MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrnemnf 12596
Description: An extended real other than minus infinity is real or positive infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrnemnf ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))

Proof of Theorem xrnemnf
StepHypRef Expression
1 pm5.61 1000 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
2 elxr 12595 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3 df-3or 1089 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
42, 3bitri 278 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
5 df-ne 2935 . . 3 (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
64, 5anbi12i 630 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
7 renemnf 10769 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
8 pnfnemnf 10775 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
9 neeq1 2996 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
108, 9mpbiri 261 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
117, 10jaoi 856 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
1211neneqd 2939 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
1312pm4.71i 563 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
141, 6, 133bitr4i 306 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399  wo 846  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  cr 10615  +∞cpnf 10751  -∞cmnf 10752  *cxr 10753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758
This theorem is referenced by:  xaddnemnf  12713  xaddass  12726  xlesubadd  12740  xrge0nre  12928  xblss2ps  23155  xblss2  23156  nmoix  23483  nmoleub  23485  blcvx  23551  xrge0tsms  23587  metdstri  23604  nmoleub2lem  23867  xrge0tsmsd  30894  esumcvgre  31629  icorempo  35142  xrnmnfpnf  42163  xrred  42434
  Copyright terms: Public domain W3C validator