MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isipodrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isipodrs 18492
Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isipodrs ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
Distinct variable group:   𝑧,𝐴,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem isipodrs
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))
21drsbn0 18259 . . . 4 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset β†’ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ…)
32neneqd 2945 . . 3 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset β†’ Β¬ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) = βˆ…)
4 fvprc 6883 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (toIncβ€˜π΄) = βˆ…)
54fveq2d 6895 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜βˆ…))
6 base0 17151 . . . 4 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
75, 6eqtr4di 2790 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) = βˆ…)
83, 7nsyl2 141 . 2 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset β†’ 𝐴 ∈ V)
9 simp1 1136 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧) β†’ 𝐴 ∈ V)
10 eqid 2732 . . . 4 (leβ€˜(toIncβ€˜π΄)) = (leβ€˜(toIncβ€˜π΄))
111, 10isdrs 18256 . . 3 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset ↔ ((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ∧ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)))
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 (toIncβ€˜π΄) = (toIncβ€˜π΄)
1312ipopos 18491 . . . . . . 7 (toIncβ€˜π΄) ∈ Poset
14 posprs 18271 . . . . . . 7 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Poset β†’ (toIncβ€˜π΄) ∈ Proset )
1513, 14mp1i 13 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ (toIncβ€˜π΄) ∈ Proset )
16 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ 𝐴 ∈ V)
1715, 162thd 264 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ ((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ↔ 𝐴 ∈ V))
1812ipobas 18486 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)))
19 neeq1 3003 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… ↔ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ…))
20 rexeq 3321 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)))
2120raleqbi1dv 3333 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)))
2221raleqbi1dv 3333 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)))
2319, 22anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝐴 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β†’ ((𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ ((Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧))))
2418, 23syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ ((𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ ((Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧))))
25 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ V)
26 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
2812, 10ipole 18489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑧))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑧))
30 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3112, 10ipole 18489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑧))
3225, 30, 27, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑧))
3329, 32anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑧 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧)))
34 unss 4184 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† 𝑧 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧) ↔ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)
3533, 34bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
3635rexbidva 3176 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
37362ralbidva 3216 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
3837anbi2d 629 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ ((𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ (𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)))
3924, 38bitr3d 280 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ (((Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ (𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)))
4017, 39anbi12d 631 . . . 4 (𝐴 ∈ V β†’ (((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ∧ ((Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))))
41 3anass 1095 . . . 4 (((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ∧ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ ((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ∧ ((Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧))))
42 3anass 1095 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)))
4340, 41, 423bitr4g 313 . . 3 (𝐴 ∈ V β†’ (((toIncβ€˜π΄) ∈ Proset ∧ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄)) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜(toIncβ€˜π΄))(π‘₯(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧 ∧ 𝑦(leβ€˜(toIncβ€˜π΄))𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)))
4411, 43bitrid 282 . 2 (𝐴 ∈ V β†’ ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)))
458, 9, 44pm5.21nii 379 1 ((toIncβ€˜π΄) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17146  lecple 17206   Proset cproset 18248  Dirsetcdrs 18249  Posetcpo 18262  toInccipo 18482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ocomp 17220  df-proset 18250  df-drs 18251  df-poset 18268  df-ipo 18483
This theorem is referenced by:  ipodrscl  18493  fpwipodrs  18495  ipodrsima  18496  nacsfix  41532
  Copyright terms: Public domain W3C validator