Theorem posref 18036

Description: A poset ordering is reflexive. (Contributed by NM, 11-Sep-2011.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
posi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
posi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
posref	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem posref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posprs 18034	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset )
2		posi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		posi.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	prsref 18017	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969   Proset cproset 18011  Posetcpo 18025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-nul 5230

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-iota 6391  df-fv 6441  df-proset 18013  df-poset 18031

This theorem is referenced by:  posasymb  18037  odupos  18046  pleval2  18055  pltval3  18057  pospo  18063  lublecllem  18078  latref  18159  omndmul2  31338  omndmul  31340  gsumle  31350  archirngz  31443  cvrnbtwn2  37289  cvrnbtwn3  37290  cvrnbtwn4  37293  cvrcmp  37297  llncmp  37536  lplncmp  37576  lvolcmp  37631  lubprlem  46256  posjidm  46266  posmidm  46267