Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgmgc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgmgc 32190
Description: There is a monotone Galois connection between the lattice of subgroups of a group 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the lattice of subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This is sometimes called the lattice theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgmgc.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgc.s 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
nsgmgc.t 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgmgc.j 𝐽 = (𝑉MGalConn𝑊)
nsgmgc.v 𝑉 = (toInc‘𝑆)
nsgmgc.w 𝑊 = (toInc‘𝑇)
nsgmgc.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgc.p = (LSSum‘𝐺)
nsgmgc.e 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
nsgmgc.f 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgmgc.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
nsgmgc (𝜑𝐸𝐽𝐹)
Distinct variable groups:   ,𝑎,,𝑥   𝐵,𝑎,,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑓,𝐹,,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑁,𝑎,,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑓,𝑉,   𝑓,𝑊,   𝜑,𝑎,𝑓,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   (𝑓)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑥,𝑓,,𝑎)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑎)   𝑊(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem nsgmgc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . . 5 𝜑
2 vex 3449 . . . . . . . 8 ∈ V
32mptex 7173 . . . . . . 7 (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V
43rnex 7849 . . . . . 6 ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑆) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V)
6 nsgmgc.e . . . . 5 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
71, 5, 6fnmptd 6642 . . . 4 (𝜑𝐸 Fn 𝑆)
8 nsgmgc.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
9 nsgmgc.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
10 nsgmgc.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
11 mpteq1 5198 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑘 → (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝑥𝑘 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
1211rneqd 5893 . . . . . . . . . 10 ( = 𝑘 → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = ran (𝑥𝑘 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
1312cbvmptv 5218 . . . . . . . . 9 (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))) = (𝑘𝑆 ↦ ran (𝑥𝑘 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
146, 13eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑘𝑆 ↦ ran (𝑥𝑘 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
15 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
16 nsgmgc.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
18 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆) → 𝑆)
19 nsgmgc.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
2019ssrab3 4040 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
228, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 21qusima 32187 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆) → (𝐸) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ))
238, 9, 15qusghm 19045 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
2417, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆) → (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
2520a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
2625sselda 3944 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆) → ∈ (SubGrp‘𝐺))
27 ghmima 19029 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄) ∧ ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
2824, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆) → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
2922, 28eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑆) → (𝐸) ∈ (SubGrp‘𝑄))
30 nsgmgc.t . . . . . 6 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
3129, 30eleqtrrdi 2849 . . . . 5 ((𝜑𝑆) → (𝐸) ∈ 𝑇)
3231ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑆 (𝐸) ∈ 𝑇)
33 ffnfv 7066 . . . 4 (𝐸:𝑆𝑇 ↔ (𝐸 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑆 (𝐸) ∈ 𝑇))
347, 32, 33sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝐸:𝑆𝑇)
35 sseq2 3970 . . . . . 6 ( = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} → (𝑁𝑁 ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓}))
3616adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
37 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑓𝑇)
3837, 30eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
398, 9, 10, 36, 38nsgmgclem 32189 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑇) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
40 nsgsubg 18960 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4116, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
428subgss 18929 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝐵)
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝐵)
4443adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁𝐵)
4541ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
46 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑎𝑁)
4710grplsmid 32185 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) = 𝑁)
4845, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) = 𝑁)
4916ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5038adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
519nsgqus0 32188 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝑓)
5249, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → 𝑁𝑓)
5348, 52eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝑇) ∧ 𝑎𝑁) → ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓)
5444, 53ssrabdv 4031 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑇) → 𝑁 ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
5535, 39, 54elrabd 3647 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝑇) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁})
5655, 19eleqtrrdi 2849 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑇) → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ 𝑆)
57 nsgmgc.f . . . 4 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
5856, 57fmptd 7062 . . 3 (𝜑𝐹:𝑇𝑆)
5934, 58jca 512 . 2 (𝜑 → (𝐸:𝑆𝑇𝐹:𝑇𝑆))
608subgss 18929 . . . . . . . . . 10 ( ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐵)
6126, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆) → 𝐵)
6261ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) → 𝐵)
636fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∧ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V) → (𝐸) = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
6418, 4, 63sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆) → (𝐸) = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
