MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnemnf 10695
Description: Plus and minus infinity are different elements of *. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnemnf +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10694 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 pwne 5250 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝒫 +∞ ≠ +∞
43necomi 3070 . 2 +∞ ≠ 𝒫 +∞
5 df-mnf 10677 . 2 -∞ = 𝒫 +∞
64, 5neeqtrri 3089 1 +∞ ≠ -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2110  wne 3016  𝒫 cpw 4538  +∞cpnf 10671  -∞cmnf 10672  *cxr 10673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-pow 5265  ax-un 7460  ax-cnex 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-rab 3147  df-v 3496  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-uni 4838  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678
This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10696  xnn0nemnf  11977  xrnemnf  12511  xrltnr  12513  pnfnlt  12522  nltmnf  12523  xaddpnf1  12618  xaddnemnf  12628  xmullem2  12657  xadddilem  12686  hashnemnf  13703  xrge0iifhom  31180  esumpr2  31326
  Copyright terms: Public domain W3C validator