Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrest2NEW Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2NEW 33201
Description: An interval-closed set 𝐴 in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in ℝ, but in other sets like β„š there are interval-closed sets like (Ο€, +∞) ∩ β„š that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ordtNEW.l ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
ordtrest2NEW.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
ordtrest2NEW.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
ordtrest2NEW.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)} βŠ† 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEW (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, ≀   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧, ≀   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾

Proof of Theorem ordtrest2NEW
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2NEW.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
2 tospos 18377 . . . 4 (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3 posprs 18273 . . . 4 (𝐾 ∈ Poset β†’ 𝐾 ∈ Proset )
41, 2, 33syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Proset )
5 ordtrest2NEW.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
6 ordtNEW.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 ordtNEW.l . . . 4 ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
86, 7ordtrestNEW 33199 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
94, 5, 8syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10 eqid 2730 . . . . . . . 8 ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) = ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧})
11 eqid 2730 . . . . . . . 8 ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}) = ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})
126, 7, 10, 11ordtprsval 33196 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))))
134, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))))
1413oveq1d 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
15 fibas 22700 . . . . . 6 (fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) ∈ TopBases
166fvexi 6904 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
1817, 5ssexd 5323 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
19 tgrest 22883 . . . . . 6 (((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
2015, 18, 19sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
2114, 20eqtr4d 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) β†Ύt 𝐴)))
22 firest 17382 . . . . 5 (fiβ€˜(({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴)) = ((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) β†Ύt 𝐴)
2322fveq2i 6893 . . . 4 (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) = (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))) β†Ύt 𝐴))
2421, 23eqtr4di 2788 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴))))
25 fvex 6903 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) ∈ V
2625inex1 5316 . . . . . . 7 ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V
277, 26eqeltri 2827 . . . . . 6 ≀ ∈ V
2827inex1 5316 . . . . 5 ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V
29 ordttop 22924 . . . . 5 (( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top)
3028, 29mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top)
316, 7, 10, 11ordtprsuni 33197 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Proset β†’ 𝐡 = βˆͺ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))
324, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))))
3332, 17eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ∈ V)
34 uniexb 7753 . . . . . . 7 (({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ∈ V ↔ βˆͺ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ∈ V)
3533, 34sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ∈ V)
36 restval 17376 . . . . . 6 ((({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)))
3735, 18, 36syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)))
38 sseqin2 4214 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 ∩ 𝐴) = 𝐴)
395, 38sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) = 𝐴)
40 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
4140ordttopon 22917 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4228, 41mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
436, 7prsssdm 33195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
444, 5, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
4544fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (TopOnβ€˜π΄))
4642, 45eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
47 toponmax 22648 . . . . . . . . . . . 12 ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4939, 48eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
50 elsni 4644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ {𝐡} β†’ 𝑣 = 𝐡)
5150ineq1d 4210 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ {𝐡} β†’ (𝑣 ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
5251eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ {𝐡} β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝐡 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
5349, 52syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ {𝐡} β†’ (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
5453ralrimiv 3143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ {𝐡} (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
55 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)} βŠ† 𝐴)
566, 7, 1, 5, 55ordtrest2NEWlem 33200 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
57 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (ODualβ€˜πΎ) = (ODualβ€˜πΎ)
5857, 6odubas 18248 . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
597cnveqi 5873 . . . . . . . . . . . 12 β—‘ ≀ = β—‘((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
60 cnvin 6143 . . . . . . . . . . . . 13 β—‘((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ β—‘(𝐡 Γ— 𝐡))
61 cnvxp 6155 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— 𝐡)
6261ineq2i 4208 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ β—‘(𝐡 Γ— 𝐡)) = (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
63 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
6457, 63oduleval 18246 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(ODualβ€˜πΎ))
6564ineq1i 4207 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ((leβ€˜(ODualβ€˜πΎ)) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
6660, 62, 653eqtri 2762 . . . . . . . . . . . 12 β—‘((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ((leβ€˜(ODualβ€˜πΎ)) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
6759, 66eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 β—‘ ≀ = ((leβ€˜(ODualβ€˜πΎ)) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
