Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrest2NEWlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2NEWlem 30766
Description: Lemma for ordtrest2NEW 30767. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ordtNEW.l = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
ordtrest2NEW.2 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
ordtrest2NEW.3 (𝜑𝐴𝐵)
ordtrest2NEW.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEWlem (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑣,𝑤,𝑧   𝑣,   𝑥,𝑤,𝑧,𝑦,   𝑣,𝐴,𝑤,𝑧   𝑣,𝐵,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem ordtrest2NEWlem
StepHypRef Expression
1 inrab2 4158 . . . . 5 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧}
2 ordtrest2NEW.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
3 sseqin2 4074 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
42, 3sylib 210 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
54adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐵𝐴) = 𝐴)
6 rabeq 3400 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) = 𝐴 → {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
81, 7syl5eq 2820 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
9 ordtNEW.l . . . . . . . . . . . . 13 = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
10 fvex 6506 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘𝐾) ∈ V
1110inex1 5072 . . . . . . . . . . . . 13 ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V
129, 11eqeltri 2856 . . . . . . . . . . . 12 ∈ V
1312inex1 5072 . . . . . . . . . . 11 ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
15 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))
1615ordttopon 21495 . . . . . . . . . 10 (( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
18 ordtrest2NEW.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
19 tospos 30355 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
20 posprs 17407 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ Proset )
22 ordtNEW.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
2322, 9prsssdm 30761 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
2421, 2, 23syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
2524fveq2d 6497 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
2617, 25eleqtrd 2862 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
27 toponmax 21228 . . . . . . . 8 ((ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2928adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
30 rabid2 3314 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ↔ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
31 eleq1 2847 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
3230, 31sylbir 227 . . . . . 6 (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
3329, 32syl5ibcom 237 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
34 dfrex2 3180 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
35 breq1 4926 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 𝑧𝑥 𝑧))
3635cbvrexv 3378 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧)
3734, 36bitr3i 269 . . . . . 6 (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧)
38 ordttop 21502 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
4039adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
41 0opn 21206 . . . . . . . . . . 11 ((ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
4342adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
44 eleq1 2847 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = ∅ → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
4543, 44syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
46 rabn0 4220 . . . . . . . . . 10 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
47 breq1 4926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 𝑧𝑦 𝑧))
4847notbid 310 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 𝑧))
4948cbvrexv 3378 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧)
5046, 49bitri 267 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧)
5118ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
522ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → 𝐴𝐵)
5352sselda 3854 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐵)
54 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑧𝐵)
5522, 9trleile 30363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
5651, 53, 54, 55syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
5756ord 850 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
58 an4 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)))
59 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴)
60 rabss 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6159, 60sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6261r19.21bi 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6362an32s 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6463impr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦))) → 𝑧𝐴)
6558, 64sylan2b 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → 𝑧𝐴)
66 brinxp 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤𝐴𝑧𝐴) → (𝑤 𝑧𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6766ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (𝑤 𝑧𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6867notbid 310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (¬ 𝑤 𝑧 ↔ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6968rabbidva 3396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐴 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7065, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7124ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
72 rabeq 3400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7470, 73eqtr4d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7513a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
7665, 71eleqtrrd 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → 𝑧 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)))
7715ordtopn1 21496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7875, 76, 77syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7974, 78eqeltrd 2860 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8079anassrs 460 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8180expr 449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 𝑦 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8257, 81syld 47 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8382rexlimdva 3223 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8450, 83syl5bi 234 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8545, 84pm2.61dne 3048 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8685rexlimdvaa 3224 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8737, 86syl5bi 234 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8833, 87pm2.61d 172 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
898, 88eqeltrd 2860 . . 3 ((𝜑𝑧𝐵) → ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
9089ralrimiva 3126 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
91 fvex 6506 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) ∈ V
9222, 91eqeltri 2856 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
94 rabexg 5084 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
9593, 94syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
9695ralrimivw 3127 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
97 eqid 2772 . . . 4 (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧}) = (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
98 ineq1 4064 . . . . 5 (𝑣 = {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → (𝑣𝐴) = ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴))
9998eleq1d 2844 . . . 4 (𝑣 = {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → ((𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10097, 99ralrnmpt 6679 . . 3 (∀𝑧𝐵 {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10196, 100syl 17 . 2 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10290, 101mpbird 249 1 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  wrex 3083  {crab 3086  Vcvv 3409  cin 3824  wss 3825  c0 4173   class class class wbr 4923  cmpt 5002   × cxp 5398  dom cdm 5400  ran crn 5401  cfv 6182  Basecbs 16329  lecple 16418  ordTopcordt 16618   Proset cproset 17384  Posetcpo 17398  Tosetctos 17491  Topctop 21195  TopOnctopon 21212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fi 8662  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-dec 11905  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-ple 16431  df-topgen 16563  df-ordt 16620  df-proset 17386  df-poset 17404  df-toset 17492  df-top 21196  df-topon 21213  df-bases 21248
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  30767
  Copyright terms: Public domain W3C validator