Theorem ordtypeon 35802

Description: A proper class with a set-like well-ordering is isomorphic to the proper class of all ordinal numbers. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtypeon.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtypeon	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))

Proof of Theorem ordtypeon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypeon.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	ordtype 9553	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	1	oicl 9550	. . . 4 ⊢ Ord dom 𝐹
5		isof1o 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto𝐴)
6		f1ovv 7994	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
7	2, 5, 6	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
8	7	notbid 321	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (¬ dom 𝐹 ∈ V ↔ ¬ 𝐴 ∈ V))
9	8	biimp3ar 1500	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ dom 𝐹 ∈ V)
10		ordprcon 35793	. . . 4 ⊢ ((Ord dom 𝐹 ∧ ¬ dom 𝐹 ∈ V) → dom 𝐹 = On)
11	4, 9, 10	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐹 = On)
12		isoeq4 7351	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 = On → (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴)))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴)))
14	3, 13	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   E cep 5554   Se wse 5606   We wwe 5607  dom cdm 5655  Ord word 6379  Oncon0 6380  ⟶1-1ontowf1o 6557   Isom wiso 6559  OrdIsocoi 9530

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-oi 9531

This theorem is used by:  j0iso  36004  wevonprcf1o  36042  vonf1onprcf1ac  36044