Theorem nsgmgc 34006

Description: There is a monotone Galois connection between the lattice of subgroups of a group 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the lattice of subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This is sometimes called the lattice theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgmgc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgc.s	⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
nsgmgc.t	⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgmgc.j	⊢ 𝐽 = (𝑉MGalConn𝑊)
nsgmgc.v	⊢ 𝑉 = (toInc‘𝑆)
nsgmgc.w	⊢ 𝑊 = (toInc‘𝑇)
nsgmgc.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgc.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgmgc.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
nsgmgc.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgmgc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nsgmgc	⊢ (𝜑 → 𝐸𝐽𝐹)

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎,ℎ,𝑥   𝐵,𝑎,ℎ,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝐹,ℎ,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑁,𝑎,ℎ,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝑉,ℎ   𝑓,𝑊,ℎ   𝜑,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   ⊕ (𝑓)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑥, 𝑓, ℎ, 𝑎)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑥, 𝑎)   𝑊(𝑥, 𝑎)

Proof of Theorem nsgmgc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1946	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝜑
2		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ ℎ ∈ V
3	2	mptex 7229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
4	3	rnex 7922	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V)
6		nsgmgc.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
7	1, 5, 6	fnmptd 6680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑆)
8		nsgmgc.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		nsgmgc.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
10		nsgmgc.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
11		mpteq1 5193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
12	11	rneqd 5919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
13	12	cbvmptv 5208	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁))) = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
14	6, 13	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
15		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
16		nsgmgc.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
18		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ℎ ∈ 𝑆)
19		nsgmgc.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
20	19	ssrab3 4007	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
22	8, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 21	qusima 34002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ℎ))
23	8, 9, 15	qusghm 19470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
24	17, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
25	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
26	25	sselda 3908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺))
27		ghmima 19452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄) ∧ ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ℎ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
28	24, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ℎ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
29	22, 28	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
30		nsgmgc.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
31	29, 30	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇)
32	31	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑆 (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇)
33		ffnfv 7119	. . . 4 ⊢ (𝐸:𝑆⟶𝑇 ↔ (𝐸 Fn 𝑆 ∧ ∀ℎ ∈ 𝑆 (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇))
34	7, 32, 33	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆⟶𝑇)
35		sseq2 3934	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} → (𝑁 ⊆ ℎ ↔ 𝑁 ⊆ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓}))
36	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
37		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝑇)
38	37, 30	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
39	8, 9, 10, 36, 38	nsgmgclem 34005	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
40		nsgsubg 19369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
41	16, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
42	8	subgss 19338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ 𝐵)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐵)
44	43	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑁 ⊆ 𝐵)
45	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
46		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
47	10	grplsmid 33998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
48	45, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
49	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
50	38	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
51	9	nsgqus0 34004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝑓)
52	49, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑓)
53	48, 52	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
54	44, 53	ssrabdv 3998	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑁 ⊆ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
55	35, 39, 54	elrabd 3646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ})
56	55, 19	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ 𝑆)
57		nsgmgc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
58	56, 57	fmptd 7114	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶𝑆)
59	34, 58	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐹:𝑇⟶𝑆))
60	8	subgss 19338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) → ℎ ⊆ 𝐵)
61	26, 60	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ℎ ⊆ 𝐵)
62	61	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → ℎ ⊆ 𝐵)
63	6	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑆 ∧ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
64	18, 4, 63	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
65	64	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
66		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓)
67	65, 66	eqsstrrd 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ⊆ 𝑓)
68		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁))
69		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → 𝑎 ∈ ℎ)
70		sneq 4593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → {𝑥} = {𝑎})
71	70	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ({𝑥} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁))
72	71	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁) ↔ ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁)))
73	72	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁) ↔ ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁)))
74		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁))
75	69, 73, 74	rspcedvd 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ∃𝑥 ∈ ℎ ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
76		ovexd 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ V)
77	68, 75, 76	elrnmptd 5944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
78	67, 77	sseldd 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
79	62, 78	ssrabdv 3998	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → ℎ ⊆ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
80		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝑇)
81	8	fvexi 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
82	81	rabex 5299	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V
83	57	fvmpt2 7005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
84	80, 82, 83	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
85	84	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
86	79, 85	sseqtrrd 3945	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓))
87	64	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
88		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓))
89	88	sselda 3908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑓))
90	84	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
91	89, 90	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
92		sneq 4593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
93	92	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
94	93	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓 ↔ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓))
95	94	elrab 3644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓))
96	95	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
97	91, 96	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
98	97	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℎ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
99	68	rnmptss 7123	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℎ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ⊆ 𝑓)
100	98, 99	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ⊆ 𝑓)
101	87, 100	eqsstrd 3942	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓)
102	86, 101	impbida 813	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓 ↔ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)))
103	30	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ V
104		nsgmgc.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (toInc‘𝑇)
105		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
106	104, 105	ipole 18709	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓))
107	103, 31, 80, 106	mp3an2ani 1497	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓))
108		fvex 6898	. . . . . . 7 ⊢ (SubGrp‘𝐺) ∈ V
109	19, 108	rabex2 5301	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
110	58	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝑆)
111	110	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝑆)
112		nsgmgc.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (toInc‘𝑆)
113		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
114	112, 113	ipole 18709	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ ℎ ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑓) ∈ 𝑆) → (ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓) ↔ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)))
115	109, 18, 111, 114	mp3an2ani 1497	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓) ↔ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)))
116	102, 107, 115	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))
117	116	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))
118	117	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))
119	112	ipobas 18706	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘𝑉))
120	109, 119	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑉)
121	104	ipobas 18706	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘𝑊))
122	103, 121	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 = (Base‘𝑊)
123		nsgmgc.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑉MGalConn𝑊)
124	112	ipopos 18711	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ Poset
125		posprs 18491	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Poset → 𝑉 ∈ Proset )
126	124, 125	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Proset )
127	104	ipopos 18711	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ Poset
128		posprs 18491	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Poset → 𝑊 ∈ Proset )
129	127, 128	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Proset )
130	120, 122, 113, 105, 123, 126, 129	mgcval 33591	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸𝐽𝐹 ↔ ((𝐸:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐹:𝑇⟶𝑆) ∧ ∀ℎ ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))))
131	59, 118, 130	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸𝐽𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  [cec 8716  Basecbs 17388  lecple 17436   /_s cqus 17678   Proset cproset 18467  Posetcpo 18482  toInccipo 18702  SubGrpcsubg 19331  NrmSGrpcnsg 19332   ~_QG cqg 19333   GrpHom cghm 19428  LSSumclsm 19849  MGalConncmgc 33583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ocomp 17450  df-ds 17451  df-0g 17613  df-imas 17681  df-qus 17682  df-proset 18469  df-poset 18488  df-ipo 18703  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-subg 19334  df-nsg 19335  df-eqg 19336  df-ghm 19429  df-oppg 19561  df-lsm 19851  df-mgc 33585

This theorem is used by:  nsgqusf1o  34010