Theorem pnfnemnf 11030

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11029	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5273	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2998	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11012	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3017	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  𝒫 cpw 4533  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-pow 5288  ax-un 7588  ax-cnex 10927

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-tru 1542  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-rab 3073  df-v 3434  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-uni 4840  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11031  xnn0nemnf  12316  xrnemnf  12853  xrltnr  12855  pnfnlt  12864  nltmnf  12865  xaddpnf1  12960  xaddnemnf  12970  xmullem2  12999  xadddilem  13028  hashnemnf  14058  xrge0iifhom  31887  esumpr2  32035