Theorem pnfnemnf 11167

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11166	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5289	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2982	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11149	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3001	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  𝒫 cpw 4547  +∞cpnf 11143  -∞cmnf 11144  ℝ^*cxr 11145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-pow 5301  ax-un 7668  ax-cnex 11062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-rab 3396  df-v 3438  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-uni 4857  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11168  xnn0nemnf  12465  xrnemnf  13016  xrltnr  13018  pnfnlt  13027  nltmnf  13028  xaddpnf1  13125  xaddnemnf  13135  xmullem2  13164  xadddilem  13193  hashnemnf  14251  xrge0iifhom  33950  esumpr2  34080