Theorem isipodrs 17547

Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isipodrs	⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑧,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem isipodrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
2	1	drsbn0 17323	. . . 4 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅)
3	2	neneqd 2973	. . 3 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → ¬ (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
4		fvprc 6439	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) = ∅)
5	4	fveq2d 6450	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘∅))
6		base0 16308	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	5, 6	syl6eqr 2831	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
8	3, 7	nsyl2 145	. 2 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
9		simp1 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧) → 𝐴 ∈ V)
10		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
11	1, 10	isdrs 17320	. . 3 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
12		eqid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
13	12	ipopos 17546	. . . . . . 7 ⊢ (toInc‘𝐴) ∈ Poset
14		posprs 17335	. . . . . . 7 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Poset → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
16		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
17	15, 16	2thd 257	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ↔ 𝐴 ∈ V))
18	12	ipobas 17541	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
19		neeq1 3030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅))
20		rexeq 3330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
21	20	raleqbi1dv 3327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
22	21	raleqbi1dv 3327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
23	19, 22	anbi12d 624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
24	18, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
25		simpll 757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
26		simplrl 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
28	12, 10	ipole 17544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑧))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑧))
30		simplrr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
31	12, 10	ipole 17544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
32	25, 30, 27, 31	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
33	29, 32	anbi12d 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧)))
34		unss 4009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧) ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
35	33, 34	syl6bb 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
36	35	rexbidva 3233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
37	36	2ralbidva 3169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
38	37	anbi2d 622	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
39	24, 38	bitr3d 273	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
40	17, 39	anbi12d 624	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
41		3anass 1079	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
42		3anass 1079	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
43	40, 41, 42	3bitr4g 306	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
44	11, 43	syl5bb 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
45	8, 9, 44	pm5.21nii 370	1 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  Vcvv 3397   ∪ cun 3789   ⊆ wss 3791  ∅c0 4140   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  lecple 16345   Proset cproset 17312  Dirsetcdrs 17313  Posetcpo 17326  toInccipo 17537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ocomp 16359  df-proset 17314  df-drs 17315  df-poset 17332  df-ipo 17538

This theorem is referenced by:  ipodrscl  17548  fpwipodrs  17550  ipodrsima  17551  nacsfix  38227