| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | n0 4352 | . . 3
⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔
∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵) | 
| 2 |  | ssltex1 27832 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V) | 
| 3 | 2 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V) | 
| 4 |  | ssltex2 27833 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ∈ V) | 
| 5 | 4 | 3ad2ant3 1135 | . . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ∈ V) | 
| 6 |  | ssltss1 27834 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆  No
) | 
| 7 | 6 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ⊆  No
) | 
| 8 |  | ssltss2 27835 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆  No
) | 
| 9 | 8 | 3ad2ant3 1135 | . . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ⊆  No
) | 
| 10 | 7 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊆  No
) | 
| 11 |  | simp2 1137 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴) | 
| 12 | 10, 11 | sseldd 3983 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈  No
) | 
| 13 |  | ssltss2 27835 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆  No
) | 
| 14 | 13 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐵 ⊆  No
) | 
| 15 | 14 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 ⊆  No
) | 
| 16 |  | simp11 1203 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵) | 
| 17 | 15, 16 | sseldd 3983 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈  No
) | 
| 18 | 9 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐶 ⊆  No
) | 
| 19 |  | simp3 1138 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ 𝐶) | 
| 20 | 18, 19 | sseldd 3983 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈  No
) | 
| 21 |  | simp12 1204 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵) | 
| 22 | 21, 11, 16 | ssltsepcd 27840 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑦) | 
| 23 |  | simp13 1205 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 <<s 𝐶) | 
| 24 | 23, 16, 19 | ssltsepcd 27840 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 <s 𝑧) | 
| 25 | 12, 17, 20, 22, 24 | slttrd 27805 | . . . . . 6
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑧) | 
| 26 | 3, 5, 7, 9, 25 | ssltd 27837 | . . . . 5
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶) | 
| 27 | 26 | 3exp 1119 | . . . 4
⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶))) | 
| 28 | 27 | exlimiv 1929 | . . 3
⊢
(∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶))) | 
| 29 | 1, 28 | sylbi 217 | . 2
⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶))) | 
| 30 | 29 | 3imp231 1112 | 1
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶) |