Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgmgc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgmgc 31111
 Description: There is a monotone Galois connection between the lattice of subgroups of a group 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the lattice of subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This is sometimes called the lattice theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgmgc.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgc.s 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
nsgmgc.t 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgmgc.j 𝐽 = (𝑉MGalConn𝑊)
nsgmgc.v 𝑉 = (toInc‘𝑆)
nsgmgc.w 𝑊 = (toInc‘𝑇)
nsgmgc.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgc.p = (LSSum‘𝐺)
nsgmgc.e 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
nsgmgc.f 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgmgc.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
nsgmgc (𝜑𝐸𝐽𝐹)
Distinct variable groups:   ,𝑎,,𝑥   𝐵,𝑎,,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑓,𝐹,,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑁,𝑎,,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑓,𝑉,   𝑓,𝑊,   𝜑,𝑎,𝑓,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   (𝑓)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑥,𝑓,,𝑎)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑎)   𝑊(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem nsgmgc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . . . . 5 𝜑
2 vex 3414 . . . . . . . 8 ∈ V
32mptex 6978 . . . . . . 7 (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V
43rnex 7623 . . . . . 6 ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑆) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V)
6 nsgmgc.e . . . . 5 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
71, 5, 6fnmptd 6473 . . . 4 (𝜑𝐸 Fn 𝑆)
8 nsgmgc.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
9 nsgmgc.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
10 nsgmgc.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
11 mpteq1 5121 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑘 → (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝑥𝑘 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
1211rneqd 5780 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑘 → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = ran (𝑥𝑘 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
1312cbvmptv 5136 . . . . . . . . 9 (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) = (𝑘𝑆 ↦ ran (𝑥𝑘 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
146, 13eqtri 2782 . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑘𝑆 ↦ ran (𝑥𝑘 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
15 eqid 2759 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
16 nsgmgc.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1716adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
18 simpr 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆) → 𝑆)
19 nsgmgc.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
2019ssrab3 3987 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
228, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 21qusima 31108 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆) → (𝐸) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ))
238, 9, 15qusghm 18455 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
2417, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆) → (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
2520a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
2625sselda 3893 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆) → ∈ (SubGrp‘𝐺))
27 ghmima 18439 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄) ∧ ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
2824, 26, 27syl2anc 588 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆) → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
2922, 28eqeltrd 2853 . . . . . 6 ((𝜑𝑆) → (𝐸) ∈ (SubGrp‘𝑄))
30 nsgmgc.t . . . . . 6 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
3129, 30eleqtrrdi 2864 . . . . 5 ((𝜑𝑆) → (𝐸) ∈ 𝑇)
3231ralrimiva 3114 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑆 (𝐸) ∈ 𝑇)
33 ffnfv 6874 . . . 4 (𝐸:𝑆𝑇 ↔ (𝐸 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑆 (𝐸) ∈ 𝑇))
347, 32, 33sylanbrc 587 . . 3 (𝜑𝐸:𝑆𝑇)
35 sseq2 3919 . . . . . 6 ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} → (𝑁𝑁 ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
3616adantr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
37 simpr 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑓𝑇)
3837, 30eleqtrdi 2863 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
398, 9, 10, 36, 38nsgmgclem 31110 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑇) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
40 nsgsubg 18370 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4116, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
428subgss 18340 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝐵)
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝐵)
4443adantr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁𝐵)
4541ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
46 simpr 489 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑎𝑁)
4710grplsmid 31106 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) = 𝑁)
4845, 46, 47syl2anc 588 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) = 𝑁)
4916ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5038adantr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
519nsgqus0 31109 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝑓)
5249, 50, 51syl2anc 588 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁𝑓)
5348, 52eqeltrd 2853 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓)
5444, 53ssrabdv 3979 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁 ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
5535, 39, 54elrabd 3605 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑇) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁})
5655, 19eleqtrrdi 2864 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑇) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ 𝑆)
57 nsgmgc.f . . . 4 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
5856, 57fmptd 6870 . . 3 (𝜑𝐹:𝑇𝑆)
5934, 58jca 516 . 2 (𝜑 → (𝐸:𝑆𝑇𝐹:𝑇𝑆))
608subgss 18340 . . . . . . . . . 10 ( ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐵)
6126, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆) → 𝐵)
6261ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) → 𝐵)
636fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∧ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V) → (𝐸) = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
6418, 4, 63sylancl 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆) → (𝐸) = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
6564ad5ant12 756 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → (𝐸) = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
66 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → (𝐸) ⊆ 𝑓)
6765, 66eqsstrrd 3932 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ⊆ 𝑓)
68 eqid 2759 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
69 simpr 489 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → 𝑎)
70 sneq 4533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → {𝑥} = {𝑎})
7170oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑎 → ({𝑥} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁))
7271eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑎 → (({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁) ↔ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁)))
7372adantl 486 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁) ↔ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁)))
74 eqidd 2760 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁))
7569, 73, 74rspcedvd 3545 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
76 ovexd 7186 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ V)
7768, 75, 76elrnmptd 5803 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
7867, 77sseldd 3894 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓)
7962, 78ssrabdv 3979 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) → ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
80 simpr 489 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑓𝑇)
818fvexi 6673 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
8281rabex 5203 . . . . . . . . 9 {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V
8357fvmpt2 6771 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑇 ∧ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V) → (𝐹𝑓) = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
8480, 82, 83sylancl 590 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐹𝑓) = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
8584adantr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) → (𝐹𝑓) = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
8679, 85sseqtrrd 3934 . . . . . 6 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) → ⊆ (𝐹𝑓))
8764ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) → (𝐸) = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
88 simpr 489 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) → ⊆ (𝐹𝑓))
8988sselda 3893 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) ∧ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑓))
9084ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) ∧ 𝑥) → (𝐹𝑓) = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
9189, 90eleqtrd 2855 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) ∧ 𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
92 sneq 4533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
9392oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
9493eleq1d 2837 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓 ↔ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓))
9594elrab 3603 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓))
9695simprbi 501 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓)
9791, 96syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) ∧ 𝑥) → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓)
9897ralrimiva 3114 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) → ∀𝑥 ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓)
9968rnmptss 6878 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓 → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ⊆ 𝑓)
10098, 99syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ⊆ 𝑓)
10187, 100eqsstrd 3931 . . . . . 6 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) → (𝐸) ⊆ 𝑓)
10286, 101impbida 801 . . . . 5 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝐸) ⊆ 𝑓 ⊆ (𝐹𝑓)))
10330fvexi 6673 . . . . . 6 𝑇 ∈ V
104 nsgmgc.w . . . . . . 7 𝑊 = (toInc‘𝑇)
105 eqid 2759 . . . . . . 7 (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
106104, 105ipole 17827 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ (𝐸) ∈ 𝑇𝑓𝑇) → ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓 ↔ (𝐸) ⊆ 𝑓))
107103, 31, 80, 106mp3an2ani 1466 . . . . 5 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓 ↔ (𝐸) ⊆ 𝑓))
108 fvex 6672 . . . . . . 7 (SubGrp‘𝐺) ∈ V
10919, 108rabex2 5205 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
11058ffvelrnda 6843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝐹𝑓) ∈ 𝑆)
111110adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐹𝑓) ∈ 𝑆)
112 nsgmgc.v . . . . . . 7 𝑉 = (toInc‘𝑆)
113 eqid 2759 . . . . . . 7 (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
114112, 113ipole 17827 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑆 ∧ (𝐹𝑓) ∈ 𝑆) → ((le‘𝑉)(𝐹𝑓) ↔ ⊆ (𝐹𝑓)))
115109, 18, 111, 114mp3an2ani 1466 . . . . 5 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → ((le‘𝑉)(𝐹𝑓) ↔ ⊆ (𝐹𝑓)))
116102, 107, 1153bitr4d 315 . . . 4 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓(le‘𝑉)(𝐹𝑓)))
117116anasss 471 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑓𝑇)) → ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓(le‘𝑉)(𝐹𝑓)))
118117ralrimivva 3121 . 2 (𝜑 → ∀𝑆𝑓𝑇 ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓(le‘𝑉)(𝐹𝑓)))
119112ipobas 17824 . . . 4 (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘𝑉))
120109, 119ax-mp 5 . . 3 𝑆 = (Base‘𝑉)
121104ipobas 17824 . . . 4 (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘𝑊))
122103, 121ax-mp 5 . . 3 𝑇 = (Base‘𝑊)
123 nsgmgc.j . . 3 𝐽 = (𝑉MGalConn𝑊)
124112ipopos 17829 . . . 4 𝑉 ∈ Poset
125 posprs 17618 . . . 4 (𝑉 ∈ Poset → 𝑉 ∈ Proset )
126124, 125mp1i 13 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ Proset )
127104ipopos 17829 . . . 4 𝑊 ∈ Poset
128 posprs 17618 . . . 4 (𝑊 ∈ Poset → 𝑊 ∈ Proset )
129127, 128mp1i 13 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Proset )
130120, 122, 113, 105, 123, 126, 129mgcval 30784 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐽𝐹 ↔ ((𝐸:𝑆𝑇𝐹:𝑇𝑆) ∧ ∀𝑆𝑓𝑇 ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓(le‘𝑉)(𝐹𝑓)))))
13159, 118, 130mpbir2and 713 1 (𝜑𝐸𝐽𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  {crab 3075  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859  {csn 4523   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ran crn 5526   “ cima 5528   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  [cec 8298  Basecbs 16534  lecple 16623   /s cqus 16829   Proset cproset 17595  Posetcpo 17609  toInccipo 17820  SubGrpcsubg 18333  NrmSGrpcnsg 18334   ~QG cqg 18335   GrpHom cghm 18415  LSSumclsm 18819  MGalConncmgc 30776 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-tpos 7903  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-ec 8302  df-qs 8306  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8932  df-inf 8933  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-fz 12933  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ocomp 16637  df-ds 16638  df-0g 16766  df-imas 16832  df-qus 16833  df-proset 17597  df-poset 17615  df-ipo 17821  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-submnd 18016  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-subg 18336  df-nsg 18337  df-eqg 18338  df-ghm 18416  df-oppg 18534  df-lsm 18821  df-mgc 30778 This theorem is referenced by:  nsgqusf1o  31115
 Copyright terms: Public domain W3C validator