Theorem xadddilem 12326

Description: Lemma for xadddi 12327. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddilem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1242	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		recn 10279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 10279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		recn 10279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
5		adddi 10278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
7	6	3expa 1147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
8		readdcl 10272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
9		rexmul 12303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
10	8, 9	sylan2 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
11	10	anassrs 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
12		remulcl 10274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
14		remulcl 10274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 706	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
16		rexadd 12265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) +𝑒 (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
17	13, 15, 16	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) +𝑒 (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
18	7, 11, 17	3eqtr4d 2809	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) +𝑒 (𝐴 · 𝐶)))
19		rexadd 12265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
20	19	adantll 705	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
21	20	oveq2d 6858	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 + 𝐶)))
22		rexmul 12303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
23	22	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
24		rexmul 12303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
25	24	adantlr 706	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
26	23, 25	oveq12d 6860	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) +𝑒 (𝐴 · 𝐶)))
27	18, 21, 26	3eqtr4d 2809	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
28	1, 27	sylanl1 670	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
29		rexr 10339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
30	29	3ad2ant1 1163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
31		xmulpnf1 12306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
32	30, 31	sylan 575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
33	32	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
34	22, 12	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ)
35	1, 34	sylan 575	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ)
36		rexr 10339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
37		renemnf 10342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐵) ≠ -∞)
38		xaddpnf1 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ≠ -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
39	36, 37, 38	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
40	35, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
41	33, 40	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞))
42	41	adantr 472	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e +∞) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞))
43		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
44		rexr 10339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
45		renemnf 10342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
46		xaddpnf1 12259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
47	44, 45, 46	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
48	47	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
49	43, 48	sylan9eqr 2821	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
50	49	oveq2d 6858	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
51		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
52	51, 33	sylan9eqr 2821	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = +∞)
53	52	oveq2d 6858	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 +∞))
54	42, 50, 53	3eqtr4d 2809	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
55		xmulmnf1 12308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
56	30, 55	sylan 575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
57	56	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
58	57	adantr 472	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
59	35	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ)
60		renepnf 10341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐵) ≠ +∞)
61		xaddmnf1 12261	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ≠ +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞) = -∞)
62	36, 60, 61	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞) = -∞)
63	59, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞) = -∞)
64	58, 63	eqtr4d 2802	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e -∞) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞))
65		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 -∞))
66		renepnf 10341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
67		xaddmnf1 12261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
68	44, 66, 67	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
69	68	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
70	65, 69	sylan9eqr 2821	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
71	70	oveq2d 6858	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
72		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e -∞))
73	72, 57	sylan9eqr 2821	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐶) = -∞)
74	73	oveq2d 6858	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -∞))
75	64, 71, 74	3eqtr4d 2809	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
76		simpl3 1246	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
77		elxr 12150	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
78	76, 77	sylib 209	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
79	78	adantr 472	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
80	28, 54, 75, 79	mpjao3dan 1556	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
81	32	ad2antrr 717	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
82	1	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
83	24, 14	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ)
84	82, 83	sylan 575	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ)
85		rexr 10339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
86		renemnf 10342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ≠ -∞)
87		xaddpnf2 12260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = +∞)
88	85, 86, 87	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = +∞)
89	84, 88	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = +∞)
90	81, 89	eqtr4d 2802	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e +∞) = (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
91		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
92	91	oveq1d 6857	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
93		rexr 10339	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
94		renemnf 10342	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ -∞)
95		xaddpnf2 12260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
96	93, 94, 95	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
97	92, 96	sylan9eq 2819	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
98	97	oveq2d 6858	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
