MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnemnf 10419
Description: Plus and minus infinity are different elements of *. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnemnf +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10417 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 pwne 5055 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝒫 +∞ ≠ +∞
43necomi 3053 . 2 +∞ ≠ 𝒫 +∞
5 df-mnf 10401 . 2 -∞ = 𝒫 +∞
64, 5neeqtrri 3072 1 +∞ ≠ -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2164  wne 2999  𝒫 cpw 4380  +∞cpnf 10395  -∞cmnf 10396  *cxr 10397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-pow 5067  ax-un 7214  ax-cnex 10315
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-uni 4661  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402
This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10420  xnn0nemnf  11708  xrnemnf  12244  xrltnr  12246  pnfnlt  12255  nltmnf  12256  xaddpnf1  12352  xaddnemnf  12362  xmullem2  12390  xadddilem  12419  hashnemnf  13431  xrge0iifhom  30524  esumpr2  30670
  Copyright terms: Public domain W3C validator