Theorem pnfnemnf 11273

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11272	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5349	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2993	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11255	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3012	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  𝒫 cpw 4601  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  ℝ^*cxr 11251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-pow 5362  ax-un 7727  ax-cnex 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-tru 1542  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-rab 3431  df-v 3474  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-uni 4908  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11274  xnn0nemnf  12559  xrnemnf  13101  xrltnr  13103  pnfnlt  13112  nltmnf  13113  xaddpnf1  13209  xaddnemnf  13219  xmullem2  13248  xadddilem  13277  hashnemnf  14308  xrge0iifhom  33215  esumpr2  33363