MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0nemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0nemnf 11788
Description: No extended nonnegative integer equals negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0nemnf (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xnn0nemnf
StepHypRef Expression
1 elxnn0 11779 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 nn0re 11715 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
32renemnfd 10490 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ≠ -∞)
4 pnfnemnf 10494 . . . 4 +∞ ≠ -∞
5 neeq1 3022 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
64, 5mpbiri 250 . . 3 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
73, 6jaoi 844 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
81, 7sylbi 209 1 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 834   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960  +∞cpnf 10469  -∞cmnf 10470  0cn0 11705  0*cxnn0 11777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-nn 11438  df-n0 11706  df-xnn0 11778
This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  11789
  Copyright terms: Public domain W3C validator