Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifhom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifhom 31079
Description: The defined function from the closed unit interval to the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifhom ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝐹   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifhom
StepHypRef Expression
1 0xr 10676 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
2 1xr 10688 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
3 0le1 11151 . . . . . 6 0 ≤ 1
4 snunioc 12854 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1))
51, 2, 3, 4mp3an 1452 . . . . 5 ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1)
65eleq2i 2901 . . . 4 (𝑌 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑌 ∈ (0[,]1))
7 elun 4122 . . . 4 (𝑌 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
86, 7bitr3i 278 . . 3 (𝑌 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
9 elsni 4574 . . . 4 (𝑌 ∈ {0} → 𝑌 = 0)
109orim1i 903 . . 3 ((𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
118, 10sylbi 218 . 2 (𝑌 ∈ (0[,]1) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
12 0elunit 12843 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
13 iftrue 4469 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = +∞)
14 xrge0iifhmeo.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
15 pnfex 10682 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 6761 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘0) = +∞)
1712, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹‘0) = +∞
1817oveq2i 7156 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞)
19 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
20 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
2120negeqd 10868 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
2219, 21ifbieq2d 4488 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
23 negex 10872 . . . . . . . . . . 11 -(log‘𝑋) ∈ V
2415, 23ifex 4511 . . . . . . . . . 10 if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
2522, 14, 24fvmpt 6761 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
26 pnfxr 10683 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 = 0) → +∞ ∈ ℝ*)
28 elunitrn 31039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (0[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
30 elunitge0 31041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑋)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 ≤ 𝑋)
32 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 𝑋 = 0)
3332neqned 3020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ≠ 0)
3429, 31, 33ne0gt0d 10765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 < 𝑋)
3529, 34elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ+)
3635relogcld 25133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
3736renegcld 11055 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ)
3837rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ*)
3927, 38ifclda 4497 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ ℝ*)
4025, 39eqeltrd 2910 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ*)
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ*)
42 neeq1 3075 . . . . . . . . . 10 (+∞ = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) → (+∞ ≠ -∞ ↔ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞))
43 neeq1 3075 . . . . . . . . . 10 (-(log‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) → (-(log‘𝑋) ≠ -∞ ↔ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞))
44 pnfnemnf 10684 . . . . . . . . . . 11 +∞ ≠ -∞
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 = 0) → +∞ ≠ -∞)
4637renemnfd 10681 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ≠ -∞)
4742, 43, 45, 46ifbothda 4500 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞)
4825, 47eqnetrd 3080 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) ≠ -∞)
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑋) ≠ -∞)
50 xaddpnf1 12607 . . . . . . 7 (((𝐹𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑋) ≠ -∞) → ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞) = +∞)
5141, 49, 50syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞) = +∞)
5218, 51syl5eq 2865 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = +∞)
53 unitsscn 31038 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℂ
54 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
5553, 54sseldi 3962 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
5655mul01d 10827 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 0) = 0)
5756fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 0)) = (𝐹‘0))
5857, 17syl6eq 2869 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 0)) = +∞)
5952, 58eqtr4d 2856 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = (𝐹‘(𝑋 · 0)))
60 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑌 = 0)
6160fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑌) = (𝐹‘0))
6261oveq2d 7161 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)))
6360oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0))
6463fveq2d 6667 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 0)))
6559, 62, 643eqtr4rd 2864 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
665eleq2i 2901 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑋 ∈ (0[,]1))
67 elun 4122 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
6866, 67bitr3i 278 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
69 elsni 4574 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {0} → 𝑋 = 0)
7069orim1i 903 . . . . 5 ((𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
7168, 70sylbi 218 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
7217oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌))
73 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0(,]1))
7414xrge0iifcv 31076 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) = -(log‘𝑌))
75 0le0 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 0
76 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
77 ltpnf 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < +∞
79 iocssioo 12815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞))
