Theorem pnfnemnf 11199

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11198	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5300	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2987	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 11181	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3006	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  𝒫 cpw 4556  +∞cpnf 11175  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-un 7690  ax-cnex 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-rab 3402  df-v 3444  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-uni 4866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  11200  xnn0nemnf  12497  xrnemnf  13043  xrltnr  13045  pnfnlt  13054  nltmnf  13055  xaddpnf1  13153  xaddnemnf  13163  xmullem2  13192  xadddilem  13221  hashnemnf  14279  xrge0iifhom  34119  esumpr2  34249