Theorem pnfnemnf 10685

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10684	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5216	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3041	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 10667	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3060	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  𝒫 cpw 4497  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-pow 5231  ax-un 7441  ax-cnex 10582

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-rab 3115  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-uni 4801  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10686  xnn0nemnf  11966  xrnemnf  12500  xrltnr  12502  pnfnlt  12511  nltmnf  12512  xaddpnf1  12607  xaddnemnf  12617  xmullem2  12646  xadddilem  12675  hashnemnf  13700  xrge0iifhom  31290  esumpr2  31436