Theorem posref 18364

Description: A poset ordering is reflexive. (Contributed by NM, 11-Sep-2011.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
posi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
posi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
posref	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem posref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posprs 18362	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Proset )
2		posi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		posi.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	prsref 18344	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)
5	1, 4	sylan 591	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  lecple 17307   Proset cproset 18338  Posetcpo 18353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-iota 6481  df-fv 6533  df-proset 18340  df-poset 18359

This theorem is referenced by:  posasymb  18365  odupos  18372  pleval2  18381  pltval3  18383  pospo  18389  lublecllem  18404  latref  18487  omndmul2  20194  omndmul  20196  gsumle  20206  archirngz  33422  cvrnbtwn2  39911  cvrnbtwn3  39912  cvrnbtwn4  39915  cvrcmp  39919  llncmp  40158  lplncmp  40198  lvolcmp  40253  lubprlem  49591  posjidm  49601  posmidm  49602