Theorem ordtypeon 35603

Description: A proper class with a set-like well-ordering is isomorphic to the proper class of all ordinal numbers. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtypeon.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtypeon	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))

Proof of Theorem ordtypeon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypeon.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	ordtype 9508	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	1	oicl 9505	. . . 4 ⊢ Ord dom 𝐹
5		isof1o 7328	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
6		f1ovv 7959	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
7	2, 5, 6	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
8	7	notbid 321	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (¬ dom 𝐹 ∈ V ↔ ¬ 𝐴 ∈ V))
9	8	biimp3ar 1499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ dom 𝐹 ∈ V)
10		ordprcon 35600	. . . 4 ⊢ ((Ord dom 𝐹 ∧ ¬ dom 𝐹 ∈ V) → dom 𝐹 = On)
11	4, 9, 10	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐹 = On)
12		isoeq4 7325	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 = On → (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴)))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴)))
14	3, 13	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   E cep 5558   Se wse 5610   We wwe 5611  dom cdm 5659  Ord word 6360  Oncon0 6361  –1-1-onto→wf1o 6536   Isom wiso 6538  OrdIsocoi 9485

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-oi 9486

This theorem is used by:  wevonprcf1o  35718