MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnemnf 11316
Description: Plus and minus infinity are different elements of *. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnemnf +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11315 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 pwne 5353 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝒫 +∞ ≠ +∞
43necomi 2995 . 2 +∞ ≠ 𝒫 +∞
5 df-mnf 11298 . 2 -∞ = 𝒫 +∞
64, 5neeqtrri 3014 1 +∞ ≠ -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2108  wne 2940  𝒫 cpw 4600  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-pow 5365  ax-un 7755  ax-cnex 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-rab 3437  df-v 3482  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-uni 4908  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299
This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11317  xnn0nemnf  12610  xrnemnf  13159  xrltnr  13161  pnfnlt  13170  nltmnf  13171  xaddpnf1  13268  xaddnemnf  13278  xmullem2  13307  xadddilem  13336  hashnemnf  14383  xrge0iifhom  33936  esumpr2  34068
  Copyright terms: Public domain W3C validator