Theorem pnfnemnf 11388

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11387	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5318	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3013	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11370	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3032	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  𝒫 cpw 4560  +∞cpnf 11364  -∞cmnf 11365  ℝ^*cxr 11366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pow 5331  ax-un 7772  ax-cnex 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-in 4094  df-un 4154  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-uni 4871  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371

This theorem is used by:  mnfnepnf  11389  xnn0nemnf  12714  xrnemnf  13270  xrltnr  13272  pnfnlt  13281  nltmnf  13282  xaddpnf1  13380  xaddnemnf  13390  xmullem2  13419  xadddilem  13448  hashnemnf  14512  xrge0iifhom  34636  esumpr2  34766