Theorem ordtypeon 35770

Description: A proper class with a set-like well-ordering is isomorphic to the proper class of all ordinal numbers. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtypeon.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtypeon	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))

Proof of Theorem ordtypeon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypeon.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	ordtype 9529	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	1	oicl 9526	. . . 4 ⊢ Ord dom 𝐹
5		isof1o 7331	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
6		f1ovv 7970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
7	2, 5, 6	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
8	7	notbid 321	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (¬ dom 𝐹 ∈ V ↔ ¬ 𝐴 ∈ V))
9	8	biimp3ar 1499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ dom 𝐹 ∈ V)
10		ordprcon 35766	. . . 4 ⊢ ((Ord dom 𝐹 ∧ ¬ dom 𝐹 ∈ V) → dom 𝐹 = On)
11	4, 9, 10	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐹 = On)
12		isoeq4 7328	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 = On → (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴)))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴)))
14	3, 13	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   E cep 5549   Se wse 5601   We wwe 5602  dom cdm 5650  Ord word 6361  Oncon0 6362  –1-1-onto→wf1o 6537   Isom wiso 6539  OrdIsocoi 9506

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-oi 9507

This theorem is used by:  j0iso  35943  wevonprcf1o  35961  vonf1onprcf1ac  35963