Theorem pnfnemnf 11345

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11344	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5371	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3001	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11327	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3020	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  𝒫 cpw 4622  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-pow 5383  ax-un 7770  ax-cnex 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-rab 3444  df-v 3490  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-uni 4932  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11346  xnn0nemnf  12636  xrnemnf  13180  xrltnr  13182  pnfnlt  13191  nltmnf  13192  xaddpnf1  13288  xaddnemnf  13298  xmullem2  13327  xadddilem  13356  hashnemnf  14393  xrge0iifhom  33883  esumpr2  34031