Theorem pnfnemnf 11335

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11334	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5313	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3009	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11317	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3028	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  𝒫 cpw 4556  +∞cpnf 11311  -∞cmnf 11312  ℝ^*cxr 11313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-un 7734  ax-cnex 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-uni 4867  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318

This theorem is used by:  mnfnepnf  11336  xnn0nemnf  12659  xrnemnf  13215  xrltnr  13217  pnfnlt  13226  nltmnf  13227  xaddpnf1  13325  xaddnemnf  13335  xmullem2  13364  xadddilem  13393  hashnemnf  14455  xrge0iifhom  34502  esumpr2  34632