MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnemnf 10382
Description: Plus and minus infinity are different elements of *. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnemnf +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10380 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 pwne 5030 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝒫 +∞ ≠ +∞
43necomi 3039 . 2 +∞ ≠ 𝒫 +∞
5 df-mnf 10365 . 2 -∞ = 𝒫 +∞
64, 5neeqtrri 3058 1 +∞ ≠ -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157  wne 2985  𝒫 cpw 4358  +∞cpnf 10359  -∞cmnf 10360  *cxr 10361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-pow 5042  ax-un 7182  ax-cnex 10280
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3400  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-uni 4638  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366
This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10383  xnn0nemnf  11643  xrnemnf  12170  xrltnr  12172  pnfnlt  12181  nltmnf  12182  xaddpnf1  12278  xaddnemnf  12288  xmullem2  12316  xadddilem  12345  hashnemnf  13355  xrge0iifhom  30314  esumpr2  30460
  Copyright terms: Public domain W3C validator