Theorem pnfnemnf 11205

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11204	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5303	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2979	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11187	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2998	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  𝒫 cpw 4559  +∞cpnf 11181  -∞cmnf 11182  ℝ^*cxr 11183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-pow 5315  ax-un 7691  ax-cnex 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-rab 3403  df-v 3446  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-uni 4868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11206  xnn0nemnf  12502  xrnemnf  13053  xrltnr  13055  pnfnlt  13064  nltmnf  13065  xaddpnf1  13162  xaddnemnf  13172  xmullem2  13201  xadddilem  13230  hashnemnf  14285  xrge0iifhom  33920  esumpr2  34050