Theorem isipodrs 18170

Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isipodrs	⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑧,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem isipodrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
2	1	drsbn0 17937	. . . 4 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅)
3	2	neneqd 2947	. . 3 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → ¬ (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
4		fvprc 6748	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) = ∅)
5	4	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘∅))
6		base0 16845	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	5, 6	eqtr4di 2797	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
8	3, 7	nsyl2 141	. 2 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
9		simp1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧) → 𝐴 ∈ V)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
11	1, 10	isdrs 17934	. . 3 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
12		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
13	12	ipopos 18169	. . . . . . 7 ⊢ (toInc‘𝐴) ∈ Poset
14		posprs 17949	. . . . . . 7 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Poset → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
16		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
17	15, 16	2thd 264	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ↔ 𝐴 ∈ V))
18	12	ipobas 18164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
19		neeq1 3005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅))
20		rexeq 3334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
21	20	raleqbi1dv 3331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
22	21	raleqbi1dv 3331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
23	19, 22	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
24	18, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
25		simpll 763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
26		simplrl 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
28	12, 10	ipole 18167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑧))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑧))
30		simplrr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
31	12, 10	ipole 18167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
32	25, 30, 27, 31	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
33	29, 32	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧)))
34		unss 4114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧) ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
35	33, 34	bitrdi 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
36	35	rexbidva 3224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
37	36	2ralbidva 3121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
38	37	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
39	24, 38	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
40	17, 39	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
41		3anass 1093	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
42		3anass 1093	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
43	40, 41, 42	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
44	11, 43	syl5bb 282	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
45	8, 9, 44	pm5.21nii 379	1 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895   Proset cproset 17926  Dirsetcdrs 17927  Posetcpo 17940  toInccipo 18160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ocomp 16909  df-proset 17928  df-drs 17929  df-poset 17946  df-ipo 18161

This theorem is referenced by:  ipodrscl  18171  fpwipodrs  18173  ipodrsima  18174  nacsfix  40450