Theorem pnfnemnf 10699

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10698	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5254	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3073	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 10681	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3092	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  𝒫 cpw 4542  +∞cpnf 10675  -∞cmnf 10676  ℝ^*cxr 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-pow 5269  ax-un 7464  ax-cnex 10596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-rab 3150  df-v 3499  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-uni 4842  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10700  xnn0nemnf  11981  xrnemnf  12515  xrltnr  12517  pnfnlt  12526  nltmnf  12527  xaddpnf1  12622  xaddnemnf  12632  xmullem2  12661  xadddilem  12690  hashnemnf  13707  xrge0iifhom  31184  esumpr2  31330