Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nfv 1920 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑟(𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) |
2 | | nfcv 2908 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑟𝐴 |
3 | | nfra2w 3153 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑟∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) |
4 | 2, 3 | nfralw 3151 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑟∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) |
5 | 4 | nfn 1863 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑟 ¬
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) |
6 | 1, 5 | nfan 1905 |
. . . 4
⊢
Ⅎ𝑟((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
7 | | tospos 18119 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset) |
8 | | posprs 18015 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset
) |
9 | | ordtconn.j |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤
) |
10 | | ordtconn.l |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ≤ =
((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) |
11 | | fvex 6781 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(le‘𝐾) ∈
V |
12 | 11 | inex1 5244 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((le‘𝐾) ∩
(𝐵 × 𝐵)) ∈ V |
13 | 10, 12 | eqeltri 2836 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ≤ ∈
V |
14 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ dom ≤ = dom
≤ |
15 | 14 | ordttopon 22325 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ( ≤ ∈ V
→ (ordTop‘ ≤ ) ∈
(TopOn‘dom ≤ )) |
16 | 13, 15 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(ordTop‘ ≤ ) ∈
(TopOn‘dom ≤ ) |
17 | | ordtconn.x |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
18 | 17, 10 | prsdm 31843 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐾 ∈ Proset → dom ≤ = 𝐵) |
19 | 18 | fveq2d 6772 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐾 ∈ Proset →
(TopOn‘dom ≤ ) = (TopOn‘𝐵)) |
20 | 16, 19 | eleqtrid 2846 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ Proset →
(ordTop‘ ≤ ) ∈
(TopOn‘𝐵)) |
21 | 9, 20 | eqeltrid 2844 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ Proset → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) |
22 | 7, 8, 21 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) |
23 | 22 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) |
24 | 23 | adantlr 711 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) |
25 | | simpllr 772 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵) |
26 | 25 | adantlr 711 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵) |
27 | | simpll 763 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Toset) |
28 | 27, 7, 8 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Proset ) |
29 | | snex 5357 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ {𝐵} ∈ V |
30 | 17 | fvexi 6782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 𝐵 ∈ V |
31 | 30 | mptex 7093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∈ V |
32 | 31 | rnex 7746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∈ V |
33 | 30 | mptex 7093 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) ∈ V |
34 | 33 | rnex 7746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) ∈ V |
35 | 32, 34 | unex 7587 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) ∈ V |
36 | 29, 35 | unex 7587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ∈ V |
37 | | ssfii 9139 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ∈ V → ({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ⊆ (fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))))) |
38 | 36, 37 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ⊆ (fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))) |
39 | | fvex 6781 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(fi‘({𝐵} ∪
(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))) ∈ V |
40 | | bastg 22097 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((fi‘({𝐵}
∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))) ∈ V → (fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))) ⊆ (topGen‘(fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))))) |
41 | 39, 40 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(fi‘({𝐵} ∪
(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))) ⊆ (topGen‘(fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))))) |
42 | 38, 41 | sstri 3934 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ⊆ (topGen‘(fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))))) |
43 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) |
44 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) |
45 | 17, 10, 43, 44 | ordtprsval 31847 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐾 ∈ Proset →
(ordTop‘ ≤ ) =
(topGen‘(fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))))) |
46 | 9, 45 | eqtrid 2791 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐾 ∈ Proset → 𝐽 =
(topGen‘(fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))))) |
47 | 42, 46 | sseqtrrid 3978 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐾 ∈ Proset → ({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ⊆ 𝐽) |
48 | 47 | unssbd 4126 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) ⊆ 𝐽) |
49 | 28, 48 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) ⊆ 𝐽) |
50 | 49 | unssbd 4126 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) ⊆ 𝐽) |
51 | | breq2 5082 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑟 ≤ 𝑧 ↔ 𝑟 ≤ 𝑦)) |
52 | 51 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦)) |
53 | 52 | cbvrabv 3424 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦} |
54 | | breq1 5081 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑟 ≤ 𝑦)) |
55 | 54 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑟 → (¬ 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦)) |
56 | 55 | rabbidv 3412 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑟 → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦}) |
57 | 56 | rspceeqv 3575 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) |
58 | 53, 57 | mpan2 687 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) |
59 | 30 | rabex 5259 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ V |
60 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) |
61 | 60 | elrnmpt 5862 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ V → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) |
62 | 59, 61 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) |
63 | 58, 62 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) |
64 | 63 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) |
65 | 50, 64 | sseldd 3926 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ 𝐽) |
66 | 65 | ad2antrr 722 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ 𝐽) |
67 | 49 | unssad 4125 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ⊆ 𝐽) |
68 | | breq1 5081 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ≤ 𝑟 ↔ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
69 | 68 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (¬ 𝑧 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
70 | 69 | cbvrabv 3424 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟} |
71 | | breq2 5082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
72 | 71 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑟 → (¬ 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
73 | 72 | rabbidv 3412 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑟 → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟}) |
74 | 73 | rspceeqv 3575 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟}) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) |
75 | 70, 74 | mpan2 687 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) |
76 | 30 | rabex 5259 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ V |
77 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) |
