Theorem ordtrest2NEWlem 34432

Description: Lemma for ordtrest2NEW 34433. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtNEW.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ordtNEW.l	⊢ ≤ = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
ordtrest2NEW.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Toset)
ordtrest2NEW.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
ordtrest2NEW.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2NEWlem	⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, ≤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑣,𝑤,𝑧   𝑣, ≤   𝑥,𝑤,𝑧,𝑦, ≤   𝑣,𝐴,𝑤,𝑧   𝑣,𝐵,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤, 𝑣)   𝐾(𝑧, 𝑤, 𝑣)

Proof of Theorem ordtrest2NEWlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab2 4263	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧}
2		ordtrest2NEW.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		sseqin2 4169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6		rabeq 3426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴 → {𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})
8	1, 7	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})
9		ordtNEW.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
10		fvex 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘𝐾) ∈ V
11	10	inex1 5280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V
12	9, 11	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ ∈ V
13	12	inex1 5280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
15		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))
16	15	ordttopon 23418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
17	14, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
18		ordtrest2NEW.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Toset)
19		tospos 18506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
20		posprs 18404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset )
21	18, 19, 20	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
22		ordtNEW.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
23	22, 9	prsssdm 34427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
24	21, 2, 23	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
25	24	fveq2d 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
26	17, 25	eleqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
27		toponmax 23151	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
30		rabid2 3444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧)
31		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
32	30, 31	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
33	29, 32	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
34		dfrex2 3089	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧)
35		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
36	35	cbvrexvw 3241	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑧)
37	34, 36	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑧)
38		ordttop 23425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
39	14, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
41		0opn 23129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
42	40, 41	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
43	42	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
44		eleq1 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = ∅ → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
45	43, 44	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = ∅ → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
46		rabn0 4339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧)
47		breq1 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑦 ≤ 𝑧))
48	47	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑧))
49	48	cbvrexvw 3241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑧)
50	46, 49	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑧)
51	18	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
52	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
53	52	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
54		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
55	22, 9	trleile 33411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 ≤ 𝑧 ∨ 𝑧 ≤ 𝑦))
56	51, 53, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝑧 ∨ 𝑧 ≤ 𝑦))
57	56	ord 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑧 ≤ 𝑦))
58		an4 669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
59		ordtrest2NEW.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
60		rabss 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
61	59, 60	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
62	61	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
63	62	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
64	63	impr 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
65	58, 64	sylan2b 606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
66		brinxp 5734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
67	66	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
68	67	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
69	68	rabbidva 3418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
70	65, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
71	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
72		rabeq 3426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 → {𝑤 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
73	71, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
74	70, 73	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = {𝑤 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
75	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
76	65, 71	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → 𝑧 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
77	15	ordtopn1 23419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
78	75, 76, 77	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
79	74, 78	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
80	79	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
81	80	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑦 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
82	57, 81	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦 ≤ 𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
83	82	rexlimdva 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
84	50, 83	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ≠ ∅ → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
85	45, 84	pm2.61dne 3041	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
86	85	rexlimdvaa 3164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
87	37, 86	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
88	33, 87	pm2.61d 181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
89	8, 88	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
90	89	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
91		fvex 6891	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
92	22, 91	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
94		rabexg 5302	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ V)
95	93, 94	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ V)
96	95	ralrimivw 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ V)
97		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧}) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})
98		ineq1 4159	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} → (𝑣 ∩ 𝐴) = ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴))
99	98	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑣 = {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} → ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
100	97, 99	ralrnmptw 7087	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
101	96, 100	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
102	90, 101	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653  dom cdm 5655  ran crn 5656  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  lecple 17349  ordTopcordt 17585   Proset cproset 18380  Posetcpo 18395  Tosetctos 18502  Topctop 23118  TopOnctopon 23135

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-ple 17362  df-topgen 17528  df-ordt 17587  df-proset 18382  df-poset 18401  df-toset 18503  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171

This theorem is used by:  ordtrest2NEW  34433