Theorem ordtypeon 35506

Description: A proper class with a set-like well-ordering is isomorphic to the proper class of all ordinal numbers. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtypeon.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtypeon	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))

Proof of Theorem ordtypeon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypeon.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	ordtype 9504	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4	1	oicl 9501	. . . 4 ⊢ Ord dom 𝐹
5		isof1o 7332	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
6		f1ovv 7964	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴 → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
7	2, 5, 6	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (dom 𝐹 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
8	7	notbid 321	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (¬ dom 𝐹 ∈ V ↔ ¬ 𝐴 ∈ V))
9	8	biimp3ar 1499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → ¬ dom 𝐹 ∈ V)
10		ordprcon 35503	. . . 4 ⊢ ((Ord dom 𝐹 ∧ ¬ dom 𝐹 ∈ V) → dom 𝐹 = On)
11	4, 9, 10	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐹 = On)
12		isoeq4 7329	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 = On → (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴)))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴)))
14	3, 13	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   E cep 5565   Se wse 5617   We wwe 5618  dom cdm 5666  Ord word 6366  Oncon0 6367  –1-1-onto→wf1o 6542   Isom wiso 6544  OrdIsocoi 9481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-oi 9482

This theorem is used by:  wevonprcf1o  35621