Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgmgc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgmgc 32963
Description: There is a monotone Galois connection between the lattice of subgroups of a group 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the lattice of subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This is sometimes called the lattice theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgmgc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
nsgmgc.s 𝑆 = {β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 βŠ† β„Ž}
nsgmgc.t 𝑇 = (SubGrpβ€˜π‘„)
nsgmgc.j 𝐽 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
nsgmgc.v 𝑉 = (toIncβ€˜π‘†)
nsgmgc.w π‘Š = (toIncβ€˜π‘‡)
nsgmgc.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgc.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
nsgmgc.e 𝐸 = (β„Ž ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
nsgmgc.f 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgmgc.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
nsgmgc (πœ‘ β†’ 𝐸𝐽𝐹)
Distinct variable groups:   βŠ• ,π‘Ž,β„Ž,π‘₯   𝐡,π‘Ž,β„Ž,π‘₯   𝐸,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑓,𝐹,β„Ž,π‘₯   𝐺,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑁,π‘Ž,β„Ž,π‘₯   𝑄,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑇,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑓,𝑉,β„Ž   𝑓,π‘Š,β„Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓)   βŠ• (𝑓)   𝐹(π‘Ž)   𝐽(π‘₯,𝑓,β„Ž,π‘Ž)   𝑁(𝑓)   𝑉(π‘₯,π‘Ž)   π‘Š(π‘₯,π‘Ž)

Proof of Theorem nsgmgc
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . . . . 5 β„²β„Žπœ‘
2 vex 3477 . . . . . . . 8 β„Ž ∈ V
32mptex 7227 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V
43rnex 7907 . . . . . 6 ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V)
6 nsgmgc.e . . . . 5 𝐸 = (β„Ž ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
71, 5, 6fnmptd 6691 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn 𝑆)
8 nsgmgc.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
9 nsgmgc.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
10 nsgmgc.p . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
11 mpteq1 5241 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) = (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
1211rneqd 5937 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = π‘˜ β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) = ran (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
1312cbvmptv 5261 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁))) = (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
146, 13eqtri 2759 . . . . . . . 8 𝐸 = (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
15 eqid 2731 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁))
16 nsgmgc.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
18 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ β„Ž ∈ 𝑆)
19 nsgmgc.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 βŠ† β„Ž}
2019ssrab3 4080 . . . . . . . . 9 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
228, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 21qusima 32959 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) β€œ β„Ž))
238, 9, 15qusghm 19176 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
2417, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄))
2520a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
2625sselda 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
27 ghmima 19158 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝑄) ∧ β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) β€œ β„Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π‘„))
2824, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ [π‘₯](𝐺 ~QG 𝑁)) β€œ β„Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π‘„))
2922, 28eqeltrd 2832 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) ∈ (SubGrpβ€˜π‘„))
30 nsgmgc.t . . . . . 6 𝑇 = (SubGrpβ€˜π‘„)
3129, 30eleqtrrdi 2843 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) ∈ 𝑇)
3231ralrimiva 3145 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ 𝑆 (πΈβ€˜β„Ž) ∈ 𝑇)
33 ffnfv 7120 . . . 4 (𝐸:π‘†βŸΆπ‘‡ ↔ (𝐸 Fn 𝑆 ∧ βˆ€β„Ž ∈ 𝑆 (πΈβ€˜β„Ž) ∈ 𝑇))
347, 32, 33sylanbrc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘†βŸΆπ‘‡)
35 sseq2 4008 . . . . . 6 (β„Ž = {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} β†’ (𝑁 βŠ† β„Ž ↔ 𝑁 βŠ† {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓}))
3616adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
37 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
3837, 30eleqtrdi 2842 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ (SubGrpβ€˜π‘„))
398, 9, 10, 36, 38nsgmgclem 32962 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
40 nsgsubg 19081 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑁 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4116, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
428subgss 19050 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑁 βŠ† 𝐡)
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† 𝐡)
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 βŠ† 𝐡)
4541ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
46 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ π‘Ž ∈ 𝑁)
4710grplsmid 32954 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = 𝑁)
4845, 46, 47syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = 𝑁)
4916ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
5038adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ 𝑓 ∈ (SubGrpβ€˜π‘„))
519nsgqus0 32961 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑓 ∈ (SubGrpβ€˜π‘„)) β†’ 𝑁 ∈ 𝑓)
5249, 50, 51syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ 𝑓)
5348, 52eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ π‘Ž ∈ 𝑁) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓)
5444, 53ssrabdv 4071 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 βŠ† {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
5535, 39, 54elrabd 3685 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ {β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 βŠ† β„Ž})
5655, 19eleqtrrdi 2843 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ 𝑆)
57 nsgmgc.f . . . 4 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
5856, 57fmptd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆπ‘†)
5934, 58jca 511 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸:π‘†βŸΆπ‘‡ ∧ 𝐹:π‘‡βŸΆπ‘†))
608subgss 19050 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ β„Ž βŠ† 𝐡)
6126, 60syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ β„Ž βŠ† 𝐡)
6261ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) β†’ β„Ž βŠ† 𝐡)
636fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . 12 ((β„Ž ∈ 𝑆 ∧ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) = ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
6418, 4, 63sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) = ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
6564ad5ant12 753 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) = ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
