Theorem pnfnemnf 10419

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10417	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5055	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3053	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 10401	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3072	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  𝒫 cpw 4380  +∞cpnf 10395  -∞cmnf 10396  ℝ^*cxr 10397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-pow 5067  ax-un 7214  ax-cnex 10315

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-uni 4661  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10420  xnn0nemnf  11708  xrnemnf  12244  xrltnr  12246  pnfnlt  12255  nltmnf  12256  xaddpnf1  12352  xaddnemnf  12362  xmullem2  12390  xadddilem  12419  hashnemnf  13431  xrge0iifhom  30524  esumpr2  30670