Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrest2NEWlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2NEWlem 30307
Description: Lemma for ordtrest2NEW 30308. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ordtNEW.l = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
ordtrest2NEW.2 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
ordtrest2NEW.3 (𝜑𝐴𝐵)
ordtrest2NEW.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEWlem (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑣,𝑤,𝑧   𝑣,   𝑥,𝑤,𝑧,𝑦,   𝑣,𝐴,𝑤,𝑧   𝑣,𝐵,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem ordtrest2NEWlem
StepHypRef Expression
1 inrab2 4048 . . . . 5 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧}
2 ordtrest2NEW.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
3 sseqin2 3968 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
42, 3sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
54adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐵𝐴) = 𝐴)
6 rabeq 3342 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) = 𝐴 → {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
81, 7syl5eq 2817 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
9 ordtNEW.l . . . . . . . . . . . . 13 = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
10 fvex 6344 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘𝐾) ∈ V
1110inex1 4934 . . . . . . . . . . . . 13 ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V
129, 11eqeltri 2846 . . . . . . . . . . . 12 ∈ V
1312inex1 4934 . . . . . . . . . . 11 ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
15 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))
1615ordttopon 21217 . . . . . . . . . 10 (( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
18 ordtrest2NEW.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
19 tospos 29997 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
20 posprs 17156 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Preset )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ Preset )
22 ordtNEW.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
2322, 9prsssdm 30302 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
2421, 2, 23syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
2524fveq2d 6337 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
2617, 25eleqtrd 2852 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
27 toponmax 20950 . . . . . . . 8 ((ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2928adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
30 rabid2 3267 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ↔ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
31 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
3230, 31sylbir 225 . . . . . 6 (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
3329, 32syl5ibcom 235 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
34 dfrex2 3144 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
35 breq1 4790 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 𝑧𝑥 𝑧))
3635cbvrexv 3321 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧)
3734, 36bitr3i 266 . . . . . 6 (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧)
38 ordttop 21224 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
4039adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
41 0opn 20928 . . . . . . . . . . 11 ((ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
4342adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
44 eleq1 2838 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = ∅ → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
4543, 44syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
46 rabn0 4105 . . . . . . . . . 10 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
47 breq1 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 𝑧𝑦 𝑧))
4847notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 𝑧))
4948cbvrexv 3321 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧)
5046, 49bitri 264 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧)
5118ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
522ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → 𝐴𝐵)
5352sselda 3752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐵)
54 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑧𝐵)
5522, 9trleile 30005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
5651, 53, 54, 55syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
5756ord 853 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
58 an4 635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)))
59 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴)
60 rabss 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6159, 60sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6261r19.21bi 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6362an32s 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6463impr 442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦))) → 𝑧𝐴)
6558, 64sylan2b 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → 𝑧𝐴)
66 brinxp 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤𝐴𝑧𝐴) → (𝑤 𝑧𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6766ancoms 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (𝑤 𝑧𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6867notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (¬ 𝑤 𝑧 ↔ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6968rabbidva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐴 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7065, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7124ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
72 rabeq 3342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7470, 73eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7513a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
7665, 71eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → 𝑧 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)))
7715ordtopn1 21218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7875, 76, 77syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7974, 78eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8079anassrs 453 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8180expr 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 𝑦 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8257, 81syld 47 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8382rexlimdva 3179 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8450, 83syl5bi 232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8545, 84pm2.61dne 3029 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8685rexlimdvaa 3180 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8737, 86syl5bi 232 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8833, 87pm2.61d 171 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
898, 88eqeltrd 2850 . . 3 ((𝜑𝑧𝐵) → ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
9089ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
91 fvex 6344 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) ∈ V
9222, 91eqeltri 2846 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
94 rabexg 4946 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
9593, 94syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
9695ralrimivw 3116 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
97 eqid 2771 . . . 4 (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧}) = (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
98 ineq1 3958 . . . . 5 (𝑣 = {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → (𝑣𝐴) = ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴))
9998eleq1d 2835 . . . 4 (𝑣 = {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → ((𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10097, 99ralrnmpt 6513 . . 3 (∀𝑧𝐵 {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10196, 100syl 17 . 2 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10290, 101mpbird 247 1 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4787  cmpt 4864   × cxp 5248  dom cdm 5250  ran crn 5251  cfv 6030  Basecbs 16063  lecple 16155  ordTopcordt 16366   Preset cpreset 17133  Posetcpo 17147  Tosetctos 17240  Topctop 20917  TopOnctopon 20934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fi 8476  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-dec 11700  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-ple 16168  df-topgen 16311  df-ordt 16368  df-preset 17135  df-poset 17153  df-toset 17241  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  30308
  Copyright terms: Public domain W3C validator