MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isipodrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isipodrs 18520
Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isipodrs ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
Distinct variable group:   𝑧,𝐴,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem isipodrs
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))
21drsbn0 18287 . . . 4 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset β†’ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ…)
32neneqd 2940 . . 3 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset β†’ Β¬ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) = βˆ…)
4 fvprc 6883 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (toIncβ€˜π΄) = βˆ…)
54fveq2d 6895 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜βˆ…))
6 base0 17176 . . . 4 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
75, 6eqtr4di 2785 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) = βˆ…)
83, 7nsyl2 141 . 2 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset β†’ 𝐴 ∈ V)
9 simp1 1134 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧) β†’ 𝐴 ∈ V)
10 eqid 2727 . . . 4 (leβ€˜(toIncβ€˜π΄)) = (leβ€˜(toIncβ€˜π΄))
111, 10isdrs 18284 . . 3 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset ↔ ((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ∧ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)))
12 eqid 2727 . . . . . . . 8 (toIncβ€˜π΄) = (toIncβ€˜π΄)
1312ipopos 18519 . . . . . . 7 (toIncβ€˜π΄) ∈ Poset
14 posprs 18299 . . . . . . 7 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Poset β†’ (toIncβ€˜π΄) ∈ Proset )
1513, 14mp1i 13 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ (toIncβ€˜π΄) ∈ Proset )
16 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ 𝐴 ∈ V)
1715, 162thd 265 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ ((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ↔ 𝐴 ∈ V))
1812ipobas 18514 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)))
19 neeq1 2998 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… ↔ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ…))
20 rexeq 3316 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)))
2120raleqbi1dv 3328 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)))
2221raleqbi1dv 3328 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)))
2319, 22anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β†’ ((𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ ((Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧))))
2418, 23syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ ((𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ ((Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧))))
25 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ V)
26 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
2812, 10ipole 18517 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑧))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑧))
30 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3112, 10ipole 18517 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑧))
3225, 30, 27, 31syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑧))
3329, 32anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑧 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧)))
34 unss 4180 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† 𝑧 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧) ↔ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)
3533, 34bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
3635rexbidva 3171 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
37362ralbidva 3211 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
3837anbi2d 628 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ ((𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ (𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)))
3924, 38bitr3d 281 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ (((Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ (𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)))
4017, 39anbi12d 630 . . . 4 (𝐴 ∈ V β†’ (((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ∧ ((Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))))
41 3anass 1093 . . . 4 (((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ∧ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ ((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ∧ ((Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧))))
42 3anass 1093 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)))
4340, 41, 423bitr4g 314 . . 3 (𝐴 ∈ V β†’ (((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ∧ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)))
4411, 43bitrid 283 . 2 (𝐴 ∈ V β†’ ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)))
458, 9, 44pm5.21nii 378 1 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  Basecbs 17171  lecple 17231   Proset cproset 18276  Dirsetcdrs 18277  Posetcpo 18290  toInccipo 18510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ocomp 17245  df-proset 18278  df-drs 18279  df-poset 18296  df-ipo 18511
This theorem is referenced by:  ipodrscl  18521  fpwipodrs  18523  ipodrsima  18524  nacsfix  42054
  Copyright terms: Public domain W3C validator