MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnemnf 11217
Description: Plus and minus infinity are different elements of *. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnemnf +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11216 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 pwne 5312 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝒫 +∞ ≠ +∞
43necomi 2999 . 2 +∞ ≠ 𝒫 +∞
5 df-mnf 11199 . 2 -∞ = 𝒫 +∞
64, 5neeqtrri 3018 1 +∞ ≠ -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wne 2944  𝒫 cpw 4565  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  *cxr 11195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-pow 5325  ax-un 7677  ax-cnex 11114
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-rab 3411  df-v 3450  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-uni 4871  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200
This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11218  xnn0nemnf  12503  xrnemnf  13045  xrltnr  13047  pnfnlt  13056  nltmnf  13057  xaddpnf1  13152  xaddnemnf  13162  xmullem2  13191  xadddilem  13220  hashnemnf  14251  xrge0iifhom  32558  esumpr2  32706
  Copyright terms: Public domain W3C validator