Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isipodrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isipodrs 17547
 Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isipodrs ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
Distinct variable group:   𝑧,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem isipodrs
StepHypRef Expression
1 eqid 2777 . . . . 5 (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
21drsbn0 17323 . . . 4 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅)
32neneqd 2973 . . 3 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → ¬ (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
4 fvprc 6439 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) = ∅)
54fveq2d 6450 . . . 4 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘∅))
6 base0 16308 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
75, 6syl6eqr 2831 . . 3 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
83, 7nsyl2 145 . 2 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
9 simp1 1127 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧) → 𝐴 ∈ V)
10 eqid 2777 . . . 4 (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
111, 10isdrs 17320 . . 3 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
12 eqid 2777 . . . . . . . 8 (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
1312ipopos 17546 . . . . . . 7 (toInc‘𝐴) ∈ Poset
14 posprs 17335 . . . . . . 7 ((toInc‘𝐴) ∈ Poset → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
1513, 14mp1i 13 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
16 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
1715, 162thd 257 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ↔ 𝐴 ∈ V))
1812ipobas 17541 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
19 neeq1 3030 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅))
20 rexeq 3330 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∃𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
2120raleqbi1dv 3327 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
2221raleqbi1dv 3327 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
2319, 22anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
2418, 23syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
25 simpll 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ∈ V)
26 simplrl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐴)
27 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
2812, 10ipole 17544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑥𝑧))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑥𝑧))
30 simplrr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐴)
3112, 10ipole 17544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦𝑧))
3225, 30, 27, 31syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦𝑧))
3329, 32anbi12d 624 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥𝑧𝑦𝑧)))
34 unss 4009 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑧𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
3533, 34syl6bb 279 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
3635rexbidva 3233 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (∃𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
37362ralbidva 3169 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
3837anbi2d 622 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
3924, 38bitr3d 273 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
4017, 39anbi12d 624 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))))
41 3anass 1079 . . . 4 (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
42 3anass 1079 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
4340, 41, 423bitr4g 306 . . 3 (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
4411, 43syl5bb 275 . 2 (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
458, 9, 44pm5.21nii 370 1 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  Vcvv 3397   ∪ cun 3789   ⊆ wss 3791  ∅c0 4140   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  lecple 16345   Proset cproset 17312  Dirsetcdrs 17313  Posetcpo 17326  toInccipo 17537 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ocomp 16359  df-proset 17314  df-drs 17315  df-poset 17332  df-ipo 17538 This theorem is referenced by:  ipodrscl  17548  fpwipodrs  17550  ipodrsima  17551  nacsfix  38227
 Copyright terms: Public domain W3C validator