Theorem posref 18253

Description: A poset ordering is reflexive. (Contributed by NM, 11-Sep-2011.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
posi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
posi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
posref	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem posref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posprs 18251	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset )
2		posi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		posi.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	prsref 18233	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)
5	1, 4	sylan 581	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  lecple 17196   Proset cproset 18227  Posetcpo 18242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5253

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6456  df-fv 6508  df-proset 18229  df-poset 18248

This theorem is referenced by:  posasymb  18254  odupos  18261  pleval2  18270  pltval3  18272  pospo  18278  lublecllem  18293  latref  18376  omndmul2  20074  omndmul  20076  gsumle  20086  archirngz  33282  cvrnbtwn2  39645  cvrnbtwn3  39646  cvrnbtwn4  39649  cvrcmp  39653  llncmp  39892  lplncmp  39932  lvolcmp  39987  lubprlem  49315  posjidm  49325  posmidm  49326