MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrnemnf 12155
Description: An extended real other than minus infinity is real or positive infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrnemnf ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))

Proof of Theorem xrnemnf
StepHypRef Expression
1 pm5.61 944 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
2 elxr 12154 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3 df-3or 1072 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
42, 3bitri 264 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
5 df-ne 2944 . . 3 (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
64, 5anbi12i 604 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
7 renemnf 10289 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
8 pnfnemnf 10295 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
9 neeq1 3005 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
108, 9mpbiri 248 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
117, 10jaoi 836 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
1211neneqd 2948 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
1312pm4.71i 541 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
141, 6, 133bitr4i 292 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 382  wo 826  w3o 1070   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cr 10136  +∞cpnf 10272  -∞cmnf 10273  *cxr 10274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279
This theorem is referenced by:  xaddnemnf  12271  xaddass  12283  xlesubadd  12297  xrge0nre  12483  xblss2ps  22425  xblss2  22426  nmoix  22752  nmoleub  22754  blcvx  22820  xrge0tsms  22856  metdstri  22873  nmoleub2lem  23132  xrge0tsmsd  30122  esumcvgre  30490  icorempt2  33532  xrnmnfpnf  39773  xrred  40093
  Copyright terms: Public domain W3C validator