Theorem xrnemnf 13077

Description: An extended real other than minus infinity is real or positive infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrnemnf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))

Proof of Theorem xrnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.61 1002	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
2		elxr 13076	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3		df-3or 1087	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
5		df-ne 2926	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
6	4, 5	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
7		renemnf 11223	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
8		pnfnemnf 11229	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
9		neeq1 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
10	8, 9	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
11	7, 10	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
12	11	neneqd 2930	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
13	12	pm4.71i 559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
14	1, 6, 13	3bitr4i 303	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ℝcr 11067  +∞cpnf 11205  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212

This theorem is referenced by:  xaddnemnf  13196  xaddass  13209  xlesubadd  13223  xrge0nre  13414  xblss2ps  24289  xblss2  24290  nmoix  24617  nmoleub  24619  blcvx  24686  xrge0tsms  24723  metdstri  24740  nmoleub2lem  25014  xrge0tsmsd  33002  esumcvgre  34081  icorempo  37339  xrnmnfpnf  45077  xrred  45361