Theorem pnfnemnf 11295

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11294	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5328	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2987	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11277	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3006	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  𝒫 cpw 4580  +∞cpnf 11271  -∞cmnf 11272  ℝ^*cxr 11273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-pow 5340  ax-un 7734  ax-cnex 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-rab 3421  df-v 3466  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-uni 4889  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11296  xnn0nemnf  12590  xrnemnf  13138  xrltnr  13140  pnfnlt  13149  nltmnf  13150  xaddpnf1  13247  xaddnemnf  13257  xmullem2  13286  xadddilem  13315  hashnemnf  14367  xrge0iifhom  33973  esumpr2  34103