Theorem pnfnemnf 10961

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10960	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5268	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2997	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 10943	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3016	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  𝒫 cpw 4530  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-pow 5283  ax-un 7566  ax-cnex 10858

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-tru 1542  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-rab 3072  df-v 3424  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-uni 4837  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10962  xnn0nemnf  12246  xrnemnf  12782  xrltnr  12784  pnfnlt  12793  nltmnf  12794  xaddpnf1  12889  xaddnemnf  12899  xmullem2  12928  xadddilem  12957  hashnemnf  13986  xrge0iifhom  31789  esumpr2  31935