Theorem nsgmgc 32085

Description: There is a monotone Galois connection between the lattice of subgroups of a group 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the lattice of subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This is sometimes called the lattice theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgmgc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgc.s	⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
nsgmgc.t	⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgmgc.j	⊢ 𝐽 = (𝑉MGalConn𝑊)
nsgmgc.v	⊢ 𝑉 = (toInc‘𝑆)
nsgmgc.w	⊢ 𝑊 = (toInc‘𝑇)
nsgmgc.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgc.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgmgc.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
nsgmgc.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgmgc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nsgmgc	⊢ (𝜑 → 𝐸𝐽𝐹)

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎,ℎ,𝑥   𝐵,𝑎,ℎ,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝐹,ℎ,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑁,𝑎,ℎ,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝑉,ℎ   𝑓,𝑊,ℎ   𝜑,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   ⊕ (𝑓)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑥,𝑓,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑎)   𝑊(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem nsgmgc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝜑
2		vex 3448	. . . . . . . 8 ⊢ ℎ ∈ V
3	2	mptex 7170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
4	3	rnex 7846	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V)
6		nsgmgc.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
7	1, 5, 6	fnmptd 6640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑆)
8		nsgmgc.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		nsgmgc.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
10		nsgmgc.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
11		mpteq1 5197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
12	11	rneqd 5892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
13	12	cbvmptv 5217	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁))) = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
14	6, 13	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
16		nsgmgc.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
18		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ℎ ∈ 𝑆)
19		nsgmgc.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
20	19	ssrab3 4039	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
22	8, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 21	qusima 32082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ℎ))
23	8, 9, 15	qusghm 19041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
24	17, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
25	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
26	25	sselda 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺))
27		ghmima 19025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄) ∧ ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ℎ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
28	24, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ℎ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
29	22, 28	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
30		nsgmgc.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
31	29, 30	eleqtrrdi 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇)
32	31	ralrimiva 3142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑆 (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇)
33		ffnfv 7063	. . . 4 ⊢ (𝐸:𝑆⟶𝑇 ↔ (𝐸 Fn 𝑆 ∧ ∀ℎ ∈ 𝑆 (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇))
34	7, 32, 33	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆⟶𝑇)
35		sseq2 3969	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} → (𝑁 ⊆ ℎ ↔ 𝑁 ⊆ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓}))
36	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
37		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝑇)
38	37, 30	eleqtrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
39	8, 9, 10, 36, 38	nsgmgclem 32084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
40		nsgsubg 18956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
41	16, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
42	8	subgss 18925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ 𝐵)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐵)
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑁 ⊆ 𝐵)
45	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
46		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
47	10	grplsmid 32080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
48	45, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
49	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
50	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
51	9	nsgqus0 32083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝑓)
52	49, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑓)
53	48, 52	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
54	44, 53	ssrabdv 4030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑁 ⊆ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
55	35, 39, 54	elrabd 3646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ})
56	55, 19	eleqtrrdi 2849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ 𝑆)
57		nsgmgc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
58	56, 57	fmptd 7059	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶𝑆)
59	34, 58	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐹:𝑇⟶𝑆))
60	8	subgss 18925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) → ℎ ⊆ 𝐵)
61	26, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ℎ ⊆ 𝐵)
62	61	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → ℎ ⊆ 𝐵)
63	6	fvmpt2 6957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑆 ∧ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
64	18, 4, 63	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
65	64	ad5ant12 754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
66		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓)
67	65, 66	eqsstrrd 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ⊆ 𝑓)
68		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁))
69		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → 𝑎 ∈ ℎ)
70		sneq 4595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → {𝑥} = {𝑎})
71	70	oveq1d 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ({𝑥} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁))
72	71	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁) ↔ ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁)))
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁) ↔ ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁)))
74		eqidd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁))
75	69, 73, 74	rspcedvd 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ∃𝑥 ∈ ℎ ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
76		ovexd 7389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ V)
77	68, 75, 76	elrnmptd 5915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
78	67, 77	sseldd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
79	62, 78	ssrabdv 4030	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → ℎ ⊆ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
80		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝑇)
81	8	fvexi 6854	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
82	81	rabex 5288	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V
83	57	fvmpt2 6957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
84	80, 82, 83	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
85	84	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
86	79, 85	sseqtrrd 3984	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓))
87	64	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
88		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓))
89	88	sselda 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑓))
90	84	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
91	89, 90	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
92		sneq 4595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
93	92	oveq1d 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
94	93	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓 ↔ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓))
95	94	elrab 3644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓))
96	95	simprbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
97	91, 96	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
98	97	ralrimiva 3142	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℎ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
99	68	rnmptss 7067	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℎ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ⊆ 𝑓)
100	98, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ⊆ 𝑓)
101	87, 100	eqsstrd 3981	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓)
102	86, 101	impbida 799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓 ↔ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)))
103	30	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ V
104		nsgmgc.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (toInc‘𝑇)
105		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
106	104, 105	ipole 18420	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓))
107	103, 31, 80, 106	mp3an2ani 1468	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓))
108		fvex 6853	. . . . . . 7 ⊢ (SubGrp‘𝐺) ∈ V
109	19, 108	rabex2 5290	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
110	58	ffvelcdmda 7032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝑆)
111	110	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝑆)
112		nsgmgc.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (toInc‘𝑆)
113		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
114	112, 113	ipole 18420	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ ℎ ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑓) ∈ 𝑆) → (ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓) ↔ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)))
115	109, 18, 111, 114	mp3an2ani 1468	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓) ↔ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)))
116	102, 107, 115	3bitr4d 310	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))
117	116	anasss 467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))
118	117	ralrimivva 3196	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))
119	112	ipobas 18417	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘𝑉))
120	109, 119	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑉)
121	104	ipobas 18417	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘𝑊))
122	103, 121	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 = (Base‘𝑊)
123		nsgmgc.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑉MGalConn𝑊)
124	112	ipopos 18422	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ Poset
125		posprs 18202	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Poset → 𝑉 ∈ Proset )
126	124, 125	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Proset )
127	104	ipopos 18422	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ Poset
128		posprs 18202	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Poset → 𝑊 ∈ Proset )
129	127, 128	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Proset )
130	120, 122, 113, 105, 123, 126, 129	mgcval 31742	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸𝐽𝐹 ↔ ((𝐸:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐹:𝑇⟶𝑆) ∧ ∀ℎ ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))))
131	59, 118, 130	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸𝐽𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3063  {crab 3406  Vcvv 3444   ⊆ wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  ran crn 5633   “ cima 5635   Fn wfn 6489  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7354  [cec 8643  Basecbs 17080  lecple 17137   /_s cqus 17384   Proset cproset 18179  Posetcpo 18193  toInccipo 18413  SubGrpcsubg 18918  NrmSGrpcnsg 18919   ~_QG cqg 18920   GrpHom cghm 19001  LSSumclsm 19412  MGalConncmgc 31734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-tpos 8154  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-sup 9375  df-inf 9376  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-fz 13422  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-ip 17148  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ocomp 17151  df-ds 17152  df-0g 17320  df-imas 17387  df-qus 17388  df-proset 18181  df-poset 18199  df-ipo 18414  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-submnd 18599  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-subg 18921  df-nsg 18922  df-eqg 18923  df-ghm 19002  df-oppg 19120  df-lsm 19414  df-mgc 31736

This theorem is referenced by:  nsgqusf1o  32089