Theorem isipodrs 18595

Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isipodrs	⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑧,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem isipodrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
2	1	drsbn0 18362	. . . 4 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅)
3	2	neneqd 2943	. . 3 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → ¬ (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
4		fvprc 6899	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) = ∅)
5	4	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘∅))
6		base0 17250	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	5, 6	eqtr4di 2793	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
8	3, 7	nsyl2 141	. 2 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
9		simp1 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧) → 𝐴 ∈ V)
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
11	1, 10	isdrs 18359	. . 3 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
12		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
13	12	ipopos 18594	. . . . . . 7 ⊢ (toInc‘𝐴) ∈ Poset
14		posprs 18374	. . . . . . 7 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Poset → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) ∈ Proset )
16		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
17	15, 16	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ↔ 𝐴 ∈ V))
18	12	ipobas 18589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
19		neeq1 3001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅))
20		rexeq 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
21	20	raleqbi1dv 3336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
22	21	raleqbi1dv 3336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
23	19, 22	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
24	18, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
25		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
26		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
28	12, 10	ipole 18592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑧))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑧))
30		simplrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
31	12, 10	ipole 18592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
32	25, 30, 27, 31	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑧))
33	29, 32	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧)))
34		unss 4200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑧) ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
35	33, 34	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
36	35	rexbidva 3175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
37	36	2ralbidva 3217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
38	37	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
39	24, 38	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
40	17, 39	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
41		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
42		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
43	40, 41, 42	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Proset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧 ∧ 𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
44	11, 43	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)))
45	8, 9, 44	pm5.21nii 378	1 ⊢ ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305   Proset cproset 18350  Dirsetcdrs 18351  Posetcpo 18365  toInccipo 18585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-proset 18352  df-drs 18353  df-poset 18371  df-ipo 18586

This theorem is referenced by:  ipodrscl  18596  fpwipodrs  18598  ipodrsima  18599  nacsfix  42700