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Theorem xadddilem 13313
Description: Lemma for xadddi 13314. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddilem (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddilem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 recn 11235 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 recn 11235 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4 recn 11235 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
5 adddi 11234 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
62, 3, 4, 5syl3an 1157 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
763expa 1115 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
8 readdcl 11228 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
9 rexmul 13290 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
108, 9sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
1110anassrs 466 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
12 remulcl 11230 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
1312adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
14 remulcl 11230 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
1514adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
1613, 15rexaddd 13253 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) +𝑒 (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
177, 11, 163eqtr4d 2775 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) +𝑒 (𝐴 · 𝐶)))
18 rexadd 13251 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
1918adantll 712 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
2019oveq2d 7435 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)))
21 rexmul 13290 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
2221adantr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
23 rexmul 13290 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
2423adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
2522, 24oveq12d 7437 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) +𝑒 (𝐴 · 𝐶)))
2617, 20, 253eqtr4d 2775 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
271, 26sylanl1 678 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
28 rexr 11297 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
29283ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
30 xmulpnf1 13293 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
3129, 30sylan 578 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
3231adantr 479 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
3321, 12eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ)
341, 33sylan 578 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ)
35 rexr 11297 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
36 renemnf 11300 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐵) ≠ -∞)
37 xaddpnf1 13245 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ≠ -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
3835, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
3934, 38syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
4032, 39eqtr4d 2768 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞))
4140adantr 479 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e +∞) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞))
42 oveq2 7427 . . . . . 6 (𝐶 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
43 rexr 11297 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 renemnf 11300 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
45 xaddpnf1 13245 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
4643, 44, 45syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
4746adantl 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
4842, 47sylan9eqr 2787 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
4948oveq2d 7435 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
50 oveq2 7427 . . . . . 6 (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
5150, 32sylan9eqr 2787 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = +∞)
5251oveq2d 7435 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞))
5341, 49, 523eqtr4d 2775 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
54 xmulmnf1 13295 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
5529, 54sylan 578 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
5655adantr 479 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
5756adantr 479 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
5834adantr 479 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ)
59 renepnf 11299 . . . . . . 7 ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐵) ≠ +∞)
60 xaddmnf1 13247 . . . . . . 7 (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ≠ +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞) = -∞)
6135, 59, 60syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞) = -∞)
6258, 61syl 17 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞) = -∞)
6357, 62eqtr4d 2768 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e -∞) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞))
64 oveq2 7427 . . . . . 6 (𝐶 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 -∞))
65 renepnf 11299 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
66 xaddmnf1 13247 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
6743, 65, 66syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
6867adantl 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
6964, 68sylan9eqr 2787 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
7069oveq2d 7435 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
71 oveq2 7427 . . . . . 6 (𝐶 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e -∞))
7271, 56sylan9eqr 2787 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = -∞)
7372oveq2d 7435 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞))
7463, 70, 733eqtr4d 2775 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
75 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
76 elxr 13136 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
7775, 76sylib 217 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
7877adantr 479 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
7927, 53, 74, 78mpjao3dan 1428 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
8031ad2antrr 724 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
811adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
8223, 14eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ)
8381, 82sylan 578 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ)
84 rexr 11297 . . . . . . 7 ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
85 renemnf 11300 . . . . . . 7 ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ≠ -∞)
86 xaddpnf2 13246 . . . . . . 7 (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = +∞)
8784, 85, 86syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = +∞)
8883, 87syl 17 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = +∞)
8980, 88eqtr4d 2768 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
90 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
9190oveq1d 7434 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
92 rexr 11297 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
93 renemnf 11300 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ -∞)
94 xaddpnf2 13246 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
9592, 93, 94syl2anc 582 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
