Theorem xrltnr 13118

Description: The extended real 'less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem xrltnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		ltnr 11275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3		pnfnre 11220	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∉ ℝ
4	3	neli 3062	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
5	4	intnan 490	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ)
6	5	intnanr 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞)
7		pnfnemnf 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ≠ -∞
8	7	neii 2958	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ +∞ = -∞
9	8	intnanr 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)
10	6, 9	pm3.2ni 891	. . . . . 6 ⊢ ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
11	4	intnanr 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞)
12	4	intnan 490	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)
13	11, 12	pm3.2ni 891	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))
14	10, 13	pm3.2ni 891	. . . . 5 ⊢ ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
15		pnfxr 11233	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		ltxr 13114	. . . . . 6 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
17	15, 15, 16	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
18	14, 17	mtbir 325	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ < +∞
19		breq12 5104	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
20	19	anidms 574	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
21	18, 20	mtbiri 329	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22		mnfnre 11222	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∉ ℝ
23	22	neli 3062	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
24	23	intnan 490	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
25	24	intnanr 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞)
26	7	nesymi 3013	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ -∞ = +∞
27	26	intnan 490	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)
28	25, 27	pm3.2ni 891	. . . . . 6 ⊢ ¬ (((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞))
29	23	intnanr 491	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
30	23	intnan 490	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
31	29, 30	pm3.2ni 891	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
32	28, 31	pm3.2ni 891	. . . . 5 ⊢ ¬ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
33		mnfxr 11236	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
34		ltxr 13114	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
35	33, 33, 34	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))))
36	32, 35	mtbir 325	. . . 4 ⊢ ¬ -∞ < -∞
37		breq12 5104	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
38	37	anidms 574	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
39	36, 38	mtbiri 329	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
40	2, 21, 39	3jaoi 1446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
41	1, 40	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∨ w3o 1096   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ℝcr 11069   <_ℝ cltrr 11074  +∞cpnf 11210  -∞cmnf 11211  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218

This theorem is referenced by:  xrltnsym  13136  xrlttri  13138  nltpnft  13164  ngtmnft  13166  xrsupsslem  13307  xrinfmsslem  13308  xrub  13312  lbioo  13377  ubioo  13378  topnfbey  30617  lbioc  46053  icoub  46066  et-ltneverrefl  47409  iccpartnel  48008