Theorem shex 31190

Description: The set of subspaces of a Hilbert space exists (is a set). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shex	⊢ Sℋ ∈ V

Proof of Theorem shex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 30977	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2	1	pwex 5318	. 2 ⊢ 𝒫 ℋ ∈ V
3		shss 31188	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ⊆ ℋ)
4		velpw 4555	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝑥 ⊆ ℋ)
5	3, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ∈ 𝒫 ℋ)
6	5	ssriv 3938	. 2 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ
7	2, 6	ssexi 5260	1 ⊢ Sℋ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4550   ℋchba 30897   S_ℋ csh 30906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-pow 5303  ax-hilex 30977

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-sh 31185

This theorem is referenced by:  chex  31204