78 | 77 | elrnmpt 5862 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ V → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})) |
79 | 76, 78 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) |
80 | 75, 79 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})) |
81 | 80 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})) |
82 | 67, 81 | sseldd 3926 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ 𝐽) |
83 | 82 | ad2antrr 722 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ 𝐽) |
84 | | simpll 763 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) |
85 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) |
86 | 84, 85 | jca 511 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
87 | | simplrl 773 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) |
88 | | ssel 3918 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)) |
89 | 88 | ancrd 551 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))) |
90 | 89 | anim1d 610 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥))) |
91 | 90 | impl 455 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
92 | | elin 3907 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) |
93 | | breq2 5082 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑟 ≤ 𝑧 ↔ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
94 | 93 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
95 | 94 | elrab 3625 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
96 | 95 | anbi1i 623 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) |
97 | | an32 642 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
98 | 92, 96, 97 | 3bitri 296 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
99 | 91, 98 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴)) |
100 | 99 | ne0d 4274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
101 | 25, 100 | sylanl1 676 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
102 | 101 | r19.29an 3218 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
103 | 86, 87, 102 | syl2anc 583 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
104 | | simplrr 774 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) |
105 | | ssel 3918 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐵)) |
106 | 105 | ancrd 551 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))) |
107 | 106 | anim1d 610 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟))) |
108 | 107 | impl 455 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
109 | | elin 3907 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) |
110 | 69 | elrab 3625 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
111 | 110 | anbi1i 623 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) |
112 | | an32 642 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
113 | 109, 111,
112 | 3bitri 296 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
114 | 108, 113 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → 𝑦 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴)) |
115 | 114 | ne0d 4274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
116 | 25, 115 | sylanl1 676 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
117 | 116 | r19.29an 3218 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
118 | 86, 104, 117 | syl2anc 583 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
119 | 17, 10 | trleile 31228 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑟 ≤ 𝑧 ∨ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
120 | | oran 986 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑟 ≤ 𝑧 ∨ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ ¬ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
121 | 119, 120 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ¬ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
122 | 121 | 3expa 1116 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ¬ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
123 | 122 | nrexdv 3199 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
124 | | rabid 3308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧)) |
125 | | rabid 3308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
126 | 124, 125 | anbi12i 626 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
127 | | elin 3907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
128 | | anandi 672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
129 | 126, 127,
128 | 3bitr4i 302 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
130 | 129 | exbii 1853 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
131 | | nfrab1 3315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} |
132 | | nfrab1 3315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} |
133 | 131, 132 | nfin 4155 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑧({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) |
134 | 133 | n0f 4281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
135 | | df-rex 3071 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∃𝑧 ∈
𝐵 (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
136 | 130, 134,
135 | 3bitr4i 302 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
137 | 136 | necon1bbii 2994 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
∃𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = ∅) |
138 | 123, 137 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = ∅) |
139 | 138 | adantlr 711 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = ∅) |
140 | 139 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = ∅) |
141 | 140 | ineq1d 4150 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴)) |
142 | | 0in 4332 |
. . . . . . . . 9
⊢ (∅
∩ 𝐴) =
∅ |
143 | 141, 142 | eqtrdi 2795 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ∩ 𝐴) = ∅) |
144 | 143 | adantlr 711 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ∩ 𝐴) = ∅) |
145 | | simplr 765 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵) |
146 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) |
147 | | vex 3434 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑟 ∈ V |
148 | 147 | snss 4724 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 ↔ {𝑟} ⊆ 𝐵) |
149 | | eldif 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
150 | 147 | snss 4724 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ {𝑟} ⊆ (𝐵 ∖ 𝐴)) |
151 | 149, 150 | bitr3i 276 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ {𝑟} ⊆ (𝐵 ∖ 𝐴)) |
152 | | ssconb 4076 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (({𝑟} ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ({𝑟} ⊆ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
153 | 151, 152 | syl5bb 282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (({𝑟} ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
154 | 148, 153 | sylanb 580 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
155 | 154 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
156 | 155 | anass1rs 651 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
157 | 156 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
158 | 145, 146,
157 | mpbi2and 708 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟})) |
159 | 7 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset) |
160 | | nfv 1920 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑧(𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) |
161 | 131, 132 | nfun 4103 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑧({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) |
162 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑧(𝐵 ∖ {𝑟}) |
163 | | ianor 978 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (¬
(𝑟 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
164 | 17, 10 | posrasymb 31222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑟 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ 𝑟 = 𝑧)) |
165 | | equcom 2024 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑟 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑟) |
166 | 164, 165 | bitrdi 286 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑟 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ 𝑧 = 𝑟)) |