6857odutos 32405 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Toset β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Toset)
691, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ODualβ€˜πΎ) ∈ Toset)
70 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
71 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 ∈ V
7270, 71brcnv 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦◑ ≀ 𝑧 ↔ 𝑧 ≀ 𝑦)
73 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘₯ ∈ V
7471, 73brcnv 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧◑ ≀ π‘₯ ↔ π‘₯ ≀ 𝑧)
7572, 74anbi12ci 626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦))
7675rabbii 3436 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯)} = {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)}
7776, 55eqsstrid 4029 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯)} βŠ† 𝐴)
7877ancom2s 646 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯)} βŠ† 𝐴)
7958, 67, 69, 5, 78ordtrest2NEWlem 33200 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
80 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 ∈ V
8180, 71brcnv 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀◑ ≀ 𝑧 ↔ 𝑧 ≀ 𝑀)
8281bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ≀ 𝑀 ↔ 𝑀◑ ≀ 𝑧)
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑧 ≀ 𝑀 ↔ 𝑀◑ ≀ 𝑧))
8483notbid 317 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧))
8584rabbidv 3438 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀} = {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧})
8685mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}) = (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧}))
8786rneqd 5936 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}) = ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧}))
886ressprs 32400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )
894, 5, 88syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )
90 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
91 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))
9290, 91ordtcnvNEW 33198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset β†’ (ordTopβ€˜β—‘((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))) = (ordTopβ€˜((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))))
9389, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜β—‘((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))) = (ordTopβ€˜((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))))
946, 7prsss 33194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
954, 5, 94syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
96 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 β†Ύs 𝐴) = (𝐾 β†Ύs 𝐴)
9796, 63ressle 17329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
9818, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
9996, 6ressbas2 17186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
1005, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
101100sqxpeqd 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) = ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))
10298, 101ineq12d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
10395, 102eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
104103cnveqd 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = β—‘((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
105104fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜β—‘((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))))
106103fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))))
10793, 105, 1063eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
108 cnvin 6143 . . . . . . . . . . . . . . 15 β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (β—‘ ≀ ∩ β—‘(𝐴 Γ— 𝐴))
109 cnvxp 6155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β—‘(𝐴 Γ— 𝐴) = (𝐴 Γ— 𝐴)
110109ineq2i 4208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘ ≀ ∩ β—‘(𝐴 Γ— 𝐴)) = (β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
111108, 110eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
112111fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (ordTopβ€˜β—‘( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
113107, 112eqtr3di 2785 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
114113eleq2d 2817 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
11587, 114raleqbidv 3340 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀◑ ≀ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
11679, 115mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
117 ralunb 4190 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
11856, 116, 117sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
119 ralunb 4190 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘£ ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ {𝐡} (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
12054, 118, 119sylanbrc 581 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
121 eqid 2730 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)) = (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴))
122121fmpt 7110 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)):({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))⟢(ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
123120, 122sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)):({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀})))⟢(ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
124123frnd 6724 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑣 ∈ ({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
12537, 124eqsstrd 4019 . . . 4 (πœ‘ β†’ (({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
126 tgfiss 22714 . . . 4 (((ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top ∧ (({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
12730, 125, 126syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝐡} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ {𝑀 ∈ 𝐡 ∣ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
12824, 127eqsstrd 4019 . 2 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
1299, 128eqssd 3998 1 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  ficfi 9407  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  lecple 17208   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387  ordTopcordt 17449  ODualcodu 18243   Proset cproset 18250  Posetcpo 18264  Tosetctos 18373  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  TopBasesctb 22668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-ple 17221  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-odu 18244  df-proset 18252  df-poset 18270  df-toset 18374  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator