Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifhom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrge0iifhom 32906
Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 0, +∞, -(logβ€˜π‘₯)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifhom ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐹   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem xrge0iifhom
StepHypRef Expression
1 0xr 11258 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
2 1xr 11270 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
3 0le1 11734 . . . . . 6 0 ≀ 1
4 snunioc 13454 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 1) β†’ ({0} βˆͺ (0(,]1)) = (0[,]1))
51, 2, 3, 4mp3an 1462 . . . . 5 ({0} βˆͺ (0(,]1)) = (0[,]1)
65eleq2i 2826 . . . 4 (π‘Œ ∈ ({0} βˆͺ (0(,]1)) ↔ π‘Œ ∈ (0[,]1))
7 elun 4148 . . . 4 (π‘Œ ∈ ({0} βˆͺ (0(,]1)) ↔ (π‘Œ ∈ {0} ∨ π‘Œ ∈ (0(,]1)))
86, 7bitr3i 277 . . 3 (π‘Œ ∈ (0[,]1) ↔ (π‘Œ ∈ {0} ∨ π‘Œ ∈ (0(,]1)))
9 elsni 4645 . . . 4 (π‘Œ ∈ {0} β†’ π‘Œ = 0)
109orim1i 909 . . 3 ((π‘Œ ∈ {0} ∨ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ (0(,]1)))
118, 10sylbi 216 . 2 (π‘Œ ∈ (0[,]1) β†’ (π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ (0(,]1)))
12 0elunit 13443 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
13 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ if(π‘₯ = 0, +∞, -(logβ€˜π‘₯)) = +∞)
14 xrge0iifhmeo.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 0, +∞, -(logβ€˜π‘₯)))
15 pnfex 11264 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 6996 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0[,]1) β†’ (πΉβ€˜0) = +∞)
1712, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (πΉβ€˜0) = +∞
1817oveq2i 7417 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜0)) = ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 +∞)
19 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑋 = 0))
20 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘‹))
2120negeqd 11451 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ -(logβ€˜π‘₯) = -(logβ€˜π‘‹))
2219, 21ifbieq2d 4554 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ if(π‘₯ = 0, +∞, -(logβ€˜π‘₯)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(logβ€˜π‘‹)))
23 negex 11455 . . . . . . . . . . 11 -(logβ€˜π‘‹) ∈ V
2415, 23ifex 4578 . . . . . . . . . 10 if(𝑋 = 0, +∞, -(logβ€˜π‘‹)) ∈ V
2522, 14, 24fvmpt 6996 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = if(𝑋 = 0, +∞, -(logβ€˜π‘‹)))
26 pnfxr 11265 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 = 0) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
28 elunitrn 13441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑋 = 0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
30 elunitge0 32868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (0[,]1) β†’ 0 ≀ 𝑋)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑋 = 0) β†’ 0 ≀ 𝑋)
32 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑋 = 0) β†’ Β¬ 𝑋 = 0)
3332neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑋 = 0) β†’ 𝑋 β‰  0)
3429, 31, 33ne0gt0d 11348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑋 = 0) β†’ 0 < 𝑋)
3529, 34elrpd 13010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑋 = 0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
3635relogcld 26123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑋 = 0) β†’ (logβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
3736renegcld 11638 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑋 = 0) β†’ -(logβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
3837rexrd 11261 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑋 = 0) β†’ -(logβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
3927, 38ifclda 4563 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) β†’ if(𝑋 = 0, +∞, -(logβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ*)
4025, 39eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (0[,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
4140adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
42 neeq1 3004 . . . . . . . . . 10 (+∞ = if(𝑋 = 0, +∞, -(logβ€˜π‘‹)) β†’ (+∞ β‰  -∞ ↔ if(𝑋 = 0, +∞, -(logβ€˜π‘‹)) β‰  -∞))
43 neeq1 3004 . . . . . . . . . 10 (-(logβ€˜π‘‹) = if(𝑋 = 0, +∞, -(logβ€˜π‘‹)) β†’ (-(logβ€˜π‘‹) β‰  -∞ ↔ if(𝑋 = 0, +∞, -(logβ€˜π‘‹)) β‰  -∞))
44 pnfnemnf 11266 . . . . . . . . . . 11 +∞ β‰  -∞
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 = 0) β†’ +∞ β‰  -∞)
4637renemnfd 11263 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ Β¬ 𝑋 = 0) β†’ -(logβ€˜π‘‹) β‰  -∞)
4742, 43, 45, 46ifbothda 4566 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) β†’ if(𝑋 = 0, +∞, -(logβ€˜π‘‹)) β‰  -∞)
4825, 47eqnetrd 3009 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (0[,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  -∞)
4948adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  -∞)
50 xaddpnf1 13202 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  -∞) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 +∞) = +∞)
5141, 49, 50syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 +∞) = +∞)
5218, 51eqtrid 2785 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜0)) = +∞)
53 unitsscn 13474 . . . . . . . . 9 (0[,]1) βŠ† β„‚
