Theorem xrltnr 13278

Description: The extended real 'less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem xrltnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		ltnr 11435	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3		pnfnre 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∉ ℝ
4	3	neli 3067	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
5	4	intnan 492	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ)
6	5	intnanr 493	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞)
7		pnfnemnf 11394	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ≠ -∞
8	7	neii 2961	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ +∞ = -∞
9	8	intnanr 493	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)
10	6, 9	pm3.2ni 894	. . . . . 6 ⊢ ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
11	4	intnanr 493	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞)
12	4	intnan 492	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)
13	11, 12	pm3.2ni 894	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))
14	10, 13	pm3.2ni 894	. . . . 5 ⊢ ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
15		pnfxr 11393	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		ltxr 13274	. . . . . 6 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
17	15, 15, 16	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (+∞ < +∞ ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
18	14, 17	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ +∞ < +∞
19		breq12 5111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
20	19	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ +∞ < +∞))
21	18, 20	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22		mnfnre 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∉ ℝ
23	22	neli 3067	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
24	23	intnan 492	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
25	24	intnanr 493	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞)
26	7	nesymi 3016	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ -∞ = +∞
27	26	intnan 492	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)
28	25, 27	pm3.2ni 894	. . . . . 6 ⊢ ¬ (((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞))
29	23	intnanr 493	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
30	23	intnan 492	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
31	29, 30	pm3.2ni 894	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
32	28, 31	pm3.2ni 894	. . . . 5 ⊢ ¬ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
33		mnfxr 11396	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
34		ltxr 13274	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
35	33, 33, 34	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (-∞ < -∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ -∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))))
36	32, 35	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ -∞ < -∞
37		breq12 5111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
38	37	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
39	36, 38	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
40	2, 21, 39	3jaoi 1455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
41	1, 40	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ℝcr 11229   <_ℝ cltrr 11234  +∞cpnf 11370  -∞cmnf 11371  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378

This theorem is used by:  xrltnsym  13296  xrlttri  13298  nltpnft  13324  ngtmnft  13326  xrsupsslem  13467  xrinfmsslem  13468  xrub  13472  lbioo  13537  ubioo  13538  topnfbey  31103  lbioc  46740  icoub  46753  et-ltneverrefl  48096  iccpartnel  48735