MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddnemnf 12362
Description: Closure of extended real addition in the subset * / {-∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddnemnf (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)

Proof of Theorem xaddnemnf
StepHypRef Expression
1 xrnemnf 12244 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
2 xrnemnf 12244 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
3 rexadd 12358 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4 readdcl 10342 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
53, 4eqeltrd 2906 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
65renemnfd 10415 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
7 oveq2 6918 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
8 rexr 10409 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9 renemnf 10412 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
10 xaddpnf1 12352 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
118, 9, 10syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
127, 11sylan9eqr 2883 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
13 pnfnemnf 10419 . . . . . . 7 +∞ ≠ -∞
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ -∞)
1512, 14eqnetrd 3066 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
166, 15jaodan 985 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
172, 16sylan2b 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
18 oveq1 6917 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
19 xaddpnf2 12353 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2018, 19sylan9eq 2881 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
2113a1i 11 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → +∞ ≠ -∞)
2220, 21eqnetrd 3066 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
2317, 22jaoian 984 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
241, 23sylanb 576 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  (class class class)co 6910  cr 10258   + caddc 10262  +∞cpnf 10395  -∞cmnf 10396  *cxr 10397   +𝑒 cxad 12237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-i2m1 10327
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-xadd 12240
This theorem is referenced by:  xaddass  12374  xlt2add  12385  xadd4d  12428  xrs1mnd  20151
  Copyright terms: Public domain W3C validator