6564ad5ant12 754 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → (𝐸) = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
66 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → (𝐸) ⊆ 𝑓)
6765, 66eqsstrrd 3983 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ⊆ 𝑓)
68 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁))
69 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → 𝑎)
70 sneq 4596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → {𝑥} = {𝑎})
7170oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑎 → ({𝑥} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁))
7271eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑎 → (({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁) ↔ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁)))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁) ↔ ({𝑎} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁)))
74 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑎} 𝑁))
7569, 73, 74rspcedvd 3583 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ∃𝑥 ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
76 ovexd 7392 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ V)
7768, 75, 76elrnmptd 5916 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
7867, 77sseldd 3945 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎) → ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓)
7962, 78ssrabdv 4031 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) → ⊆ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
80 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑓𝑇)
818fvexi 6856 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
8281rabex 5289 . . . . . . . . 9 {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V
8357fvmpt2 6959 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑇 ∧ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V) → (𝐹𝑓) = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
8480, 82, 83sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐹𝑓) = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
8584adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) → (𝐹𝑓) = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
8679, 85sseqtrrd 3985 . . . . . 6 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ (𝐸) ⊆ 𝑓) → ⊆ (𝐹𝑓))
8764ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) → (𝐸) = ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
88 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) → ⊆ (𝐹𝑓))
8988sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) ∧ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑓))
9084ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) ∧ 𝑥) → (𝐹𝑓) = {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
9189, 90eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) ∧ 𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
92 sneq 4596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
9392oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
9493eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓 ↔ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓))
9594elrab 3645 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓))
9695simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓} → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓)
9791, 96syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) ∧ 𝑥) → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓)
9897ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) → ∀𝑥 ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓)
9968rnmptss 7070 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝑓 → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ⊆ 𝑓)
10098, 99syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ⊆ 𝑓)
10187, 100eqsstrd 3982 . . . . . 6 ((((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) ∧ ⊆ (𝐹𝑓)) → (𝐸) ⊆ 𝑓)
10286, 101impbida 799 . . . . 5 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝐸) ⊆ 𝑓 ⊆ (𝐹𝑓)))
10330fvexi 6856 . . . . . 6 𝑇 ∈ V
104 nsgmgc.w . . . . . . 7 𝑊 = (toInc‘𝑇)
105 eqid 2736 . . . . . . 7 (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
106104, 105ipole 18423 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ (𝐸) ∈ 𝑇𝑓𝑇) → ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓 ↔ (𝐸) ⊆ 𝑓))
107103, 31, 80, 106mp3an2ani 1468 . . . . 5 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓 ↔ (𝐸) ⊆ 𝑓))
108 fvex 6855 . . . . . . 7 (SubGrp‘𝐺) ∈ V
10919, 108rabex2 5291 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
11058ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝐹𝑓) ∈ 𝑆)
111110adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐹𝑓) ∈ 𝑆)
112 nsgmgc.v . . . . . . 7 𝑉 = (toInc‘𝑆)
113 eqid 2736 . . . . . . 7 (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
114112, 113ipole 18423 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑆 ∧ (𝐹𝑓) ∈ 𝑆) → ((le‘𝑉)(𝐹𝑓) ↔ ⊆ (𝐹𝑓)))
115109, 18, 111, 114mp3an2ani 1468 . . . . 5 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → ((le‘𝑉)(𝐹𝑓) ↔ ⊆ (𝐹𝑓)))
116102, 107, 1153bitr4d 310 . . . 4 (((𝜑𝑆) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓(le‘𝑉)(𝐹𝑓)))
117116anasss 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑓𝑇)) → ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓(le‘𝑉)(𝐹𝑓)))
118117ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑆𝑓𝑇 ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓(le‘𝑉)(𝐹𝑓)))
119112ipobas 18420 . . . 4 (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘𝑉))
120109, 119ax-mp 5 . . 3 𝑆 = (Base‘𝑉)
121104ipobas 18420 . . . 4 (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘𝑊))
122103, 121ax-mp 5 . . 3 𝑇 = (Base‘𝑊)
123 nsgmgc.j . . 3 𝐽 = (𝑉MGalConn𝑊)
124112ipopos 18425 . . . 4 𝑉 ∈ Poset
125 posprs 18205 . . . 4 (𝑉 ∈ Poset → 𝑉 ∈ Proset )
126124, 125mp1i 13 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ Proset )
127104ipopos 18425 . . . 4 𝑊 ∈ Poset
128 posprs 18205 . . . 4 (𝑊 ∈ Poset → 𝑊 ∈ Proset )
129127, 128mp1i 13 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Proset )
130120, 122, 113, 105, 123, 126, 129mgcval 31847 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐽𝐹 ↔ ((𝐸:𝑆𝑇𝐹:𝑇𝑆) ∧ ∀𝑆𝑓𝑇 ((𝐸)(le‘𝑊)𝑓(le‘𝑉)(𝐹𝑓)))))
13159, 118, 130mpbir2and 711 1 (𝜑𝐸𝐽𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  [cec 8646  Basecbs 17083  lecple 17140   /s cqus 17387   Proset cproset 18182  Posetcpo 18196  toInccipo 18416  SubGrpcsubg 18922  NrmSGrpcnsg 18923   ~QG cqg 18924   GrpHom cghm 19005  LSSumclsm 19416  MGalConncmgc 31839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ocomp 17154  df-ds 17155  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-proset 18184  df-poset 18202  df-ipo 18417  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-oppg 19124  df-lsm 19418  df-mgc 31841
This theorem is referenced by:  nsgqusf1o  32194
  Copyright terms: Public domain W3C validator