MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnemnf 11317
Description: Plus and minus infinity are different elements of *. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnemnf +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11316 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 pwne 5352 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝒫 +∞ ≠ +∞
43necomi 2994 . 2 +∞ ≠ 𝒫 +∞
5 df-mnf 11299 . 2 -∞ = 𝒫 +∞
64, 5neeqtrri 3013 1 +∞ ≠ -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wne 2939  𝒫 cpw 4599  +∞cpnf 11293  -∞cmnf 11294  *cxr 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-pow 5364  ax-un 7756  ax-cnex 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-rab 3436  df-v 3481  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-uni 4907  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300
This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11318  xnn0nemnf  12612  xrnemnf  13160  xrltnr  13162  pnfnlt  13171  nltmnf  13172  xaddpnf1  13269  xaddnemnf  13279  xmullem2  13308  xadddilem  13337  hashnemnf  14384  xrge0iifhom  33937  esumpr2  34069
  Copyright terms: Public domain W3C validator