Theorem sslttr 34050

Description: Transitive law for surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sslttr	⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sslttr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4286	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
2		ssltex1 34030	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		ssltex2 34031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
6		ssltss1 34032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ⊆ No )
8		ssltss2 34033	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆ No )
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ⊆ No )
10	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊆ No )
11		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	10, 11	sseldd 3927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ No )
13		ssltss2 34033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐵 ⊆ No )
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 ⊆ No )
16		simp11 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	15, 16	sseldd 3927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ No )
18	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐶 ⊆ No )
19		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	18, 19	sseldd 3927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ No )
21		simp12 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)
22	21, 11, 16	ssltsepcd 34037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑦)
23		simp13 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 <<s 𝐶)
24	23, 16, 19	ssltsepcd 34037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 <s 𝑧)
25	12, 17, 20, 22, 24	slttrd 34011	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑧)
26	3, 5, 7, 9, 25	ssltd 34035	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶)
27	26	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
28	27	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
29	1, 28	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
30	29	3imp231 1113	1 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  Vcvv 3437   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262   class class class wbr 5081   No csur 33892   <<s csslt 34024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ord 6284  df-on 6285  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-fv 6466  df-1o 8328  df-2o 8329  df-no 33895  df-slt 33896  df-sslt 34025

This theorem is referenced by:  scutun12  34053  scutbdaylt  34061  lltropt  34105  cofcut1  34139