Theorem shex 31299

Description: The set of subspaces of a Hilbert space exists (is a set). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shex	⊢ Sℋ ∈ V

Proof of Theorem shex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 31086	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2	1	pwex 5327	. 2 ⊢ 𝒫 ℋ ∈ V
3		shss 31297	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ⊆ ℋ)
4		velpw 4561	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝑥 ⊆ ℋ)
5	3, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ∈ 𝒫 ℋ)
6	5	ssriv 3939	. 2 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ
7	2, 6	ssexi 5269	1 ⊢ Sℋ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   ℋchba 31006   S_ℋ csh 31015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-hilex 31086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-sh 31294

This theorem is referenced by:  chex  31313