Theorem pnfnemnf 11300

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11299	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5352	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2992	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11282	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3011	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  𝒫 cpw 4603  +∞cpnf 11276  -∞cmnf 11277  ℝ^*cxr 11278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-pow 5365  ax-un 7740  ax-cnex 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-tru 1537  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-rab 3430  df-v 3473  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-uni 4909  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11301  xnn0nemnf  12586  xrnemnf  13130  xrltnr  13132  pnfnlt  13141  nltmnf  13142  xaddpnf1  13238  xaddnemnf  13248  xmullem2  13277  xadddilem  13306  hashnemnf  14336  xrge0iifhom  33538  esumpr2  33686