Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrest2NEWlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2NEWlem 30303
Description: Lemma for ordtrest2NEW 30304. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ordtNEW.l = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
ordtrest2NEW.2 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
ordtrest2NEW.3 (𝜑𝐴𝐵)
ordtrest2NEW.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEWlem (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑣,𝑤,𝑧   𝑣,   𝑥,𝑤,𝑧,𝑦,   𝑣,𝐴,𝑤,𝑧   𝑣,𝐵,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem ordtrest2NEWlem
StepHypRef Expression
1 inrab2 4112 . . . . 5 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧}
2 ordtrest2NEW.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
3 sseqin2 4027 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
42, 3sylib 209 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
54adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐵𝐴) = 𝐴)
6 rabeq 3393 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) = 𝐴 → {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
81, 7syl5eq 2863 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
9 ordtNEW.l . . . . . . . . . . . . 13 = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
10 fvex 6428 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘𝐾) ∈ V
1110inex1 5005 . . . . . . . . . . . . 13 ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V
129, 11eqeltri 2892 . . . . . . . . . . . 12 ∈ V
1312inex1 5005 . . . . . . . . . . 11 ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
15 eqid 2817 . . . . . . . . . . 11 dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))
1615ordttopon 21219 . . . . . . . . . 10 (( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
18 ordtrest2NEW.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
19 tospos 29993 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
20 posprs 17161 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ Proset )
22 ordtNEW.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
2322, 9prsssdm 30298 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
2421, 2, 23syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
2524fveq2d 6419 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
2617, 25eleqtrd 2898 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
27 toponmax 20952 . . . . . . . 8 ((ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2928adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
30 rabid2 3318 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ↔ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
31 eleq1 2884 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
3230, 31sylbir 226 . . . . . 6 (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
3329, 32syl5ibcom 236 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
34 dfrex2 3194 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
35 breq1 4858 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 𝑧𝑥 𝑧))
3635cbvrexv 3372 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧)
3734, 36bitr3i 268 . . . . . 6 (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧)
38 ordttop 21226 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
4039adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
41 0opn 20930 . . . . . . . . . . 11 ((ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
4342adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
44 eleq1 2884 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = ∅ → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
4543, 44syl5ibrcom 238 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
46 rabn0 4169 . . . . . . . . . 10 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
47 breq1 4858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 𝑧𝑦 𝑧))
4847notbid 309 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 𝑧))
4948cbvrexv 3372 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧)
5046, 49bitri 266 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧)
5118ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
522ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → 𝐴𝐵)
5352sselda 3809 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐵)
54 simpllr 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑧𝐵)
5522, 9trleile 30001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
5651, 53, 54, 55syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
5756ord 882 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
58 an4 638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)))
59 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴)
60 rabss 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6159, 60sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6261r19.21bi 3131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6362an32s 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6463impr 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦))) → 𝑧𝐴)
6558, 64sylan2b 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → 𝑧𝐴)
66 brinxp 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤𝐴𝑧𝐴) → (𝑤 𝑧𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6766ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (𝑤 𝑧𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6867notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (¬ 𝑤 𝑧 ↔ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6968rabbidva 3389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐴 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7065, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7124ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
72 rabeq 3393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7470, 73eqtr4d 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7513a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
7665, 71eleqtrrd 2899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → 𝑧 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)))
7715ordtopn1 21220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7875, 76, 77syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7974, 78eqeltrd 2896 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8079anassrs 455 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8180expr 446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 𝑦 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8257, 81syld 47 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8382rexlimdva 3230 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8450, 83syl5bi 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8545, 84pm2.61dne 3075 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8685rexlimdvaa 3231 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8737, 86syl5bi 233 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8833, 87pm2.61d 171 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
898, 88eqeltrd 2896 . . 3 ((𝜑𝑧𝐵) → ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
9089ralrimiva 3165 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
91 fvex 6428 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) ∈ V
9222, 91eqeltri 2892 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
94 rabexg 5017 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
9593, 94syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
9695ralrimivw 3166 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
97 eqid 2817 . . . 4 (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧}) = (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
98 ineq1 4017 . . . . 5 (𝑣 = {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → (𝑣𝐴) = ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴))
9998eleq1d 2881 . . . 4 (𝑣 = {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → ((𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10097, 99ralrnmpt 6597 . . 3 (∀𝑧𝐵 {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10196, 100syl 17 . 2 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10290, 101mpbird 248 1 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wral 3107  wrex 3108  {crab 3111  Vcvv 3402  cin 3779  wss 3780  c0 4127   class class class wbr 4855  cmpt 4934   × cxp 5320  dom cdm 5322  ran crn 5323  cfv 6108  Basecbs 16075  lecple 16167  ordTopcordt 16371   Proset cproset 17138  Posetcpo 17152  Tosetctos 17245  Topctop 20919  TopOnctopon 20936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-fi 8563  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-dec 11767  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-sets 16082  df-ress 16083  df-ple 16180  df-topgen 16316  df-ordt 16373  df-proset 17140  df-poset 17158  df-toset 17246  df-top 20920  df-topon 20937  df-bases 20972
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  30304
  Copyright terms: Public domain W3C validator