Theorem isipodrs 18453

Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isipodrs	⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑧,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem isipodrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
2	1	drsbn0 18220	. . . 4 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅)
3	2	neneqd 2935	. . 3 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → ¬ (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
4		fvprc 6823	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) = ∅)
5	4	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘∅))
6		base0 17135	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	5, 6	eqtr4di 2786	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
8	3, 7	nsyl2 141	. 2 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
9		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧) → 𝐴 ∈ V)
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
11	1, 10	isdrs 18217	. . 3 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
12		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
13	12	ipopos 18452	. . . . . . 7 ⊢ (toInc‘𝐴) ∈ Poset
14		posprs 18232	. . . . . . 7 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Poset → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
16		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
17	15, 16	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ↔ 𝐴 ∈ V))
18	12	ipobas 18447	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
19		neeq1 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅))
20		rexeq 3290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
21	20	raleqbi1dv 3306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
22	21	raleqbi1dv 3306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
23	19, 22	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
24	18, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
25		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
26		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
28	12, 10	ipole 18450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑧))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑧))
30		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
31	12, 10	ipole 18450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
32	25, 30, 27, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
33	29, 32	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧)))
34		unss 4141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧) ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
35	33, 34	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
36	35	rexbidva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
37	36	2ralbidva 3196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
38	37	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
39	24, 38	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
40	17, 39	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
41		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
42		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
43	40, 41, 42	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
44	11, 43	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
45	8, 9, 44	pm5.21nii 378	1 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  Basecbs 17130  lecple 17178   Proset cproset 18208  Dirsetcdrs 18209  Posetcpo 18223  toInccipo 18443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ocomp 17192  df-proset 18210  df-drs 18211  df-poset 18229  df-ipo 18444

This theorem is referenced by:  ipodrscl  18454  fpwipodrs  18456  ipodrsima  18457  nacsfix  42819