Theorem sslttr 27853

Description: Transitive law for surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sslttr	⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sslttr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4352	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
2		ssltex1 27832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		ssltex2 27833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
6		ssltss1 27834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ⊆ No )
8		ssltss2 27835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆ No )
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ⊆ No )
10	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊆ No )
11		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	10, 11	sseldd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ No )
13		ssltss2 27835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐵 ⊆ No )
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 ⊆ No )
16		simp11 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	15, 16	sseldd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ No )
18	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐶 ⊆ No )
19		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	18, 19	sseldd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ No )
21		simp12 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)
22	21, 11, 16	ssltsepcd 27840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑦)
23		simp13 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 <<s 𝐶)
24	23, 16, 19	ssltsepcd 27840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 <s 𝑧)
25	12, 17, 20, 22, 24	slttrd 27805	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑧)
26	3, 5, 7, 9, 25	ssltd 27837	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶)
27	26	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
28	27	exlimiv 1929	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
29	1, 28	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
30	29	3imp231 1112	1 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332   class class class wbr 5142   No csur 27685   <<s csslt 27826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 27688  df-slt 27689  df-sslt 27827

This theorem is referenced by:  scutun12  27856  scutbdaylt  27864  cuteq0  27878  cuteq1  27879  lltropt  27912  cofcut1  27955  addscut2  28013  sleadd1  28023  addsuniflem  28035  addsasslem1  28037  addsasslem2  28038  negscut2  28073  mulscut2  28160