MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sslttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sslttr 27853
Description: Transitive law for surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sslttr ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sslttr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4352 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
2 ssltex1 27832 . . . . . . 7 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 ∈ V)
323ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4 ssltex2 27833 . . . . . . 7 (𝐵 <<s 𝐶𝐶 ∈ V)
543ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
6 ssltss1 27834 . . . . . . 7 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
763ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 No )
8 ssltss2 27835 . . . . . . 7 (𝐵 <<s 𝐶𝐶 No )
983ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 No )
1073ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝐴 No )
11 simp2 1137 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑥𝐴)
1210, 11sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑥 No )
13 ssltss2 27835 . . . . . . . . . 10 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
14133ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐵 No )
15143ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝐵 No )
16 simp11 1203 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑦𝐵)
1715, 16sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑦 No )
1893ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝐶 No )
19 simp3 1138 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑧𝐶)
2018, 19sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑧 No )
21 simp12 1204 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)
2221, 11, 16ssltsepcd 27840 . . . . . . 7 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑥 <s 𝑦)
23 simp13 1205 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝐵 <<s 𝐶)
2423, 16, 19ssltsepcd 27840 . . . . . . 7 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑦 <s 𝑧)
2512, 17, 20, 22, 24slttrd 27805 . . . . . 6 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑥 <s 𝑧)
263, 5, 7, 9, 25ssltd 27837 . . . . 5 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶)
27263exp 1119 . . . 4 (𝑦𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶𝐴 <<s 𝐶)))
2827exlimiv 1929 . . 3 (∃𝑦 𝑦𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶𝐴 <<s 𝐶)))
291, 28sylbi 217 . 2 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶𝐴 <<s 𝐶)))
30293imp231 1112 1 ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  wss 3950  c0 4332   class class class wbr 5142   No csur 27685   <<s csslt 27826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 27688  df-slt 27689  df-sslt 27827
This theorem is referenced by:  scutun12  27856  scutbdaylt  27864  cuteq0  27878  cuteq1  27879  lltropt  27912  cofcut1  27955  addscut2  28013  sleadd1  28023  addsuniflem  28035  addsasslem1  28037  addsasslem2  28038  negscut2  28073  mulscut2  28160
  Copyright terms: Public domain W3C validator