Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgmgc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgmgc 32238
Description: There is a monotone Galois connection between the lattice of subgroups of a group 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the lattice of subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This is sometimes called the lattice theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgmgc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
nsgmgc.s 𝑆 = {β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 βŠ† β„Ž}
nsgmgc.t 𝑇 = (SubGrpβ€˜π‘„)
nsgmgc.j 𝐽 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
nsgmgc.v 𝑉 = (toIncβ€˜π‘†)
nsgmgc.w π‘Š = (toIncβ€˜π‘‡)
nsgmgc.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgc.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
nsgmgc.e 𝐸 = (β„Ž ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
nsgmgc.f 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgmgc.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
nsgmgc (πœ‘ β†’ 𝐸𝐽𝐹)
Distinct variable groups:   βŠ• ,π‘Ž,β„Ž,π‘₯   𝐡,π‘Ž,β„Ž,π‘₯   𝐸,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑓,𝐹,β„Ž,π‘₯   𝐺,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑁,π‘Ž,β„Ž,π‘₯   𝑄,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑇,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑓,𝑉,β„Ž   𝑓,π‘Š,β„Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓)   βŠ• (𝑓)   𝐹(π‘Ž)   𝐽(π‘₯,𝑓,β„Ž,π‘Ž)   𝑁(𝑓)   𝑉(π‘₯,π‘Ž)   π‘Š(π‘₯,π‘Ž)

Proof of Theorem nsgmgc
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 β„²β„Žπœ‘
2 vex 3448 . . . . . . . 8 β„Ž ∈ V
32mptex 7174 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V
43rnex 7850 . . . . . 6 ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V)
6 nsgmgc.e . . . . 5 𝐸 = (β„Ž ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
71, 5, 6fnmptd 6643 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn 𝑆)
8 nsgmgc.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
9 nsgmgc.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
10 nsgmgc.p . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
11 mpteq1 5199 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) = (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
1211rneqd 5894 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = π‘˜ β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) = ran (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
1312cbvmptv 5219 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁))) = (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
146, 13eqtri 2761 . . . . . . . 8 𝐸 = (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁))
16 nsgmgc.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
1716adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
18 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ β„Ž ∈ 𝑆)
19 nsgmgc.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 βŠ† β„Ž}
2019ssrab3 4041 . . . . . . . . 9 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
228, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 21qusima 32235 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) β€œ β„Ž))
238, 9, 15qusghm 19050 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
2417, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
2520a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
2625sselda 3945 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
27 ghmima 19034 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄) ∧ β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) β€œ β„Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π‘„))
2824, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) β€œ β„Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π‘„))
2922, 28eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π‘„))
30 nsgmgc.t . . . . . 6 𝑇 = (SubGrpβ€˜π‘„)
3129, 30eleqtrrdi 2845 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) ∈ 𝑇)
3231ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ 𝑆 (πΈβ€˜β„Ž) ∈ 𝑇)
33 ffnfv 7067 . . . 4 (𝐸:π‘†βŸΆπ‘‡ ↔ (𝐸 Fn 𝑆 ∧ βˆ€β„Ž ∈ 𝑆 (πΈβ€˜β„Ž) ∈ 𝑇))
347, 32, 33sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘†βŸΆπ‘‡)
35 sseq2 3971 . . . . . 6 (β„Ž = {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} β†’ (𝑁 βŠ† β„Ž ↔ 𝑁 βŠ† {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓}))
3616adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
37 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
3837, 30eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ (SubGrpβ€˜π‘„))
398, 9, 10, 36, 38nsgmgclem 32237 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
40 nsgsubg 18965 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑁 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4116, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
428subgss 18934 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑁 βŠ† 𝐡)
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† 𝐡)
4443adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 βŠ† 𝐡)
4541ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
46 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ π‘Ž ∈ 𝑁)
4710grplsmid 32233 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = 𝑁)
4845, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = 𝑁)
4916ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
5038adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ 𝑓 ∈ (SubGrpβ€˜π‘„))
519nsgqus0 32236 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑓 ∈ (SubGrpβ€˜π‘„)) β†’ 𝑁 ∈ 𝑓)
5249, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ 𝑓)
5348, 52eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓)
5444, 53ssrabdv 4032 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 βŠ† {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
5535, 39, 54elrabd 3648 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ {β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 βŠ† β„Ž})
5655, 19eleqtrrdi 2845 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ 𝑆)
57 nsgmgc.f . . . 4 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
5856, 57fmptd 7063 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆπ‘†)
5934, 58jca 513 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸:π‘†βŸΆπ‘‡ ∧ 𝐹:π‘‡βŸΆπ‘†))
608subgss 18934 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ β„Ž βŠ† 𝐡)
6126, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ β„Ž βŠ† 𝐡)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) β†’ β„Ž βŠ† 𝐡)
636fvmpt2 6960 . . . . . . . . . . . 12 ((β„Ž ∈ 𝑆 ∧ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) = ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
6418, 4, 63sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) = ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
6564ad5ant12 755 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) = ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
66 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓)
