Theorem pnfnemnf 11314

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11313	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5359	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2993	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11296	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3012	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  𝒫 cpw 4605  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-pow 5371  ax-un 7754  ax-cnex 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-rab 3434  df-v 3480  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-uni 4913  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11315  xnn0nemnf  12608  xrnemnf  13157  xrltnr  13159  pnfnlt  13168  nltmnf  13169  xaddpnf1  13265  xaddnemnf  13275  xmullem2  13304  xadddilem  13333  hashnemnf  14380  xrge0iifhom  33898  esumpr2  34048