Theorem pnfnemnf 11189

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11188	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5298	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2986	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11171	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3005	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  𝒫 cpw 4554  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-pow 5310  ax-un 7680  ax-cnex 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-rab 3400  df-v 3442  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-uni 4864  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11190  xnn0nemnf  12487  xrnemnf  13033  xrltnr  13035  pnfnlt  13044  nltmnf  13045  xaddpnf1  13143  xaddnemnf  13153  xmullem2  13182  xadddilem  13211  hashnemnf  14269  xrge0iifhom  34096  esumpr2  34226