MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nltmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nltmnf 13109
Description: No extended real is less than minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
nltmnf (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)

Proof of Theorem nltmnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 11257 . . . . . . 7 -∞ ∉ ℝ
21neli 3049 . . . . . 6 ¬ -∞ ∈ ℝ
32intnan 488 . . . . 5 ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
43intnanr 489 . . . 4 ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞)
5 pnfnemnf 11269 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
65nesymi 2999 . . . . 5 ¬ -∞ = +∞
76intnan 488 . . . 4 ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)
84, 7pm3.2ni 880 . . 3 ¬ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞))
96intnan 488 . . . 4 ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
102intnan 488 . . . 4 ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
119, 10pm3.2ni 880 . . 3 ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
128, 11pm3.2ni 880 . 2 ¬ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
13 mnfxr 11271 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
14 ltxr 13095 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
1513, 14mpan2 690 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
1612, 15mtbiri 327 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5149  cr 11109   < cltrr 11114  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  *cxr 11247   < clt 11248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253
This theorem is referenced by:  mnfle  13114  xrltnsym  13116  xrlttr  13119  qbtwnxr  13179  xltnegi  13195  xmullem2  13244  xmulasslem2  13261  xlemul1a  13267  xrsupexmnf  13284  xrsupsslem  13286  xrinfmsslem  13287  xrsup0  13302  reltxrnmnf  13321  infmremnf  13322  mnfnei  22725  blssioo  24311  deg1add  25621  icorempo  36232  relowlssretop  36244  supxrgere  44043  supxrgelem  44047  infxrunb2  44078  iccpartiltu  46090
  Copyright terms: Public domain W3C validator