Theorem nsgmgc 32190

Description: There is a monotone Galois connection between the lattice of subgroups of a group 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the lattice of subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This is sometimes called the lattice theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgmgc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgc.s	⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
nsgmgc.t	⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgmgc.j	⊢ 𝐽 = (𝑉MGalConn𝑊)
nsgmgc.v	⊢ 𝑉 = (toInc‘𝑆)
nsgmgc.w	⊢ 𝑊 = (toInc‘𝑇)
nsgmgc.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgc.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgmgc.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
nsgmgc.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgmgc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nsgmgc	⊢ (𝜑 → 𝐸𝐽𝐹)

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎,ℎ,𝑥   𝐵,𝑎,ℎ,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝐹,ℎ,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑁,𝑎,ℎ,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝑉,ℎ   𝑓,𝑊,ℎ   𝜑,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   ⊕ (𝑓)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑥,𝑓,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑎)   𝑊(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem nsgmgc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝜑
2		vex 3449	. . . . . . . 8 ⊢ ℎ ∈ V
3	2	mptex 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
4	3	rnex 7849	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V)
6		nsgmgc.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
7	1, 5, 6	fnmptd 6642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑆)
8		nsgmgc.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		nsgmgc.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
10		nsgmgc.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
11		mpteq1 5198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
12	11	rneqd 5893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
13	12	cbvmptv 5218	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁))) = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
14	6, 13	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑘 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
16		nsgmgc.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
18		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ℎ ∈ 𝑆)
19		nsgmgc.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
20	19	ssrab3 4040	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
22	8, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 21	qusima 32187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ℎ))
23	8, 9, 15	qusghm 19045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
24	17, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
25	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
26	25	sselda 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺))
27		ghmima 19029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄) ∧ ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ℎ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
28	24, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) “ ℎ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
29	22, 28	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) ∈ (SubGrp‘𝑄))
30		nsgmgc.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
31	29, 30	eleqtrrdi 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇)
32	31	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑆 (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇)
33		ffnfv 7066	. . . 4 ⊢ (𝐸:𝑆⟶𝑇 ↔ (𝐸 Fn 𝑆 ∧ ∀ℎ ∈ 𝑆 (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇))
34	7, 32, 33	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆⟶𝑇)
35		sseq2 3970	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} → (𝑁 ⊆ ℎ ↔ 𝑁 ⊆ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓}))
36	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
37		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝑇)
38	37, 30	eleqtrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
39	8, 9, 10, 36, 38	nsgmgclem 32189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrp‘𝐺))
40		nsgsubg 18960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
41	16, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
42	8	subgss 18929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ 𝐵)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐵)
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑁 ⊆ 𝐵)
45	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
46		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
47	10	grplsmid 32185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
48	45, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
49	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
50	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄))
51	9	nsgqus0 32188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝑓)
52	49, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ 𝑓)
53	48, 52	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
54	44, 53	ssrabdv 4031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑁 ⊆ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
55	35, 39, 54	elrabd 3647	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ})
56	55, 19	eleqtrrdi 2849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ 𝑆)
57		nsgmgc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
58	56, 57	fmptd 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶𝑆)
59	34, 58	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐹:𝑇⟶𝑆))
60	8	subgss 18929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) → ℎ ⊆ 𝐵)
61	26, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ℎ ⊆ 𝐵)
62	61	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → ℎ ⊆ 𝐵)
63	6	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ ∈ 𝑆 ∧ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
64	18, 4, 63	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
65	64	ad5ant12 754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
66		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓)
67	65, 66	eqsstrrd 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ⊆ 𝑓)
68		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁))
69		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → 𝑎 ∈ ℎ)
70		sneq 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → {𝑥} = {𝑎})
71	70	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ({𝑥} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁))
72	71	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁) ↔ ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁)))
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁) ↔ ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁)))
74		eqidd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑎} ⊕ 𝑁))
75	69, 73, 74	rspcedvd 3583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ∃𝑥 ∈ ℎ ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
76		ovexd 7392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ V)
77	68, 75, 76	elrnmptd 5916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
78	67, 77	sseldd 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) ∧ 𝑎 ∈ ℎ) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
79	62, 78	ssrabdv 4031	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → ℎ ⊆ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
80		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝑇)
81	8	fvexi 6856	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
82	81	rabex 5289	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V
83	57	fvmpt2 6959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
84	80, 82, 83	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
85	84	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
86	79, 85	sseqtrrd 3985	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓) → ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓))
87	64	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → (𝐸‘ℎ) = ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
88		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓))
89	88	sselda 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑓))
90	84	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → (𝐹‘𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
91	89, 90	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
92		sneq 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
93	92	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
94	93	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓 ↔ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓))
95	94	elrab 3645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓))
96	95	simprbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓} → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
97	91, 96	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℎ) → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
98	97	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℎ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓)
99	68	rnmptss 7070	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℎ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ⊆ 𝑓)
100	98, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ⊆ 𝑓)
101	87, 100	eqsstrd 3982	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)) → (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓)
102	86, 101	impbida 799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓 ↔ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)))
103	30	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ V
104		nsgmgc.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (toInc‘𝑇)
105		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
106	104, 105	ipole 18423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ (𝐸‘ℎ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓))
107	103, 31, 80, 106	mp3an2ani 1468	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ (𝐸‘ℎ) ⊆ 𝑓))
108		fvex 6855	. . . . . . 7 ⊢ (SubGrp‘𝐺) ∈ V
109	19, 108	rabex2 5291	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
110	58	ffvelcdmda 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝑆)
111	110	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝑆)
112		nsgmgc.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (toInc‘𝑆)
113		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
114	112, 113	ipole 18423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ ℎ ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑓) ∈ 𝑆) → (ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓) ↔ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)))
115	109, 18, 111, 114	mp3an2ani 1468	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓) ↔ ℎ ⊆ (𝐹‘𝑓)))
116	102, 107, 115	3bitr4d 310	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))
117	116	anasss 467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))
118	117	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))
119	112	ipobas 18420	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘𝑉))
120	109, 119	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑉)
121	104	ipobas 18420	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘𝑊))
122	103, 121	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 = (Base‘𝑊)
123		nsgmgc.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑉MGalConn𝑊)
124	112	ipopos 18425	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ Poset
125		posprs 18205	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Poset → 𝑉 ∈ Proset )
126	124, 125	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Proset )
127	104	ipopos 18425	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ Poset
128		posprs 18205	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Poset → 𝑊 ∈ Proset )
129	127, 128	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Proset )
130	120, 122, 113, 105, 123, 126, 129	mgcval 31847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸𝐽𝐹 ↔ ((𝐸:𝑆⟶𝑇 ∧ 𝐹:𝑇⟶𝑆) ∧ ∀ℎ ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ 𝑇 ((𝐸‘ℎ)(le‘𝑊)𝑓 ↔ ℎ(le‘𝑉)(𝐹‘𝑓)))))
131	59, 118, 130	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸𝐽𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  [cec 8646  Basecbs 17083  lecple 17140   /_s cqus 17387   Proset cproset 18182  Posetcpo 18196  toInccipo 18416  SubGrpcsubg 18922  NrmSGrpcnsg 18923   ~_QG cqg 18924   GrpHom cghm 19005  LSSumclsm 19416  MGalConncmgc 31839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ocomp 17154  df-ds 17155  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-proset 18184  df-poset 18202  df-ipo 18417  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-oppg 19124  df-lsm 19418  df-mgc 31841

This theorem is referenced by:  nsgqusf1o  32194