Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifhom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifhom 33897
Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifhom ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝐹   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifhom
StepHypRef Expression
1 0xr 11305 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
2 1xr 11317 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
3 0le1 11783 . . . . . 6 0 ≤ 1
4 snunioc 13516 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1))
51, 2, 3, 4mp3an 1460 . . . . 5 ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1)
65eleq2i 2830 . . . 4 (𝑌 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑌 ∈ (0[,]1))
7 elun 4162 . . . 4 (𝑌 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
86, 7bitr3i 277 . . 3 (𝑌 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
9 elsni 4647 . . . 4 (𝑌 ∈ {0} → 𝑌 = 0)
109orim1i 909 . . 3 ((𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
118, 10sylbi 217 . 2 (𝑌 ∈ (0[,]1) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
12 0elunit 13505 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
13 iftrue 4536 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = +∞)
14 xrge0iifhmeo.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
15 pnfex 11311 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 7015 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘0) = +∞)
1712, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹‘0) = +∞
1817oveq2i 7441 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞)
19 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
20 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
2120negeqd 11499 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
2219, 21ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
23 negex 11503 . . . . . . . . . . 11 -(log‘𝑋) ∈ V
2415, 23ifex 4580 . . . . . . . . . 10 if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
2522, 14, 24fvmpt 7015 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
26 pnfxr 11312 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 = 0) → +∞ ∈ ℝ*)
28 elunitrn 13503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (0[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
30 elunitge0 33859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑋)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 ≤ 𝑋)
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 𝑋 = 0)
3332neqned 2944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ≠ 0)
3429, 31, 33ne0gt0d 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 < 𝑋)
3529, 34elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ+)
3635relogcld 26679 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
3736renegcld 11687 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ)
3837rexrd 11308 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ*)
3927, 38ifclda 4565 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ ℝ*)
4025, 39eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ*)
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ*)
42 neeq1 3000 . . . . . . . . . 10 (+∞ = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) → (+∞ ≠ -∞ ↔ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞))
43 neeq1 3000 . . . . . . . . . 10 (-(log‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) → (-(log‘𝑋) ≠ -∞ ↔ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞))
44 pnfnemnf 11313 . . . . . . . . . . 11 +∞ ≠ -∞
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 = 0) → +∞ ≠ -∞)
4637renemnfd 11310 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ≠ -∞)
4742, 43, 45, 46ifbothda 4568 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞)
4825, 47eqnetrd 3005 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) ≠ -∞)
4948adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑋) ≠ -∞)
50 xaddpnf1 13264 . . . . . . 7 (((𝐹𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑋) ≠ -∞) → ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞) = +∞)
5141, 49, 50syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞) = +∞)
5218, 51eqtrid 2786 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = +∞)
53 unitsscn 13536 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℂ
54 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
5553, 54sselid 3992 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
5655mul01d 11457 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 0) = 0)
5756fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 0)) = (𝐹‘0))
5857, 17eqtrdi 2790 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 0)) = +∞)
5952, 58eqtr4d 2777 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = (𝐹‘(𝑋 · 0)))
60 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑌 = 0)
6160fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑌) = (𝐹‘0))
6261oveq2d 7446 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)))
6360oveq2d 7446 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0))
6463fveq2d 6910 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 0)))
6559, 62, 643eqtr4rd 2785 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
665eleq2i 2830 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑋 ∈ (0[,]1))
67 elun 4162 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
6866, 67bitr3i 277 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
69 elsni 4647 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {0} → 𝑋 = 0)
7069orim1i 909 . . . . 5 ((𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
7168, 70sylbi 217 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
7217oveq1i 7440 . . . . . . . 8 ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌))
73 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0(,]1))
7414xrge0iifcv 33894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) = -(log‘𝑌))
75 0le0 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 0
76 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
77 ltpnf 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < +∞
79 iocssioo 13475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞))
