theorem is used by:  ordtypeon  35506