Theorem xaddnemnf 13149

Description: Closure of extended real addition in the subset ℝ^* / {-∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddnemnf	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)

Proof of Theorem xaddnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnemnf 13029	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
2		xrnemnf 13029	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
3		rexadd 13145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4		readdcl 11107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	3, 4	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
6	5	renemnfd 11182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
7		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
8		rexr 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9		renemnf 11179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
10		xaddpnf1 13139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
12	7, 11	sylan9eqr 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
13		pnfnemnf 11185	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ -∞
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ -∞)
15	12, 14	eqnetrd 2997	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
16	6, 15	jaodan 959	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
17	2, 16	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
18		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
19		xaddpnf2 13140	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
20	18, 19	sylan9eq 2789	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
21	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → +∞ ≠ -∞)
22	20, 21	eqnetrd 2997	. . 3 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
23	17, 22	jaoian 958	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
24	1, 23	sylanb 581	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  (class class class)co 7356  ℝcr 11023   + caddc 11027  +∞cpnf 11161  -∞cmnf 11162  ℝ^*cxr 11163   +_𝑒 cxad 13022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-i2m1 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-xadd 13025

This theorem is referenced by:  xaddass  13162  xlt2add  13173  xadd4d  13216  xrs1mnd  21393