Theorem xaddnemnf 13240

Description: Closure of extended real addition in the subset ℝ^* / {-∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddnemnf	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)

Proof of Theorem xaddnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnemnf 13120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
2		xrnemnf 13120	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
3		rexadd 13236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4		readdcl 11157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	3, 4	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
6	5	renemnfd 11235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
7		oveq2 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
8		rexr 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9		renemnf 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
10		xaddpnf1 13230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
11	8, 9, 10	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
12	7, 11	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
13		pnfnemnf 11238	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ -∞
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ -∞)
15	12, 14	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
16	6, 15	jaodan 970	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
17	2, 16	sylan2b 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
18		oveq1 7404	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
19		xaddpnf2 13231	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
20	18, 19	sylan9eq 2818	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
21	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → +∞ ≠ -∞)
22	20, 21	eqnetrd 3025	. . 3 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
23	17, 22	jaoian 969	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
24	1, 23	sylanb 590	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7397  ℝcr 11073   + caddc 11077  +∞cpnf 11214  -∞cmnf 11215  ℝ^*cxr 11216   +_𝑒 cxad 13113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-i2m1 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-xadd 13116

This theorem is referenced by:  xaddass  13253  xlt2add  13264  xadd4d  13307  xrs1mnd  21493