Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpr2 30727
Description: Extended sum over a pair, with a relaxed condition compared to esumpr 30726. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpr.1 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
esumpr.2 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
esumpr.3 (𝜑𝐴𝑉)
esumpr.4 (𝜑𝐵𝑊)
esumpr.5 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
esumpr.6 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
esumpr2.1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐷 = 0 ∨ 𝐷 = +∞)))
Assertion
Ref Expression
esumpr2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem esumpr2
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
2 dfsn2 4411 . . . . . 6 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
3 preq2 4501 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
42, 3syl5req 2827 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
5 esumeq1 30694 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} = {𝐴} → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶)
61, 4, 53syl 18 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶)
7 esumpr.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
8 esumpr.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
9 esumpr.5 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
107, 8, 9esumsn 30725 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
1110adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
126, 11eqtrd 2814 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = 𝐷)
13 esumpr2.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐷 = 0 ∨ 𝐷 = +∞)))
14 oveq2 6930 . . . . . . 7 (𝐷 = 0 → (𝐷 +𝑒 𝐷) = (𝐷 +𝑒 0))
15 0xr 10423 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
16 eleq1 2847 . . . . . . . . 9 (𝐷 = 0 → (𝐷 ∈ ℝ* ↔ 0 ∈ ℝ*))
1715, 16mpbiri 250 . . . . . . . 8 (𝐷 = 0 → 𝐷 ∈ ℝ*)
18 xaddid1 12384 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 +𝑒 0) = 𝐷)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝐷 = 0 → (𝐷 +𝑒 0) = 𝐷)
2014, 19eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝐷 = 0 → (𝐷 +𝑒 𝐷) = 𝐷)
21 pnfxr 10430 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
22 eleq1 2847 . . . . . . . . 9 (𝐷 = +∞ → (𝐷 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
2321, 22mpbiri 250 . . . . . . . 8 (𝐷 = +∞ → 𝐷 ∈ ℝ*)
24 pnfnemnf 10432 . . . . . . . . 9 +∞ ≠ -∞
25 neeq1 3031 . . . . . . . . 9 (𝐷 = +∞ → (𝐷 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
2624, 25mpbiri 250 . . . . . . . 8 (𝐷 = +∞ → 𝐷 ≠ -∞)
27 xaddpnf1 12369 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞) → (𝐷 +𝑒 +∞) = +∞)
2823, 26, 27syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → (𝐷 +𝑒 +∞) = +∞)
29 oveq2 6930 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → (𝐷 +𝑒 𝐷) = (𝐷 +𝑒 +∞))
30 id 22 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → 𝐷 = +∞)
3128, 29, 303eqtr4d 2824 . . . . . 6 (𝐷 = +∞ → (𝐷 +𝑒 𝐷) = 𝐷)
3220, 31jaoi 846 . . . . 5 ((𝐷 = 0 ∨ 𝐷 = +∞) → (𝐷 +𝑒 𝐷) = 𝐷)
3313, 32syl6 35 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐷 +𝑒 𝐷) = 𝐷))
3433imp 397 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐷) = 𝐷)
35 simpll 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝜑)
36 eqeq2 2789 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵))
3736biimprd 240 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐴))
381, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐴))
3938imp 397 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝑘 = 𝐴)
4035, 39, 7syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
41 esumpr.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑊)
4241adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑊)
439adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
4440, 42, 43esumsn 30725 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
45 esumpr.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
46 esumpr.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
4745, 41, 46esumsn 30725 . . . . . 6 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
4847adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
4944, 48eqtr3d 2816 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐸)
5049oveq2d 6938 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐷) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
5112, 34, 503eqtr2d 2820 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))
527adantlr 705 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
5345adantlr 705 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
548adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑉)
5541adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑊)
569adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
5746adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
58 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
5952, 53, 54, 55, 56, 57, 58esumpr 30726 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))
6051, 59pm2.61dane 3057 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  {csn 4398  {cpr 4400  (class class class)co 6922  0cc0 10272  +∞cpnf 10408  -∞cmnf 10409  *cxr 10410   +𝑒 cxad 12255  [,]cicc 12490  Σ*cesum 30687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-ordt 16547  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-ps 17586  df-tsr 17587  df-plusf 17627  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-subrg 19170  df-abv 19209  df-lmod 19257  df-scaf 19258  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-tmd 22284  df-tgp 22285  df-tsms 22338  df-trg 22371  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-nrg 22798  df-nlm 22799  df-ii 23088  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-esum 30688
This theorem is referenced by:  measxun2  30871  measssd  30876  carsgclctun  30981
  Copyright terms: Public domain W3C validator