Theorem pnfnemnf 11364

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11363	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5313	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3009	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11346	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3028	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  𝒫 cpw 4556  +∞cpnf 11340  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-un 7751  ax-cnex 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-in 4091  df-un 4151  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-uni 4867  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347

This theorem is used by:  mnfnepnf  11365  xnn0nemnf  12690  xrnemnf  13246  xrltnr  13248  pnfnlt  13257  nltmnf  13258  xaddpnf1  13356  xaddnemnf  13366  xmullem2  13395  xadddilem  13424  hashnemnf  14488  xrge0iifhom  34569  esumpr2  34699