9691, 95sylan9eq 2785 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
9796oveq2d 7435 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
98 oveq2 7427 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
9998, 31sylan9eqr 2787 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
10099adantr 479 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
101100oveq1d 7434 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
10289, 97, 1013eqtr4d 2775 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
103 pnfxr 11305 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
104 pnfnemnf 11306 . . . . . . 7 +∞ ≠ -∞
105 xaddpnf1 13245 . . . . . . 7 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 +∞) = +∞)
106103, 104, 105mp2an 690 . . . . . 6 (+∞ +𝑒 +∞) = +∞
10731, 31oveq12d 7437 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (+∞ +𝑒 +∞))
108106, 107, 313eqtr4a 2791 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (𝐴 ·e +∞))
109108ad2antrr 724 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (𝐴 ·e +∞))
11098, 50oveqan12d 7438 . . . . 5 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
111110adantll 712 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
112 oveq12 7428 . . . . . . 7 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 +∞))
113112, 106eqtrdi 2781 . . . . . 6 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
114113oveq2d 7435 . . . . 5 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
115114adantll 712 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
116109, 111, 1153eqtr4rd 2776 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
117 pnfaddmnf 13249 . . . . . 6 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
11831, 55oveq12d 7437 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (+∞ +𝑒 -∞))
119 xmul01 13286 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
1201, 28, 1193syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 0) = 0)
121117, 118, 1203eqtr4a 2791 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e 0))
122121ad2antrr 724 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e 0))
12398, 71oveqan12d 7438 . . . . 5 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
124123adantll 712 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
125 oveq12 7428 . . . . . . 7 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 -∞))
126125, 117eqtrdi 2781 . . . . . 6 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = 0)
127126oveq2d 7435 . . . . 5 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
128127adantll 712 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
129122, 124, 1283eqtr4rd 2776 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
13077adantr 479 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
131102, 116, 129, 130mpjao3dan 1428 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
13255ad2antrr 724 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
1331adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
134133, 82sylan 578 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ)
135 renepnf 11299 . . . . . . 7 ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ≠ +∞)
136 xaddmnf2 13248 . . . . . . 7 (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = -∞)
13784, 135, 136syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = -∞)
138134, 137syl 17 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = -∞)
139132, 138eqtr4d 2768 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e -∞) = (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
140 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
141140oveq1d 7434 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
142 renepnf 11299 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ +∞)
143 xaddmnf2 13248 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
14492, 142, 143syl2anc 582 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
145141, 144sylan9eq 2785 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
146145oveq2d 7435 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
147 oveq2 7427 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e -∞))
148147, 55sylan9eqr 2787 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = -∞)
149148adantr 479 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = -∞)
150149oveq1d 7434 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
151139, 146, 1503eqtr4d 2775 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
15255, 31oveq12d 7437 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (-∞ +𝑒 +∞))
153 mnfaddpnf 13250 . . . . . . 7 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
154152, 153eqtrdi 2781 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = 0)
155120, 154eqtr4d 2768 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 0) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
156155ad2antrr 724 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e 0) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
157 oveq12 7428 . . . . . . 7 ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 +∞))
158157, 153eqtrdi 2781 . . . . . 6 ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = 0)
159158oveq2d 7435 . . . . 5 ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
160159adantll 712 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
161147, 50oveqan12d 7438 . . . . 5 ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
162161adantll 712 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
163156, 160, 1623eqtr4d 2775 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
164 mnfxr 11308 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
165 mnfnepnf 11307 . . . . . . 7 -∞ ≠ +∞
166 xaddmnf1 13247 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -∞) = -∞)
167164, 165, 166mp2an 690 . . . . . 6 (-∞ +𝑒 -∞) = -∞
16855, 55oveq12d 7437 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (-∞ +𝑒 -∞))
169167, 168, 553eqtr4a 2791 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e -∞))
170169ad2antrr 724 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e -∞))
171147, 71oveqan12d 7438 . . . . 5 ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
172171adantll 712 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
173 oveq12 7428 . . . . . . 7 ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 -∞))
174173, 167eqtrdi 2781 . . . . . 6 ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
175174oveq2d 7435 . . . . 5 ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
176175adantll 712 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
177170, 172, 1763eqtr4rd 2776 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
17877adantr 479 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
179151, 163, 177, 178mpjao3dan 1428 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
180 simpl2 1189 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
181 elxr 13136 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
182180, 181sylib 217 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
18379, 131, 179, 182mpjao3dan 1428 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cc 11143  cr 11144  0cc0 11145   + caddc 11148   · cmul 11150  +∞cpnf 11282  -∞cmnf 11283  *cxr 11284   < clt 11285   +𝑒 cxad 13130   ·e cxmu 13131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134
This theorem is referenced by:  xadddi  13314
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