Theorem ordtypeon 35698

Description: A proper class with a set-like well-ordering is isomorphic to the proper class of all ordinal numbers. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtypeon.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtypeon	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))

Proof of Theorem ordtypeon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypeon.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	ordtype 9510	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	1	oicl 9507	. . . 4 ⊢ Ord dom 𝐹
5		isof1o 7323	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
6		f1ovv 7959	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
7	2, 5, 6	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
8	7	notbid 321	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (¬ dom 𝐹 ∈ V ↔ ¬ 𝐴 ∈ V))
9	8	biimp3ar 1499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ dom 𝐹 ∈ V)
10		ordprcon 35696	. . . 4 ⊢ ((Ord dom 𝐹 ∧ ¬ dom 𝐹 ∈ V) → dom 𝐹 = On)
11	4, 9, 10	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐹 = On)
12		isoeq4 7320	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 = On → (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴)))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴)))
14	3, 13	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   E cep 5550   Se wse 5602   We wwe 5603  dom cdm 5651  Ord word 6354  Oncon0 6355  –1-1-onto→wf1o 6530   Isom wiso 6532  OrdIsocoi 9487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-oi 9488

This theorem is used by:  wevonprcf1o  35865