Theorem xrltnr 12502

Description: The extended real 'less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem xrltnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 12499	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		ltnr 10724	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3		pnfnre 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∉ ℝ
4	3	neli 3093	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
5	4	intnan 490	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ)
6	5	intnanr 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞)
7		pnfnemnf 10685	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ≠ -∞
8	7	neii 2989	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ +∞ = -∞
9	8	intnanr 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)
10	6, 9	pm3.2ni 878	. . . . . 6 ⊢ ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
11	4	intnanr 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞)
12	4	intnan 490	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)
13	11, 12	pm3.2ni 878	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))
14	10, 13	pm3.2ni 878	. . . . 5 ⊢ ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
15		pnfxr 10684	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		ltxr 12498	. . . . . 6 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
17	15, 15, 16	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
18	14, 17	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ < +∞
19		breq12 5035	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
20	19	anidms 570	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
21	18, 20	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22		mnfnre 10673	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∉ ℝ
23	22	neli 3093	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
24	23	intnan 490	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
25	24	intnanr 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞)
26	7	nesymi 3044	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ -∞ = +∞
27	26	intnan 490	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)
28	25, 27	pm3.2ni 878	. . . . . 6 ⊢ ¬ (((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞))
29	23	intnanr 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
30	23	intnan 490	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
31	29, 30	pm3.2ni 878	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
32	28, 31	pm3.2ni 878	. . . . 5 ⊢ ¬ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
33		mnfxr 10687	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
34		ltxr 12498	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
35	33, 33, 34	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))))
36	32, 35	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ -∞ < -∞
37		breq12 5035	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
38	37	anidms 570	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
39	36, 38	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
40	2, 21, 39	3jaoi 1424	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
41	1, 40	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525   <_ℝ cltrr 10530  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  xrltnsym  12518  xrlttri  12520  nltpnft  12545  ngtmnft  12547  xrsupsslem  12688  xrinfmsslem  12689  xrub  12693  lbioo  12757  ubioo  12758  topnfbey  28254  lbioc  42150  icoub  42163  iccpartnel  43955