6765, 66eqsstrrd 3984 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) βŠ† 𝑓)
68 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁))
69 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ π‘Ž ∈ β„Ž)
70 sneq 4597 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘Ž β†’ {π‘₯} = {π‘Ž})
7170oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ({π‘₯} βŠ• 𝑁) = ({π‘Ž} βŠ• 𝑁))
7271eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ↔ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘Ž} βŠ• 𝑁)))
7372adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) ∧ π‘₯ = π‘Ž) β†’ (({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ↔ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘Ž} βŠ• 𝑁)))
74 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘Ž} βŠ• 𝑁))
7569, 73, 74rspcedvd 3582 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„Ž ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘₯} βŠ• 𝑁))
76 ovexd 7393 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ V)
7768, 75, 76elrnmptd 5917 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
7867, 77sseldd 3946 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓)
7962, 78ssrabdv 4032 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) β†’ β„Ž βŠ† {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
80 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
818fvexi 6857 . . . . . . . . . 10 𝐡 ∈ V
8281rabex 5290 . . . . . . . . 9 {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V
8357fvmpt2 6960 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘“) = {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
8480, 82, 83sylancl 587 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘“) = {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
8584adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) β†’ (πΉβ€˜π‘“) = {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
8679, 85sseqtrrd 3986 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) β†’ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“))
8764ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) = ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
88 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) β†’ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“))
8988sselda 3945 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ β„Ž) β†’ π‘₯ ∈ (πΉβ€˜π‘“))
9084ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ β„Ž) β†’ (πΉβ€˜π‘“) = {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
9189, 90eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ β„Ž) β†’ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
92 sneq 4597 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘₯ β†’ {π‘Ž} = {π‘₯})
9392oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘₯} βŠ• 𝑁))
9493eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓 ↔ ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓))
9594elrab 3646 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓))
9695simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} β†’ ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓)
9791, 96syl 17 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ β„Ž) β†’ ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓)
9897ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„Ž ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓)
9968rnmptss 7071 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ β„Ž ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓 β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) βŠ† 𝑓)
10098, 99syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) βŠ† 𝑓)
10187, 100eqsstrd 3983 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓)
10286, 101impbida 800 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓 ↔ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)))
10330fvexi 6857 . . . . . 6 𝑇 ∈ V
104 nsgmgc.w . . . . . . 7 π‘Š = (toIncβ€˜π‘‡)
105 eqid 2733 . . . . . . 7 (leβ€˜π‘Š) = (leβ€˜π‘Š)
106104, 105ipole 18428 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ (πΈβ€˜β„Ž) ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓))
107103, 31, 80, 106mp3an2ani 1469 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓))
108 fvex 6856 . . . . . . 7 (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ V
10919, 108rabex2 5292 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
11058ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘“) ∈ 𝑆)
111110adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘“) ∈ 𝑆)
112 nsgmgc.v . . . . . . 7 𝑉 = (toIncβ€˜π‘†)
113 eqid 2733 . . . . . . 7 (leβ€˜π‘‰) = (leβ€˜π‘‰)
114112, 113ipole 18428 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ V ∧ β„Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘“) ∈ 𝑆) β†’ (β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“) ↔ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)))
115109, 18, 111, 114mp3an2ani 1469 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“) ↔ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)))
116102, 107, 1153bitr4d 311 . . . 4 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“)))
117116anasss 468 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“)))
118117ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“)))
119112ipobas 18425 . . . 4 (𝑆 ∈ V β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‰))
120109, 119ax-mp 5 . . 3 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‰)
121104ipobas 18425 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π‘Š))
122103, 121ax-mp 5 . . 3 𝑇 = (Baseβ€˜π‘Š)
123 nsgmgc.j . . 3 𝐽 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
124112ipopos 18430 . . . 4 𝑉 ∈ Poset
125 posprs 18210 . . . 4 (𝑉 ∈ Poset β†’ 𝑉 ∈ Proset )
126124, 125mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ Proset )
127104ipopos 18430 . . . 4 π‘Š ∈ Poset
128 posprs 18210 . . . 4 (π‘Š ∈ Poset β†’ π‘Š ∈ Proset )
129127, 128mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Proset )
130120, 122, 113, 105, 123, 126, 129mgcval 31896 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸𝐽𝐹 ↔ ((𝐸:π‘†βŸΆπ‘‡ ∧ 𝐹:π‘‡βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€β„Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“)))))
13159, 118, 130mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐸𝐽𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  [cec 8649  Basecbs 17088  lecple 17145   /s cqus 17392   Proset cproset 18187  Posetcpo 18201  toInccipo 18421  SubGrpcsubg 18927  NrmSGrpcnsg 18928   ~QG cqg 18929   GrpHom cghm 19010  LSSumclsm 19421  MGalConncmgc 31888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ocomp 17159  df-ds 17160  df-0g 17328  df-imas 17395  df-qus 17396  df-proset 18189  df-poset 18207  df-ipo 18422  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-subg 18930  df-nsg 18931  df-eqg 18932  df-ghm 19011  df-oppg 19129  df-lsm 19423  df-mgc 31890
This theorem is referenced by:  nsgqusf1o  32242
  Copyright terms: Public domain W3C validator