Theorem pnfnemnf 11264

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11263	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5324	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3018	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11246	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3037	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  𝒫 cpw 4567  +∞cpnf 11240  -∞cmnf 11241  ℝ^*cxr 11242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-un 7733  ax-cnex 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-rab 3424  df-v 3465  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-uni 4877  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11265  xnn0nemnf  12588  xrnemnf  13142  xrltnr  13144  pnfnlt  13153  nltmnf  13154  xaddpnf1  13252  xaddnemnf  13262  xmullem2  13291  xadddilem  13320  hashnemnf  14380  xrge0iifhom  34272  esumpr2  34402