54 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ 𝑋 ∈ (0[,]1))
5553, 54sselid 3980 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
5655mul01d 11410 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (𝑋 Β· 0) = 0)
5756fveq2d 6893 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· 0)) = (πΉβ€˜0))
5857, 17eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· 0)) = +∞)
5952, 58eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜0)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· 0)))
60 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ π‘Œ = 0)
6160fveq2d 6893 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜0))
6261oveq2d 7422 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜0)))
6360oveq2d 7422 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· 0))
6463fveq2d 6893 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· 0)))
6559, 62, 643eqtr4rd 2784 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)))
665eleq2i 2826 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ({0} βˆͺ (0(,]1)) ↔ 𝑋 ∈ (0[,]1))
67 elun 4148 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ({0} βˆͺ (0(,]1)) ↔ (𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
6866, 67bitr3i 277 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
69 elsni 4645 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {0} β†’ 𝑋 = 0)
7069orim1i 909 . . . . 5 ((𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
7168, 70sylbi 216 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) β†’ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
7217oveq1i 7416 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜0) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)) = (+∞ +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ))
73 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ π‘Œ ∈ (0(,]1))
7414xrge0iifcv 32903 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ (0(,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = -(logβ€˜π‘Œ))
75 0le0 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≀ 0
76 1re 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
77 ltpnf 13097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ β†’ 1 < +∞)
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < +∞
79 iocssioo 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 1 < +∞)) β†’ (0(,]1) βŠ† (0(,)+∞))
801, 26, 75, 78, 79mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,]1) βŠ† (0(,)+∞)
81 ioorp 13399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)+∞) = ℝ+
8280, 81sseqtri 4018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]1) βŠ† ℝ+
8382sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œ ∈ (0(,]1) β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
8483relogcld 26123 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ (0(,]1) β†’ (logβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
8584renegcld 11638 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ (0(,]1) β†’ -(logβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
8674, 85eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ (0(,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
8786rexrd 11261 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ (0(,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ*)
8873, 87syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ*)
8986renemnfd 11263 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ (0(,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) β‰  -∞)
9073, 89syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) β‰  -∞)
91 xaddpnf2 13203 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) β‰  -∞) β†’ (+∞ +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)) = +∞)
9288, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (+∞ +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)) = +∞)
9372, 92eqtrid 2785 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜0) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)) = +∞)
94 rpssre 12978 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ+ βŠ† ℝ
9582, 94sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]1) βŠ† ℝ
96 ax-resscn 11164 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
9795, 96sstri 3991 . . . . . . . . . . 11 (0(,]1) βŠ† β„‚
9897, 73sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
9998mul02d 11409 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (0 Β· π‘Œ) = 0)
10099fveq2d 6893 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(0 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜0))
101100, 17eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(0 Β· π‘Œ)) = +∞)
10293, 101eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜0) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(0 Β· π‘Œ)))
103 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑋 = 0)
104103fveq2d 6893 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜0))
105104oveq1d 7421 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜0) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)))
106103fvoveq1d 7428 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜(0 Β· π‘Œ)))
107102, 105, 1063eqtr4rd 2784 . . . . 5 ((𝑋 = 0 ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)))
