Theorem pnfnemnf 11291

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11290	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5321	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3011	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11273	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3030	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  𝒫 cpw 4560  +∞cpnf 11267  -∞cmnf 11268  ℝ^*cxr 11269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-un 7739  ax-cnex 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3415  df-v 3455  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-uni 4871  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274

This theorem is used by:  mnfnepnf  11292  xnn0nemnf  12615  xrnemnf  13170  xrltnr  13172  pnfnlt  13181  nltmnf  13182  xaddpnf1  13280  xaddnemnf  13290  xmullem2  13319  xadddilem  13348  hashnemnf  14410  xrge0iifhom  34434  esumpr2  34564