Theorem pnfnemnf 11316

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11315	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5353	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2995	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11298	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3014	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  𝒫 cpw 4600  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-pow 5365  ax-un 7755  ax-cnex 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-rab 3437  df-v 3482  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-uni 4908  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11317  xnn0nemnf  12610  xrnemnf  13159  xrltnr  13161  pnfnlt  13170  nltmnf  13171  xaddpnf1  13268  xaddnemnf  13278  xmullem2  13307  xadddilem  13336  hashnemnf  14383  xrge0iifhom  33936  esumpr2  34068