Theorem pnfnemnf 11270

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11269	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5322	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3011	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11252	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3030	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  𝒫 cpw 4561  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-un 7734  ax-cnex 11162

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3416  df-v 3456  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-uni 4872  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253

This theorem is used by:  mnfnepnf  11271  xnn0nemnf  12594  xrnemnf  13148  xrltnr  13150  pnfnlt  13159  nltmnf  13160  xaddpnf1  13258  xaddnemnf  13268  xmullem2  13297  xadddilem  13326  hashnemnf  14387  xrge0iifhom  34336  esumpr2  34466