MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnemnf 10913
Description: Plus and minus infinity are different elements of *. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnemnf +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10912 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 pwne 5257 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝒫 +∞ ≠ +∞
43necomi 2996 . 2 +∞ ≠ 𝒫 +∞
5 df-mnf 10895 . 2 -∞ = 𝒫 +∞
64, 5neeqtrri 3015 1 +∞ ≠ -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2111  wne 2941  𝒫 cpw 4528  +∞cpnf 10889  -∞cmnf 10890  *cxr 10891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-pow 5273  ax-un 7542  ax-cnex 10810
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-tru 1546  df-ex 1788  df-sb 2072  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2942  df-rab 3071  df-v 3423  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-uni 4835  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896
This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10914  xnn0nemnf  12198  xrnemnf  12734  xrltnr  12736  pnfnlt  12745  nltmnf  12746  xaddpnf1  12841  xaddnemnf  12851  xmullem2  12880  xadddilem  12909  hashnemnf  13938  xrge0iifhom  31628  esumpr2  31774
  Copyright terms: Public domain W3C validator