Theorem hashnemnf 14350

Description: The size of a set is never minus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashnemnf	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ≠ -∞)

Proof of Theorem hashnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 14348	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞))
2		mnfnre 11218	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∉ ℝ
3		df-nel 3061	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∉ ℝ ↔ ¬ -∞ ∈ ℝ)
4		nn0re 12483	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞ ∈ ℕ0 → -∞ ∈ ℝ)
5	4	con3i 154	. . . . . . 7 ⊢ (¬ -∞ ∈ ℝ → ¬ -∞ ∈ ℕ0)
6	3, 5	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∉ ℝ → ¬ -∞ ∈ ℕ0)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℕ0
8		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = -∞ → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ -∞ ∈ ℕ0))
9	7, 8	mtbiri 329	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = -∞ → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
10	9	necon2ai 2985	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ≠ -∞)
11		pnfnemnf 11230	. . . 4 ⊢ +∞ ≠ -∞
12		neeq1 3018	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐴) ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
13	11, 12	mpbiri 260	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (♯‘𝐴) ≠ -∞)
14	10, 13	jaoi 868	. 2 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞) → (♯‘𝐴) ≠ -∞)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ≠ -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∉ wnel 3060  ‘cfv 6515  ℝcr 11065  +∞cpnf 11206  -∞cmnf 11207  ℕ₀cn0 12474  ♯chash 14336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-xnn0 12548  df-z 12562  df-uz 12833  df-hash 14337

This theorem is referenced by:  hashinfxadd  14391