108 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑋 ∈ (0(,]1))
10982, 108sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
110109relogcld 26123 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (logβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
111110renegcld 11638 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ -(logβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
112 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ π‘Œ ∈ (0(,]1))
11382, 112sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
114113relogcld 26123 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (logβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
115114renegcld 11638 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ -(logβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
116 rexadd 13208 . . . . . . 7 ((-(logβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ -(logβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ) β†’ (-(logβ€˜π‘‹) +𝑒 -(logβ€˜π‘Œ)) = (-(logβ€˜π‘‹) + -(logβ€˜π‘Œ)))
117111, 115, 116syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (-(logβ€˜π‘‹) +𝑒 -(logβ€˜π‘Œ)) = (-(logβ€˜π‘‹) + -(logβ€˜π‘Œ)))
11814xrge0iifcv 32903 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0(,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = -(logβ€˜π‘‹))
119118, 74oveqan12d 7425 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)) = (-(logβ€˜π‘‹) +𝑒 -(logβ€˜π‘Œ)))
120109rpred 13013 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
121113rpred 13013 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
122120, 121remulcld 11241 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ ℝ)
123109rpgt0d 13016 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ 0 < 𝑋)
124113rpgt0d 13016 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ 0 < π‘Œ)
125120, 121, 123, 124mulgt0d 11366 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ 0 < (𝑋 Β· π‘Œ))
126 iocssicc 13411 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]1) βŠ† (0[,]1)
127126, 108sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ 𝑋 ∈ (0[,]1))
128126, 112sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ π‘Œ ∈ (0[,]1))
129 iimulcl 24445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (0[,]1))
130127, 128, 129syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (0[,]1))
131 elicc01 13440 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑋 Β· π‘Œ) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ≀ 1))
132131simp3bi 1148 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (0[,]1) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ≀ 1)
133130, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ≀ 1)
134 elioc2 13384 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 Β· π‘Œ) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ≀ 1)))
1351, 76, 134mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 Β· π‘Œ) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ≀ 1))
136122, 125, 133, 135syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (0(,]1))
13714xrge0iifcv 32903 . . . . . . . 8 ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (0(,]1) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = -(logβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
138136, 137syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = -(logβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
139109, 113relogmuld 26125 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (logβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((logβ€˜π‘‹) + (logβ€˜π‘Œ)))
140139negeqd 11451 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ -(logβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = -((logβ€˜π‘‹) + (logβ€˜π‘Œ)))
141110recnd 11239 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (logβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
142114recnd 11239 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (logβ€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
143141, 142negdid 11581 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ -((logβ€˜π‘‹) + (logβ€˜π‘Œ)) = (-(logβ€˜π‘‹) + -(logβ€˜π‘Œ)))
144138, 140, 1433eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = (-(logβ€˜π‘‹) + -(logβ€˜π‘Œ)))
145117, 119, 1443eqtr4rd 2784 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)))
146107, 145jaoian 956 . . . 4 (((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)))
14771, 146sylan 581 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0(,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)))
14865, 147jaodan 957 . 2 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ (π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ (0(,]1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)))
14911, 148sylan2 594 1 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ π‘Œ ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) +𝑒 (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246  -cneg 11442  β„+crp 12971   +𝑒 cxad 13087  (,)cioo 13321  (,]cioc 13322  [,]cicc 13324   β†Ύt crest 17363  ordTopcordt 17442  logclog 26055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057
This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  32908  xrge0pluscn  32909
  Copyright terms: Public domain W3C validator