Theorem ordtrest2NEWlem 33883

Description: Lemma for ordtrest2NEW 33884. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtNEW.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ordtNEW.l	⊢ ≤ = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
ordtrest2NEW.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Toset)
ordtrest2NEW.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
ordtrest2NEW.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2NEWlem	⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, ≤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑣,𝑤,𝑧   𝑣, ≤   𝑥,𝑤,𝑧,𝑦, ≤   𝑣,𝐴,𝑤,𝑧   𝑣,𝐵,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem ordtrest2NEWlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab2 4323	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧}
2		ordtrest2NEW.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		sseqin2 4231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6		rabeq 3448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴 → {𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})
8	1, 7	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})
9		ordtNEW.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
10		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘𝐾) ∈ V
11	10	inex1 5323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V
12	9, 11	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ ∈ V
13	12	inex1 5323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
15		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))
16	15	ordttopon 23217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
18		ordtrest2NEW.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Toset)
19		tospos 18478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
20		posprs 18374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset )
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
22		ordtNEW.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
23	22, 9	prsssdm 33878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
24	21, 2, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
25	24	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
26	17, 25	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
27		toponmax 22948	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
30		rabid2 3468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧)
31		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
32	30, 31	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
33	29, 32	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
34		dfrex2 3071	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧)
35		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
36	35	cbvrexvw 3236	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑧)
37	34, 36	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑧)
38		ordttop 23224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
39	14, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
41		0opn 22926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
44		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = ∅ → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
45	43, 44	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = ∅ → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
46		rabn0 4395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧)
47		breq1 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑦 ≤ 𝑧))
48	47	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑧))
49	48	cbvrexvw 3236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑧)
50	46, 49	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑧)
51	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
52	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
53	52	sselda 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
54		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
55	22, 9	trleile 32946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 ≤ 𝑧 ∨ 𝑧 ≤ 𝑦))
56	51, 53, 54, 55	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝑧 ∨ 𝑧 ≤ 𝑦))
57	56	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑧 ≤ 𝑦))
58		an4 656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
59		ordtrest2NEW.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
60		rabss 4082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
61	59, 60	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
62	61	r19.21bi 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
63	62	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
64	63	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
65	58, 64	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
66		brinxp 5767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
67	66	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
68	67	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
69	68	rabbidva 3440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
70	65, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
71	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
72		rabeq 3448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 → {𝑤 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
74	70, 73	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} = {𝑤 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
75	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
76	65, 71	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → 𝑧 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
77	15	ordtopn1 23218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
78	75, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
79	74, 78	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
80	79	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
81	80	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑦 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
82	57, 81	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦 ≤ 𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
83	82	rexlimdva 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
84	50, 83	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ≠ ∅ → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
85	45, 84	pm2.61dne 3026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
86	85	rexlimdvaa 3154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
87	37, 86	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤 ≤ 𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
88	33, 87	pm2.61d 179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
89	8, 88	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
90	89	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))
91		fvex 6920	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
92	22, 91	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
94		rabexg 5343	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ V)
95	93, 94	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ V)
96	95	ralrimivw 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ V)
97		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧}) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})
98		ineq1 4221	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} → (𝑣 ∩ 𝐴) = ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴))
99	98	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑣 = {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} → ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
100	97, 99	ralrnmptw 7114	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
101	96, 100	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ({𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
102	90, 101	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ {𝑤 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑤 ≤ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689  ran crn 5690  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  ordTopcordt 17546   Proset cproset 18350  Posetcpo 18365  Tosetctos 18474  Topctop 22915  TopOnctopon 22932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-ple 17318  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-proset 18352  df-poset 18371  df-toset 18475  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969

This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  33884