66 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓)
6765, 66eqsstrrd 4021 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) βŠ† 𝑓)
68 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁))
69 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ π‘Ž ∈ β„Ž)
70 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘Ž β†’ {π‘₯} = {π‘Ž})
7170oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ({π‘₯} βŠ• 𝑁) = ({π‘Ž} βŠ• 𝑁))
7271eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ↔ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘Ž} βŠ• 𝑁)))
7372adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) ∧ π‘₯ = π‘Ž) β†’ (({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ↔ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘Ž} βŠ• 𝑁)))
74 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘Ž} βŠ• 𝑁))
7569, 73, 74rspcedvd 3614 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„Ž ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘₯} βŠ• 𝑁))
76 ovexd 7447 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ V)
7768, 75, 76elrnmptd 5960 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
7867, 77sseldd 3983 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) ∧ π‘Ž ∈ β„Ž) β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓)
7962, 78ssrabdv 4071 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) β†’ β„Ž βŠ† {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
80 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
818fvexi 6905 . . . . . . . . . 10 𝐡 ∈ V
8281rabex 5332 . . . . . . . . 9 {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V
8357fvmpt2 7009 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘“) = {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
8480, 82, 83sylancl 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘“) = {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
8584adantr 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) β†’ (πΉβ€˜π‘“) = {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
8679, 85sseqtrrd 4023 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓) β†’ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“))
8764ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) = ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
88 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) β†’ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“))
8988sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ β„Ž) β†’ π‘₯ ∈ (πΉβ€˜π‘“))
9084ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ β„Ž) β†’ (πΉβ€˜π‘“) = {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
9189, 90eleqtrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ β„Ž) β†’ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
92 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘₯ β†’ {π‘Ž} = {π‘₯})
9392oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) = ({π‘₯} βŠ• 𝑁))
9493eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓 ↔ ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓))
9594elrab 3683 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓))
9695simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓} β†’ ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓)
9791, 96syl 17 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) ∧ π‘₯ ∈ β„Ž) β†’ ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓)
9897ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„Ž ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓)
9968rnmptss 7124 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ β„Ž ({π‘₯} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓 β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) βŠ† 𝑓)
10098, 99syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) βŠ† 𝑓)
10187, 100eqsstrd 4020 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)) β†’ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓)
10286, 101impbida 798 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓 ↔ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)))
10330fvexi 6905 . . . . . 6 𝑇 ∈ V
104 nsgmgc.w . . . . . . 7 π‘Š = (toIncβ€˜π‘‡)
105 eqid 2731 . . . . . . 7 (leβ€˜π‘Š) = (leβ€˜π‘Š)
106104, 105ipole 18497 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ (πΈβ€˜β„Ž) ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓))
107103, 31, 80, 106mp3an2ani 1467 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ (πΈβ€˜β„Ž) βŠ† 𝑓))
108 fvex 6904 . . . . . . 7 (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ V
10919, 108rabex2 5334 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
11058ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘“) ∈ 𝑆)
111110adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘“) ∈ 𝑆)
112 nsgmgc.v . . . . . . 7 𝑉 = (toIncβ€˜π‘†)
113 eqid 2731 . . . . . . 7 (leβ€˜π‘‰) = (leβ€˜π‘‰)
114112, 113ipole 18497 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ V ∧ β„Ž ∈ 𝑆 ∧ (πΉβ€˜π‘“) ∈ 𝑆) β†’ (β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“) ↔ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)))
115109, 18, 111, 114mp3an2ani 1467 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“) ↔ β„Ž βŠ† (πΉβ€˜π‘“)))
116102, 107, 1153bitr4d 311 . . . 4 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“)))
117116anasss 466 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“)))
118117ralrimivva 3199 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“)))
119112ipobas 18494 . . . 4 (𝑆 ∈ V β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‰))
120109, 119ax-mp 5 . . 3 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‰)
121104ipobas 18494 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π‘Š))
122103, 121ax-mp 5 . . 3 𝑇 = (Baseβ€˜π‘Š)
123 nsgmgc.j . . 3 𝐽 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
124112ipopos 18499 . . . 4 𝑉 ∈ Poset
125 posprs 18279 . . . 4 (𝑉 ∈ Poset β†’ 𝑉 ∈ Proset )
126124, 125mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ Proset )
127104ipopos 18499 . . . 4 π‘Š ∈ Poset
128 posprs 18279 . . . 4 (π‘Š ∈ Poset β†’ π‘Š ∈ Proset )
129127, 128mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Proset )
130120, 122, 113, 105, 123, 126, 129mgcval 32590 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸𝐽𝐹 ↔ ((𝐸:π‘†βŸΆπ‘‡ ∧ 𝐹:π‘‡βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€β„Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((πΈβ€˜β„Ž)(leβ€˜π‘Š)𝑓 ↔ β„Ž(leβ€˜π‘‰)(πΉβ€˜π‘“)))))
13159, 118, 130mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐸𝐽𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  [cec 8707  Basecbs 17151  lecple 17211   /s cqus 17458   Proset cproset 18256  Posetcpo 18270  toInccipo 18490  SubGrpcsubg 19043  NrmSGrpcnsg 19044   ~QG cqg 19045   GrpHom cghm 19134  LSSumclsm 19550  MGalConncmgc 32582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ocomp 17225  df-ds 17226  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-proset 18258  df-poset 18276  df-ipo 18491  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-nsg 19047  df-eqg 19048  df-ghm 19135  df-oppg 19258  df-lsm 19552  df-mgc 32584
This theorem is referenced by:  nsgqusf1o  32967
  Copyright terms: Public domain W3C validator