167 | 166 | necon3bbid 2982 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑟 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ 𝑧 ≠ 𝑟)) |
168 | 163, 167 | bitr3id 284 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ 𝑧 ≠ 𝑟)) |
169 | 168 | 3expia 1119 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ((¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ 𝑧 ≠ 𝑟))) |
170 | 169 | pm5.32d 576 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 𝑟))) |
171 | 124, 125 | orbi12i 911 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∨ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧) ∨ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
172 | | elun 4087 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∨ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
173 | | andi 1004 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧) ∨ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
174 | 171, 172,
173 | 3bitr4ri 303 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) ↔ 𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
175 | | eldifsn 4725 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ {𝑟}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 𝑟)) |
176 | 175 | bicomi 223 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 𝑟) ↔ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ {𝑟})) |
177 | 170, 174,
176 | 3bitr3g 312 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
178 | 160, 161,
162, 177 | eqrd 3944 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = (𝐵 ∖ {𝑟})) |
179 | 159, 145,
178 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = (𝐵 ∖ {𝑟})) |
180 | 158, 179 | sseqtrrd 3966 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
181 | 180 | adantlr 711 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
182 | 24, 26, 66, 83, 103, 118, 144, 181 | nconnsubb 22555 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn) |
183 | 182 | anasss 466 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn) |
184 | 183 | adantllr 715 |
. . . 4
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn) |
185 | | rexanali 3193 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
186 | 185 | rexbii 3179 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
187 | | rexcom 3283 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
188 | | rexnal 3167 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐴 ¬ ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
189 | 186, 187,
188 | 3bitr3i 300 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
190 | 189 | rexbii 3179 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
191 | | rexcom 3283 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
192 | | rexnal 3167 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
193 | 190, 191,
192 | 3bitr3i 300 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
194 | | r19.41v 3275 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
195 | 194 | rexbii 3179 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
196 | | r19.41v 3275 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
197 | | reeanv 3294 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦)) |
198 | 197 | anbi1i 623 |
. . . . . . . . 9
⊢
((∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
199 | 195, 196,
198 | 3bitri 296 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
200 | 199 | rexbii 3179 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
201 | 193, 200 | bitr3i 276 |
. . . . . 6
⊢ (¬
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
202 | 27 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Toset) |
203 | 25 | sselda 3925 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
204 | | simpllr 772 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵) |
205 | 17, 10 | trleile 31228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑟 ∨ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
206 | 202, 203,
204, 205 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑟 ∨ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
207 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
208 | | simplr 765 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) |
209 | | nelne2 3043 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑟) |
210 | 207, 208,
209 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑟) |
211 | 159 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset) |
212 | 17, 10 | posrasymb 31222 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑟)) |
213 | 212 | necon3bbid 2982 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 ≠ 𝑟)) |
214 | 211, 203,
204, 213 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 ≠ 𝑟)) |
215 | 210, 214 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
216 | 206, 215 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑟 ∨ 𝑟 ≤ 𝑥) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))) |
217 | | pm5.17 1008 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑥 ≤ 𝑟 ∨ 𝑟 ≤ 𝑥) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
218 | 216, 217 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
219 | 218 | rexbidva 3226 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
220 | 27 | ad2antrr 722 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Toset) |
221 | | simpllr 772 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵) |
222 | 25 | sselda 3925 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) |
223 | 17, 10 | trleile 31228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑟 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
224 | 220, 221,
222, 223 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑟 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
225 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
226 | | simplr 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) |
227 | | nelne2 3043 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝑟) |
228 | 225, 226,
227 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝑟) |
229 | 228 | necomd 3000 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝑦) |
230 | 159 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset) |
231 | 17, 10 | posrasymb 31222 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟) ↔ 𝑟 = 𝑦)) |
232 | 231 | necon3bbid 2982 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟) ↔ 𝑟 ≠ 𝑦)) |
233 | 230, 221,
222, 232 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟) ↔ 𝑟 ≠ 𝑦)) |
234 | 229, 233 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
235 | 224, 234 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑟 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ (𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟))) |
236 | | pm5.17 1008 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑟 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ (𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟)) ↔ (𝑟 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
237 | 235, 236 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑟 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
238 | 237 | rexbidva 3226 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
239 | 219, 238 | anbi12d 630 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟))) |
240 | 239 | ex 412 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑟 ∈ 𝐴 → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)))) |
241 | 240 | pm5.32rd 577 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴))) |
242 | 241 | rexbidva 3226 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴))) |
243 | 201, 242 | syl5bb 282 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴))) |
244 | 243 | biimpa 476 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
245 | 6, 184, 244 | r19.29af 3261 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn) |
246 | 245 | ex 412 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)) |
247 | 246 | con4d 115 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴))) |