Theorem pnfnemnf 11192

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11191	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5282	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2988	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11174	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3007	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  𝒫 cpw 4530  +∞cpnf 11168  -∞cmnf 11169  ℝ^*cxr 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-pow 5295  ax-un 7679  ax-cnex 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-rab 3392  df-v 3433  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-uni 4840  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11193  xnn0nemnf  12513  xrnemnf  13060  xrltnr  13062  pnfnlt  13071  nltmnf  13072  xaddpnf1  13170  xaddnemnf  13180  xmullem2  13209  xadddilem  13238  hashnemnf  14298  xrge0iifhom  34130  esumpr2  34260