Theorem xaddnemnf 13379

Description: Closure of extended real addition in the subset ℝ^* / {-∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddnemnf	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +e 𝐵) ≠ -∞)

Proof of Theorem xaddnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnemnf 13259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
2		xrnemnf 13259	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
3		rexadd 13375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4		readdcl 11296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	3, 4	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ)
6	5	renemnfd 11374	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐵) ≠ -∞)
7		oveq2 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (𝐴 +e +∞))
8		rexr 11368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9		renemnf 11371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
10		xaddpnf1 13369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +e +∞) = +∞)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +e +∞) = +∞)
12	7, 11	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e 𝐵) = +∞)
13		pnfnemnf 11377	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ -∞
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ -∞)
15	12, 14	eqnetrd 3026	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +e 𝐵) ≠ -∞)
16	6, 15	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)) → (𝐴 +e 𝐵) ≠ -∞)
17	2, 16	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +e 𝐵) ≠ -∞)
18		oveq1 7437	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e 𝐵) = (+∞ +e 𝐵))
19		xaddpnf2 13370	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +e 𝐵) = +∞)
20	18, 19	sylan9eq 2818	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +e 𝐵) = +∞)
21	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → +∞ ≠ -∞)
22	20, 21	eqnetrd 3026	. . 3 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +e 𝐵) ≠ -∞)
23	17, 22	jaoian 971	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +e 𝐵) ≠ -∞)
24	1, 23	sylanb 593	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +e 𝐵) ≠ -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  (class class class)co 7430  ℝcr 11212   + caddc 11216  +∞cpnf 11353  -∞cmnf 11354  ℝ^*cxr 11355   +_e cxad 13252

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-i2m1 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-xadd 13255

This theorem is used by:  xaddass  13392  xlt2add  13403  xadd4d  13446  xrs1mnd  21761