Theorem pnfnemnf 11238

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11237	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5310	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3012	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11220	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3031	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  𝒫 cpw 4556  +∞cpnf 11214  -∞cmnf 11215  ℝ^*cxr 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-pow 5323  ax-un 7719  ax-cnex 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-ex 1801  df-sb 2092  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-rab 3416  df-v 3457  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-uni 4867  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11239  xnn0nemnf  12566  xrnemnf  13120  xrltnr  13122  pnfnlt  13131  nltmnf  13132  xaddpnf1  13230  xaddnemnf  13240  xmullem2  13269  xadddilem  13298  hashnemnf  14358  xrge0iifhom  34235  esumpr2  34365