Theorem xadddilem 13274

Description: Lemma for xadddi 13275. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddilem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		recn 11197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 11197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		recn 11197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
5		adddi 11196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
7	6	3expa 1115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
8		readdcl 11190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
9		rexmul 13251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
10	8, 9	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
11	10	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
12		remulcl 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
14		remulcl 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
16	13, 15	rexaddd 13214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) +𝑒 (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
17	7, 11, 16	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) +𝑒 (𝐴 · 𝐶)))
18		rexadd 13212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
19	18	adantll 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
20	19	oveq2d 7418	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)))
21		rexmul 13251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
23		rexmul 13251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
24	23	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
25	22, 24	oveq12d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) +𝑒 (𝐴 · 𝐶)))
26	17, 20, 25	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
27	1, 26	sylanl1 677	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
28		rexr 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
29	28	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
30		xmulpnf1 13254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
31	29, 30	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
33	21, 12	eqeltrd 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ)
34	1, 33	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ)
35		rexr 11259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
36		renemnf 11262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐵) ≠ -∞)
37		xaddpnf1 13206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ≠ -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
38	35, 36, 37	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
39	34, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
40	32, 39	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞))
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e +∞) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞))
42		oveq2 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
43		rexr 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		renemnf 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
45		xaddpnf1 13206	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
46	43, 44, 45	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
47	46	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
48	42, 47	sylan9eqr 2786	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
49	48	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
50		oveq2 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
51	50, 32	sylan9eqr 2786	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = +∞)
52	51	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞))
53	41, 49, 52	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
54		xmulmnf1 13256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
55	29, 54	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
56	55	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
57	56	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
58	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ)
59		renepnf 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐵) ≠ +∞)
60		xaddmnf1 13208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ≠ +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞) = -∞)
61	35, 59, 60	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞) = -∞)
62	58, 61	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞) = -∞)
63	57, 62	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e -∞) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞))
64		oveq2 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 -∞))
65		renepnf 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
66		xaddmnf1 13208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
67	43, 65, 66	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
68	67	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
69	64, 68	sylan9eqr 2786	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
70	69	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
71		oveq2 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e -∞))
72	71, 56	sylan9eqr 2786	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = -∞)
73	72	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞))
74	63, 70, 73	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
75		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
76		elxr 13097	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
77	75, 76	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
78	77	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
79	27, 53, 74, 78	mpjao3dan 1428	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
80	31	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
81	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
82	23, 14	eqeltrd 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ)
83	81, 82	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ)
84		rexr 11259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
85		renemnf 11262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ≠ -∞)
86		xaddpnf2 13207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = +∞)
87	84, 85, 86	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = +∞)
88	83, 87	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = +∞)
89	80, 88	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
90		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
91	90	oveq1d 7417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
92		rexr 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
93		renemnf 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ -∞)
94		xaddpnf2 13207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
95	92, 93, 94	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
96	91, 95	sylan9eq 2784	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
97	96	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
98		oveq2 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
99	98, 31	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
100	99	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
101	100	oveq1d 7417	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
102	89, 97, 101	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
103		pnfxr 11267	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
104		pnfnemnf 11268	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ -∞
105		xaddpnf1 13206	. . . . . . 7 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 +∞) = +∞)
106	103, 104, 105	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (+∞ +𝑒 +∞) = +∞
107	31, 31	oveq12d 7420	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (+∞ +𝑒 +∞))
108	106, 107, 31	3eqtr4a 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (𝐴 ·e +∞))
109	108	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (𝐴 ·e +∞))
110	98, 50	oveqan12d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
111	110	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
112		oveq12 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 +∞))
113	112, 106	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
114	113	oveq2d 7418	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
115	114	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
116	109, 111, 115	3eqtr4rd 2775	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
117		pnfaddmnf 13210	. . . . . 6 ⊢ (+∞ +𝑒 -∞) = 0
118	31, 55	oveq12d 7420	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (+∞ +𝑒 -∞))
119		xmul01 13247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
120	1, 28, 119	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 0) = 0)
121	117, 118, 120	3eqtr4a 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e 0))
122	121	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e 0))
123	98, 71	oveqan12d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
124	123	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
125		oveq12 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 -∞))
126	125, 117	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = 0)
127	126	oveq2d 7418	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
128	127	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
129	122, 124, 128	3eqtr4rd 2775	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
130	77	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
131	102, 116, 129, 130	mpjao3dan 1428	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
132	55	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
133	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
134	133, 82	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ)
135		renepnf 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ≠ +∞)
136		xaddmnf2 13209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = -∞)
137	84, 135, 136	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = -∞)
138	134, 137	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = -∞)
139	132, 138	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e -∞) = (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
140		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
141	140	oveq1d 7417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
142		renepnf 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ +∞)
143		xaddmnf2 13209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
144	92, 142, 143	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
145	141, 144	sylan9eq 2784	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
146	145	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
147		oveq2 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e -∞))
148	147, 55	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = -∞)
149	148	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = -∞)
150	149	oveq1d 7417	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
151	139, 146, 150	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
152	55, 31	oveq12d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (-∞ +𝑒 +∞))
153		mnfaddpnf 13211	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
154	152, 153	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = 0)
155	120, 154	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 0) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
156	155	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e 0) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
157		oveq12 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 +∞))
158	157, 153	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = 0)
159	158	oveq2d 7418	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
160	159	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
161	147, 50	oveqan12d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
162	161	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
163	156, 160, 162	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
164		mnfxr 11270	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
165		mnfnepnf 11269	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ≠ +∞
166		xaddmnf1 13208	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -∞) = -∞)
167	164, 165, 166	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (-∞ +𝑒 -∞) = -∞
168	55, 55	oveq12d 7420	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (-∞ +𝑒 -∞))
169	167, 168, 55	3eqtr4a 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e -∞))
170	169	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e -∞))
171	147, 71	oveqan12d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
172	171	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
173		oveq12 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 -∞))
174	173, 167	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
175	174	oveq2d 7418	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
176	175	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
177	170, 172, 176	3eqtr4rd 2775	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
178	77	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
179	151, 163, 177, 178	mpjao3dan 1428	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
180		simpl2 1189	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
181		elxr 13097	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
182	180, 181	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
183	79, 131, 179, 182	mpjao3dan 1428	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   · cmul 11112  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   +_𝑒 cxad 13091   ·_e cxmu 13092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095

This theorem is referenced by:  xadddi  13275