Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sslttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sslttr 32240
Description: Transitive law for surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sslttr ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sslttr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4139 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
2 ssltex1 32227 . . . . . . . . 9 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 ∈ V)
3 ssltex2 32228 . . . . . . . . 9 (𝐵 <<s 𝐶𝐶 ∈ V)
42, 3anim12i 602 . . . . . . . 8 ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
54adantl 469 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
6 ssltss1 32229 . . . . . . . . 9 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
76ad2antrl 710 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐴 No )
8 ssltss2 32230 . . . . . . . . 9 (𝐵 <<s 𝐶𝐶 No )
98ad2antll 711 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐶 No )
107adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝐴 No )
11 simprl 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑥𝐴)
1210, 11sseldd 3806 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑥 No )
13 ssltss1 32229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 <<s 𝐶𝐵 No )
1413ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐵 No )
1514adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝐵 No )
16 simpll 774 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑦𝐵)
1715, 16sseldd 3806 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑦 No )
189adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝐶 No )
19 simprr 780 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑧𝐶)
2018, 19sseldd 3806 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑧 No )
21 ssltsep 32231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
2221ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
2322adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
24 rsp 3124 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦 → (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦))
2523, 11, 24sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → ∀𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
26 rsp 3124 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦 → (𝑦𝐵𝑥 <s 𝑦))
2725, 16, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑥 <s 𝑦)
28 ssltsep 32231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 <<s 𝐶 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧)
2928ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧)
3029adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧)
31 rsp 3124 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦𝐵𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧 → (𝑦𝐵 → ∀𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧))
3230, 16, 31sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → ∀𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧)
33 rsp 3124 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝐶 𝑦 <s 𝑧 → (𝑧𝐶𝑦 <s 𝑧))
3432, 19, 33sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑦 <s 𝑧)
3512, 17, 20, 27, 34slttrd 32210 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐶)) → 𝑥 <s 𝑧)
3635ralrimivva 3166 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑥𝐴𝑧𝐶 𝑥 <s 𝑧)
377, 9, 363jca 1151 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → (𝐴 No 𝐶 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐶 𝑥 <s 𝑧))
38 brsslt 32226 . . . . . . 7 (𝐴 <<s 𝐶 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐶 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐶 𝑥 <s 𝑧)))
395, 37, 38sylanbrc 574 . . . . . 6 ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐴 <<s 𝐶)
4039ex 399 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
4140exlimiv 2021 . . . 4 (∃𝑦 𝑦𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
421, 41sylbi 208 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
4342com12 32 . 2 ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 <<s 𝐶))
44433impia 1138 1 ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100  wex 1859  wcel 2157  wne 2985  wral 3103  Vcvv 3398  wss 3776  c0 4123   class class class wbr 4851   No csur 32119   <s cslt 32120   <<s csslt 32222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-ord 5946  df-on 5947  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-fv 6112  df-1o 7799  df-2o 7800  df-no 32122  df-slt 32123  df-sslt 32223
This theorem is referenced by:  scutun12  32243  scutbdaylt  32248
  Copyright terms: Public domain W3C validator