Theorem pnfnemnf 11288

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11287	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5317	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3009	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11270	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3028	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  𝒫 cpw 4557  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-un 7736  ax-cnex 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-uni 4868  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271

This theorem is used by:  mnfnepnf  11289  xnn0nemnf  12612  xrnemnf  13168  xrltnr  13170  pnfnlt  13179  nltmnf  13180  xaddpnf1  13278  xaddnemnf  13288  xmullem2  13317  xadddilem  13346  hashnemnf  14408  xrge0iifhom  34447  esumpr2  34577