99		oveq2 6850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
100	99, 32	sylan9eqr 2821	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
101	100	adantr 472	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
102	101	oveq1d 6857	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
103	90, 98, 102	3eqtr4d 2809	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
104		pnfxr 10346	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
105		pnfnemnf 10348	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ -∞
106		xaddpnf1 12259	. . . . . . 7 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 +∞) = +∞)
107	104, 105, 106	mp2an 683	. . . . . 6 ⊢ (+∞ +𝑒 +∞) = +∞
108	32, 32	oveq12d 6860	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (+∞ +𝑒 +∞))
109	107, 108, 32	3eqtr4a 2825	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (𝐴 ·e +∞))
110	109	ad2antrr 717	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (𝐴 ·e +∞))
111	99, 51	oveqan12d 6861	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
112	111	adantll 705	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
113		oveq12 6851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 +∞))
114	113, 107	syl6eq 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
115	114	oveq2d 6858	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
116	115	adantll 705	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
117	110, 112, 116	3eqtr4rd 2810	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
118		pnfaddmnf 12263	. . . . . 6 ⊢ (+∞ +𝑒 -∞) = 0
119	32, 56	oveq12d 6860	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (+∞ +𝑒 -∞))
120		xmul01 12299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
121	1, 29, 120	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 0) = 0)
122	118, 119, 121	3eqtr4a 2825	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e 0))
123	122	ad2antrr 717	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e 0))
124	99, 72	oveqan12d 6861	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
125	124	adantll 705	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e +∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
126		oveq12 6851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 -∞))
127	126, 118	syl6eq 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = 0)
128	127	oveq2d 6858	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
129	128	adantll 705	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
130	123, 125, 129	3eqtr4rd 2810	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
131	78	adantr 472	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
132	103, 117, 130, 131	mpjao3dan 1556	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
133	56	ad2antrr 717	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)
134	1	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
135	134, 83	sylan 575	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ)
136		renepnf 10341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (𝐴 ·e 𝐶) ≠ +∞)
137		xaddmnf2 12262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = -∞)
138	85, 136, 137	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = -∞)
139	135, 138	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = -∞)
140	133, 139	eqtr4d 2802	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e -∞) = (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
141		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
142	141	oveq1d 6857	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 𝐶))
143		renepnf 10341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ +∞)
144		xaddmnf2 12262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
145	93, 143, 144	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐶) = -∞)
146	142, 145	sylan9eq 2819	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
147	146	oveq2d 6858	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
148		oveq2 6850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e -∞))
149	148, 56	sylan9eqr 2821	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = -∞)
150	149	adantr 472	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = -∞)
151	150	oveq1d 6857	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-∞ +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
152	140, 147, 151	3eqtr4d 2809	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
153	56, 32	oveq12d 6860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = (-∞ +𝑒 +∞))
154		mnfaddpnf 12264	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ +𝑒 +∞) = 0
155	153, 154	syl6eq 2815	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)) = 0)
156	121, 155	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e 0) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
157	156	ad2antrr 717	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e 0) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
158		oveq12 6851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 +∞))
159	158, 154	syl6eq 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = 0)
160	159	oveq2d 6858	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
161	160	adantll 705	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 0))
162	148, 51	oveqan12d 6861	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
163	162	adantll 705	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e +∞)))
164	157, 161, 163	3eqtr4d 2809	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
165		mnfxr 10350	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
166		mnfnepnf 10349	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ≠ +∞
167		xaddmnf1 12261	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -∞) = -∞)
168	165, 166, 167	mp2an 683	. . . . . 6 ⊢ (-∞ +𝑒 -∞) = -∞
169	56, 56	oveq12d 6860	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (-∞ +𝑒 -∞))
170	168, 169, 56	3eqtr4a 2825	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e -∞))
171	170	ad2antrr 717	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)) = (𝐴 ·e -∞))
172	148, 72	oveqan12d 6861	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
173	172	adantll 705	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((𝐴 ·e -∞) +𝑒 (𝐴 ·e -∞)))
174		oveq12 6851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (-∞ +𝑒 -∞))
175	174, 168	syl6eq 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = -∞)
176	175	oveq2d 6858	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
177	176	adantll 705	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e -∞))
178	171, 173, 177	3eqtr4rd 2810	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
179	78	adantr 472	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
180	152, 164, 178, 179	mpjao3dan 1556	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
181		simpl2 1244	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
182		elxr 12150	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
183	181, 182	sylib 209	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
184	80, 132, 180, 183	mpjao3dan 1556	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ w3o 1106   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  ℂcc 10187  ℝcr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  ℝ^*cxr 10327   < clt 10328   +_𝑒 cxad 12144   ·_e cxmu 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148

This theorem is referenced by:  xadddi  12327