Theorem sslttr 33562

Description: Transitive law for surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sslttr	⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sslttr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4245	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
2		ssltex1 33546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		ssltex2 33547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
4	2, 3	anim12i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
5	4	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
6		ssltss1 33548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
7	6	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐴 ⊆ No )
8		ssltss2 33549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆ No )
9	8	ad2antll 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐶 ⊆ No )
10	7	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ⊆ No )
11		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	10, 11	sseldd 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ No )
13		ssltss1 33548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐵 ⊆ No )
14	13	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐵 ⊆ No )
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ No )
16		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	15, 16	sseldd 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ No )
18	9	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ No )
19		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	18, 19	sseldd 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑧 ∈ No )
21		ssltsep 33550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
22	21	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
24		rsp 3134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
25	23, 11, 24	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
26		rsp 3134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 <s 𝑦))
27	25, 16, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 <s 𝑦)
28		ssltsep 33550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
29	28	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
30	29	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
31		rsp 3134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧))
32	30, 16, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
33		rsp 3134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧 → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑦 <s 𝑧))
34	32, 19, 33	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 <s 𝑧)
35	12, 17, 20, 27, 34	slttrd 33527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 <s 𝑧)
36	35	ralrimivva 3120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 <s 𝑧)
37	7, 9, 36	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐶 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 <s 𝑧))
38		brsslt 33545	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐶 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐶 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 <s 𝑧)))
39	5, 37, 38	sylanbrc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐴 <<s 𝐶)
40	39	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
41	40	exlimiv 1931	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
42	1, 41	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
43	42	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 <<s 𝐶))
44	43	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225   class class class wbr 5032   No csur 33408   <s cslt 33409   <<s csslt 33540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-fv 6343  df-1o 8112  df-2o 8113  df-no 33411  df-slt 33412  df-sslt 33541

This theorem is referenced by:  scutun12  33565  scutbdaylt  33573  lltropt  33612