Theorem pnfnemnf 11200

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11199	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5294	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2986	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11182	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3005	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  𝒫 cpw 4541  +∞cpnf 11176  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-un 7689  ax-cnex 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-rab 3390  df-v 3431  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-uni 4851  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11201  xnn0nemnf  12521  xrnemnf  13068  xrltnr  13070  pnfnlt  13079  nltmnf  13080  xaddpnf1  13178  xaddnemnf  13188  xmullem2  13217  xadddilem  13246  hashnemnf  14306  xrge0iifhom  34081  esumpr2  34211