Theorem isipodrs 18672

Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isipodrs	⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑧,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem isipodrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
2	1	drsbn0 18439	. . . 4 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅)
3	2	neneqd 2960	. . 3 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → ¬ (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
4		fvprc 6865	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) = ∅)
5	4	fveq2d 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘∅))
6		base0 17353	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	5, 6	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
8	3, 7	nsyl2 142	. 2 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
9		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧) → 𝐴 ∈ V)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
11	1, 10	isdrs 18436	. . 3 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
12		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
13	12	ipopos 18671	. . . . . . 7 ⊢ (toInc‘𝐴) ∈ Poset
14		posprs 18451	. . . . . . 7 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Poset → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
15	13, 14	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
16		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
17	15, 16	2thd 268	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ↔ 𝐴 ∈ V))
18	12	ipobas 18666	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
19		neeq1 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅))
20		rexeq 3315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
21	20	raleqbi1dv 3329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
22	21	raleqbi1dv 3329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
23	19, 22	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
24	18, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
25		simpll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
26		simplrl 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
28	12, 10	ipole 18669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑧))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑧))
30		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
31	12, 10	ipole 18669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
32	25, 30, 27, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
33	29, 32	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧)))
34		unss 4135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧) ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
35	33, 34	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
36	35	rexbidva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
37	36	2ralbidva 3224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
38	37	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
39	24, 38	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
40	17, 39	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
41		3anass 1111	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
42		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
43	40, 41, 42	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
44	11, 43	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
45	8, 9, 44	pm5.21nii 381	1 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  lecple 17396   Proset cproset 18427  Dirsetcdrs 18428  Posetcpo 18442  toInccipo 18662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ocomp 17410  df-proset 18429  df-drs 18430  df-poset 18448  df-ipo 18663

This theorem is used by:  ipodrscl  18673  fpwipodrs  18675  ipodrsima  18676  nacsfix  43661