801, 26, 75, 78, 79mp4an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞)
81 ioorp 12802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)+∞) = ℝ+
8280, 81sseqtri 4000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]1) ⊆ ℝ+
8382sseli 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (0(,]1) → 𝑌 ∈ ℝ+)
8483relogcld 25133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
8584renegcld 11055 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ (0(,]1) → -(log‘𝑌) ∈ ℝ)
8674, 85eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
8786rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ*)
8873, 87syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ*)
8986renemnfd 10681 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ≠ -∞)
9073, 89syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑌) ≠ -∞)
91 xaddpnf2 12608 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑌) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑌) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
9288, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
9372, 92syl5eq 2865 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
94 rpssre 12384 . . . . . . . . . . . . 13 + ⊆ ℝ
9582, 94sstri 3973 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]1) ⊆ ℝ
96 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
9795, 96sstri 3973 . . . . . . . . . . 11 (0(,]1) ⊆ ℂ
9897, 73sseldi 3962 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
9998mul02d 10826 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (0 · 𝑌) = 0)
10099fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0 · 𝑌)) = (𝐹‘0))
101100, 17syl6eq 2869 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0 · 𝑌)) = +∞)
10293, 101eqtr4d 2856 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(0 · 𝑌)))
103 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 = 0)
104103fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑋) = (𝐹‘0))
105104oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)))
106103fvoveq1d 7167 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(0 · 𝑌)))
107102, 105, 1063eqtr4rd 2864 . . . . 5 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
108 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ (0(,]1))
10982, 108sseldi 3962 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
110109relogcld 25133 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
111110renegcld 11055 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ)
112 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0(,]1))
11382, 112sseldi 3962 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℝ+)
114113relogcld 25133 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
115114renegcld 11055 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘𝑌) ∈ ℝ)
116 rexadd 12613 . . . . . . 7 ((-(log‘𝑋) ∈ ℝ ∧ -(log‘𝑌) ∈ ℝ) → (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
117111, 115, 116syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
11814xrge0iifcv 31076 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
119118, 74oveqan12d 7164 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)))
120109rpred 12419 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
121113rpred 12419 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℝ)
122120, 121remulcld 10659 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ)
123109rpgt0d 12422 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑋)
124113rpgt0d 12422 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑌)
125120, 121, 123, 124mulgt0d 10783 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < (𝑋 · 𝑌))
126 iocssicc 12813 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
127126, 108sseldi 3962 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
128126, 112sseldi 3962 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0[,]1))
129 iimulcl 23468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1))
130127, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1))
131 elicc01 12842 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1))
132131simp3bi 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1) → (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)
133130, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)
134 elioc2 12787 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)))
1351, 76, 134mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1))
136122, 125, 133, 135syl3anbrc 1335 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1))
13714xrge0iifcv 31076 . . . . . . . 8 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = -(log‘(𝑋 · 𝑌)))
138136, 137syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = -(log‘(𝑋 · 𝑌)))
139109, 113relogmuld 25135 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘(𝑋 · 𝑌)) = ((log‘𝑋) + (log‘𝑌)))
140139negeqd 10868 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘(𝑋 · 𝑌)) = -((log‘𝑋) + (log‘𝑌)))
141110recnd 10657 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
142114recnd 10657 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
143141, 142negdid 10998 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -((log‘𝑋) + (log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
144138, 140, 1433eqtrd 2857 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
145117, 119, 1443eqtr4rd 2864 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
146107, 145jaoian 950 . . . 4 (((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
14771, 146sylan 580 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
14865, 147jaodan 951 . 2 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1))) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
14911, 148sylan2 592 1 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cun 3931  wss 3933  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  -cneg 10859  +crp 12377   +𝑒 cxad 12493  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  [,]cicc 12729  t crest 16682  ordTopcordt 16760  logclog 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067
This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  31081  xrge0pluscn  31082
  Copyright terms: Public domain W3C validator