Theorem pnfnemnf 11274

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11273	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5351	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2994	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11256	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3013	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  𝒫 cpw 4603  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  ℝ^*cxr 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-pow 5364  ax-un 7728  ax-cnex 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-tru 1543  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-rab 3432  df-v 3475  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-uni 4910  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11275  xnn0nemnf  12560  xrnemnf  13102  xrltnr  13104  pnfnlt  13113  nltmnf  13114  xaddpnf1  13210  xaddnemnf  13220  xmullem2  13249  xadddilem  13278  hashnemnf  14309  xrge0iifhom  33212  esumpr2  33360