Theorem pnfnemnf 11317

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11316	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5352	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2994	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11299	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3013	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  𝒫 cpw 4599  +∞cpnf 11293  -∞cmnf 11294  ℝ^*cxr 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-pow 5364  ax-un 7756  ax-cnex 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-rab 3436  df-v 3481  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-uni 4907  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11318  xnn0nemnf  12612  xrnemnf  13160  xrltnr  13162  pnfnlt  13171  nltmnf  13172  xaddpnf1  13269  xaddnemnf  13279  xmullem2  13308  xadddilem  13337  hashnemnf  14384  xrge0iifhom  33937  esumpr2  34069