Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrest2NEW Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2NEW 32903
Description: An interval-closed set 𝐴 in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in ℝ, but in other sets like β„š there are interval-closed sets like (Ο€, +∞) ∩ β„š that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ordtNEW.l ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
ordtrest2NEW.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
ordtrest2NEW.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
ordtrest2NEW.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)} βŠ† 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEW (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, ≀   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧, ≀   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾

Proof of Theorem ordtrest2NEW
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2NEW.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
2 tospos 18373 . . . 4 (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3 posprs 18269 . . . 4 (𝐾 ∈ Poset β†’ 𝐾 ∈ Proset )
41, 2, 33syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Proset )
5 ordtrest2NEW.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
6 ordtNEW.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 ordtNEW.l . . . 4 ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
86, 7ordtrestNEW 32901 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
94, 5, 8syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10 eqid 2733 . . . . . . . 8 ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) = ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧})
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}) = ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})
126, 7, 10, 11ordtprsval 32898 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))))
134, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))))
1413oveq1d 7424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
15 fibas 22480 . . . . . 6 (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) ∈ TopBases
166fvexi 6906 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
1817, 5ssexd 5325 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
19 tgrest 22663 . . . . . 6 (((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
2015, 18, 19sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
2114, 20eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) β†Ύt 𝐴)))
22 firest 17378 . . . . 5 (fiβ€˜(({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴)) = ((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) β†Ύt 𝐴)
2322fveq2i 6895 . . . 4 (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) = (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) β†Ύt 𝐴))
2421, 23eqtr4di 2791 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴))))
25 fvex 6905 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) ∈ V
2625inex1 5318 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V
277, 26eqeltri 2830 . . . . . 6 ≀ ∈ V
2827inex1 5318 . . . . 5 ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V
29 ordttop 22704 . . . . 5 (( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top)
3028, 29mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top)
316, 7, 10, 11ordtprsuni 32899 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Proset β†’ 𝐡 = βˆͺ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))
324, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))
3332, 17eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ∈ V)
34 uniexb 7751 . . . . . . 7 (({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ∈ V ↔ βˆͺ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ∈ V)
3533, 34sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ∈ V)
36 restval 17372 . . . . . 6 ((({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)))
3735, 18, 36syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)))
38 sseqin2 4216 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 ∩ 𝐴) = 𝐴)
395, 38sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) = 𝐴)
40 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
4140ordttopon 22697 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4228, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
436, 7prsssdm 32897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
444, 5, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
4544fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (TopOnβ€˜π΄))
4642, 45eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
47 toponmax 22428 . . . . . . . . . . . 12 ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4939, 48eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
50 elsni 4646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ {𝐡} β†’ 𝑣 = 𝐡)
5150ineq1d 4212 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ {𝐡} β†’ (𝑣 ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
5251eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ {𝐡} β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝐡 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
5349, 52syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ {𝐡} β†’ (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
5453ralrimiv 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ {𝐡} (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
55 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)} βŠ† 𝐴)
566, 7, 1, 5, 55ordtrest2NEWlem 32902 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (ODualβ€˜πΎ) = (ODualβ€˜πΎ)
5857, 6odubas 18244 . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
597cnveqi 5875 . . . . . . . . . . . 12 β—‘ ≀ = β—‘((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
60 cnvin 6145 . . . . . . . . . . . . 13 β—‘((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ β—‘(𝐡 Γ— 𝐡))
61 cnvxp 6157 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— 𝐡)
6261ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ β—‘(𝐡 Γ— 𝐡)) = (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
6457, 63oduleval 18242 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
6564ineq1i 4209 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ((leβ€˜(ODualβ€˜πΎ)) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
6660, 62, 653eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 β—‘((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ((leβ€˜(ODualβ€˜πΎ)) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
6759, 66eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 β—‘ ≀ = ((leβ€˜(ODualβ€˜πΎ)) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
6857odutos 32138 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Toset β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Toset)
691, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Toset)
70 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
71 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 ∈ V
7270, 71brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦◑ ≀ 𝑧 ↔ 𝑧 ≀ 𝑦)
73 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘₯ ∈ V
7471, 73brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧◑ ≀ π‘₯ ↔ π‘₯ ≀ 𝑧)
7572, 74anbi12ci 629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦))
7675rabbii 3439 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯)} = {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)}
7776, 55eqsstrid 4031 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯)} βŠ† 𝐴)
7877ancom2s 649 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯)} βŠ† 𝐴)
7958, 67, 69, 5, 78ordtrest2NEWlem 32902 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
80 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 ∈ V
8180, 71brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀◑ ≀ 𝑧 ↔ 𝑧 ≀ 𝑀)
8281bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ≀ 𝑀 ↔ 𝑀◑ ≀ 𝑧)
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑧 ≀ 𝑀 ↔ 𝑀◑ ≀ 𝑧))
8483notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧))
8584rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀} = {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧})
8685mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}) = (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧}))
8786rneqd 5938 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}) = ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧}))
886ressprs 32133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )
894, 5, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )
90 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
91 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))
9290, 91ordtcnvNEW 32900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜β—‘((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))) = (ordTopβ€˜((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))))
9389, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜β—‘((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))) = (ordTopβ€˜((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))))
946, 7prsss 32896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
954, 5, 94syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
96 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 β†Ύs 𝐴) = (𝐾 β†Ύs 𝐴)
9796, 63ressle 17325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
9818, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
9996, 6ressbas2 17182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
1005, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
101100sqxpeqd 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) = ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))
10298, 101ineq12d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
10395, 102eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
104103cnveqd 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = β—‘((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
105104fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜β—‘((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))))
106103fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))))
10793, 105, 1063eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
108 cnvin 6145 . . . . . . . . . . . . . . 15 β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (β—‘ ≀ ∩ β—‘(𝐴 Γ— 𝐴))
109 cnvxp 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β—‘(𝐴 Γ— 𝐴) = (𝐴 Γ— 𝐴)
110109ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘ ≀ ∩ β—‘(𝐴 Γ— 𝐴)) = (β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
111108, 110eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
112111fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (ordTopβ€˜β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
113107, 112eqtr3di 2788 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
114113eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
11587, 114raleqbidv 3343 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
11679, 115mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
117 ralunb 4192 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
11856, 116, 117sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
119 ralunb 4192 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘£ ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ {𝐡} (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
12054, 118, 119sylanbrc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
121 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)) = (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴))
122121fmpt 7110 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)):({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))⟢(ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
123120, 122sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)):({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))⟢(ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
124123frnd 6726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
12537, 124eqsstrd 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
126 tgfiss 22494 . . . 4 (((ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top ∧ (({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
12730, 125, 126syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
12824, 127eqsstrd 4021 . 2 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
1299, 128eqssd 4000 1 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  ficfi 9405  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  lecple 17204   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  ordTopcordt 17445  ODualcodu 18239   Proset cproset 18246  Posetcpo 18260  Tosetctos 18369  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  TopBasesctb 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-ple 17217  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-odu 18240  df-proset 18248  df-poset 18266  df-toset 18370  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator