Theorem pnfnemnf 11269

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11268	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5351	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2996	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11251	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3015	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  𝒫 cpw 4603  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  ℝ^*cxr 11247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-pow 5364  ax-un 7725  ax-cnex 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-rab 3434  df-v 3477  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-uni 4910  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11270  xnn0nemnf  12555  xrnemnf  13097  xrltnr  13099  pnfnlt  13108  nltmnf  13109  xaddpnf1  13205  xaddnemnf  13215  xmullem2  13244  xadddilem  13273  hashnemnf  14304  xrge0iifhom  32917  esumpr2  33065