Theorem posref 18282

Description: A poset ordering is reflexive. (Contributed by NM, 11-Sep-2011.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
posi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
posi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
posref	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem posref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posprs 18280	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset )
2		posi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		posi.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	prsref 18262	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)
5	1, 4	sylan 586	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  lecple 17225   Proset cproset 18256  Posetcpo 18271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-nul 5235

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-iota 6448  df-fv 6500  df-proset 18258  df-poset 18277

This theorem is referenced by:  posasymb  18283  odupos  18290  pleval2  18299  pltval3  18301  pospo  18307  lublecllem  18322  latref  18405  omndmul2  20106  omndmul  20108  gsumle  20118  archirngz  33277  cvrnbtwn2  39774  cvrnbtwn3  39775  cvrnbtwn4  39778  cvrcmp  39782  llncmp  40021  lplncmp  40061  lvolcmp  40116  lubprlem  49459  posjidm  49469  posmidm  49470