Theorem pnfnemnf 11229

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11228	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5308	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2979	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11211	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2998	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  𝒫 cpw 4563  +∞cpnf 11205  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-pow 5320  ax-un 7711  ax-cnex 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-rab 3406  df-v 3449  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-uni 4872  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11230  xnn0nemnf  12526  xrnemnf  13077  xrltnr  13079  pnfnlt  13088  nltmnf  13089  xaddpnf1  13186  xaddnemnf  13196  xmullem2  13225  xadddilem  13254  hashnemnf  14309  xrge0iifhom  33927  esumpr2  34057