Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sslttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sslttr 33171
Description: Transitive law for surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sslttr ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sslttr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4314 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
2 ssltex1 33158 . . . . . . . . 9 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 ∈ V)
3 ssltex2 33159 . . . . . . . . 9 (𝐵 <<s 𝐶𝐶 ∈ V)
42, 3anim12i 612 . . . . . . . 8 ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
54adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
6 ssltss1 33160 . . . . . . . . 9 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
76ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐴 No )
8 ssltss2 33161 . . . . . . . . 9 (𝐵 <<s 𝐶𝐶 No )
98ad2antll 725 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐶 No )
107adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝐴 No )
11 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑥𝐴)
1210, 11sseldd 3972 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑥 No )
13 ssltss1 33160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 <<s 𝐶𝐵 No )
1413ad2antll 725 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐵 No )
1514adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝐵 No )
16 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑦𝐵)
1715, 16sseldd 3972 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑦 No )
189adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝐶 No )
19 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑧𝐶)
2018, 19sseldd 3972 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑧 No )
21 ssltsep 33162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
2221ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
24 rsp 3210 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦 → (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦))
2523, 11, 24sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → ∀𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
26 rsp 3210 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦 → (𝑦𝐵𝑥 <s 𝑦))
2725, 16, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑥 <s 𝑦)
28 ssltsep 33162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 <<s 𝐶 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧)
2928ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧)
31 rsp 3210 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧 → (𝑦𝐵 → ∀𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧))
3230, 16, 31sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → ∀𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧)
33 rsp 3210 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧 → (𝑧𝐶𝑦 <s 𝑧))
3432, 19, 33sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑦 <s 𝑧)
3512, 17, 20, 27, 34slttrd 33141 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑥 <s 𝑧)
3635ralrimivva 3196 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑥𝐴𝑧𝐶 𝑥 <s 𝑧)
377, 9, 363jca 1122 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → (𝐴 No 𝐶 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐶 𝑥 <s 𝑧))
38 brsslt 33157 . . . . . . 7 (𝐴 <<s 𝐶 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐶 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐶 𝑥 <s 𝑧)))
395, 37, 38sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐴 <<s 𝐶)
4039ex 413 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
4140exlimiv 1924 . . . 4 (∃𝑦 𝑦𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
421, 41sylbi 218 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
4342com12 32 . 2 ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 <<s 𝐶))
44433impia 1111 1 ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081  wex 1773  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  Vcvv 3500  wss 3940  c0 4295   class class class wbr 5063   No csur 33050   <s cslt 33051   <<s csslt 33153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-ord 6193  df-on 6194  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-1o 8098  df-2o 8099  df-no 33053  df-slt 33054  df-sslt 33154
This theorem is referenced by:  scutun12  33174  scutbdaylt  33179
  Copyright terms: Public domain W3C validator