Theorem pnfnemnf 11185

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11184	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5296	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2984	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11167	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3003	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  𝒫 cpw 4552  +∞cpnf 11161  -∞cmnf 11162  ℝ^*cxr 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-pow 5308  ax-un 7678  ax-cnex 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-rab 3398  df-v 3440  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-uni 4862  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11186  xnn0nemnf  12483  xrnemnf  13029  xrltnr  13031  pnfnlt  13040  nltmnf  13041  xaddpnf1  13139  xaddnemnf  13149  xmullem2  13178  xadddilem  13207  hashnemnf  14265  xrge0iifhom  34043  esumpr2  34173