MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isipodrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isipodrs 18353
Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isipodrs ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
Distinct variable group:   𝑧,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem isipodrs
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
21drsbn0 18120 . . . 4 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅)
32neneqd 2946 . . 3 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → ¬ (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
4 fvprc 6822 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) = ∅)
54fveq2d 6834 . . . 4 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘∅))
6 base0 17015 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
75, 6eqtr4di 2795 . . 3 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
83, 7nsyl2 141 . 2 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
9 simp1 1136 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧) → 𝐴 ∈ V)
10 eqid 2737 . . . 4 (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
111, 10isdrs 18117 . . 3 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
1312ipopos 18352 . . . . . . 7 (toInc‘𝐴) ∈ Poset
14 posprs 18132 . . . . . . 7 ((toInc‘𝐴) ∈ Poset → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
1513, 14mp1i 13 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
16 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
1715, 162thd 265 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ↔ 𝐴 ∈ V))
1812ipobas 18347 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
19 neeq1 3004 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅))
20 rexeq 3307 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∃𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
2120raleqbi1dv 3304 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
2221raleqbi1dv 3304 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
2319, 22anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
2418, 23syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
25 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ∈ V)
26 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐴)
27 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
2812, 10ipole 18350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑥𝑧))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑥𝑧))
30 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐴)
3112, 10ipole 18350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦𝑧))
3225, 30, 27, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦𝑧))
3329, 32anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥𝑧𝑦𝑧)))
34 unss 4136 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑧𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
3533, 34bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
3635rexbidva 3170 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (∃𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
37362ralbidva 3207 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
3837anbi2d 630 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
3924, 38bitr3d 281 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
4017, 39anbi12d 632 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))))
41 3anass 1095 . . . 4 (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
42 3anass 1095 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
4340, 41, 423bitr4g 314 . . 3 (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
4411, 43bitrid 283 . 2 (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
458, 9, 44pm5.21nii 380 1 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3442  cun 3900  wss 3902  c0 4274   class class class wbr 5097  cfv 6484  Basecbs 17010  lecple 17067   Proset cproset 18109  Dirsetcdrs 18110  Posetcpo 18123  toInccipo 18343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-fz 13346  df-struct 16946  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ocomp 17081  df-proset 18111  df-drs 18112  df-poset 18129  df-ipo 18344
This theorem is referenced by:  ipodrscl  18354  fpwipodrs  18356  ipodrsima  18357  nacsfix  40845
  Copyright terms: Public domain W3C validator