801, 26, 75, 78, 79mp4an 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞)
81 ioorp 13461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)+∞) = ℝ+
8280, 81sseqtri 4031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]1) ⊆ ℝ+
8382sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (0(,]1) → 𝑌 ∈ ℝ+)
8483relogcld 26679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
8584renegcld 11687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ (0(,]1) → -(log‘𝑌) ∈ ℝ)
8674, 85eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
8786rexrd 11308 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ*)
8873, 87syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ*)
8986renemnfd 11310 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ≠ -∞)
9073, 89syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑌) ≠ -∞)
91 xaddpnf2 13265 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑌) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑌) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
9288, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
9372, 92eqtrid 2786 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
94 rpssre 13039 . . . . . . . . . . . . 13 + ⊆ ℝ
9582, 94sstri 4004 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]1) ⊆ ℝ
96 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
9795, 96sstri 4004 . . . . . . . . . . 11 (0(,]1) ⊆ ℂ
9897, 73sselid 3992 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
9998mul02d 11456 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (0 · 𝑌) = 0)
10099fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0 · 𝑌)) = (𝐹‘0))
101100, 17eqtrdi 2790 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0 · 𝑌)) = +∞)
10293, 101eqtr4d 2777 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(0 · 𝑌)))
103 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 = 0)
104103fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑋) = (𝐹‘0))
105104oveq1d 7445 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)))
106103fvoveq1d 7452 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(0 · 𝑌)))
107102, 105, 1063eqtr4rd 2785 . . . . 5 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
108 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ (0(,]1))
10982, 108sselid 3992 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
110109relogcld 26679 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
111110renegcld 11687 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ)
112 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0(,]1))
11382, 112sselid 3992 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℝ+)
114113relogcld 26679 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
115114renegcld 11687 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘𝑌) ∈ ℝ)
116 rexadd 13270 . . . . . . 7 ((-(log‘𝑋) ∈ ℝ ∧ -(log‘𝑌) ∈ ℝ) → (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
117111, 115, 116syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
11814xrge0iifcv 33894 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
119118, 74oveqan12d 7449 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)))
120109rpred 13074 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
121113rpred 13074 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℝ)
122120, 121remulcld 11288 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ)
123109rpgt0d 13077 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑋)
124113rpgt0d 13077 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑌)
125120, 121, 123, 124mulgt0d 11413 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < (𝑋 · 𝑌))
126 iocssicc 13473 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
127126, 108sselid 3992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
128126, 112sselid 3992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0[,]1))
129 iimulcl 24979 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1))
130127, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1))
131 elicc01 13502 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1))
132131simp3bi 1146 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1) → (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)
133130, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)
134 elioc2 13446 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)))
1351, 76, 134mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1))
136122, 125, 133, 135syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1))
13714xrge0iifcv 33894 . . . . . . . 8 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = -(log‘(𝑋 · 𝑌)))
138136, 137syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = -(log‘(𝑋 · 𝑌)))
139109, 113relogmuld 26681 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘(𝑋 · 𝑌)) = ((log‘𝑋) + (log‘𝑌)))
140139negeqd 11499 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘(𝑋 · 𝑌)) = -((log‘𝑋) + (log‘𝑌)))
141110recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
142114recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
143141, 142negdid 11630 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -((log‘𝑋) + (log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
144138, 140, 1433eqtrd 2778 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
145117, 119, 1443eqtr4rd 2785 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
146107, 145jaoian 958 . . . 4 (((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
14771, 146sylan 580 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
14865, 147jaodan 959 . 2 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1))) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
14911, 148sylan2 593 1 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cun 3960  wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  -cneg 11490  +crp 13031   +𝑒 cxad 13149  (,)cioo 13383  (,]cioc 13384  [,]cicc 13386  t crest 17466  ordTopcordt 17545  logclog 26610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612
This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  33899  xrge0pluscn  33900
  Copyright terms: Public domain W3C validator