MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sslttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sslttr 27297
Description: Transitive law for surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sslttr ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sslttr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4345 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
2 ssltex1 27277 . . . . . . 7 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 ∈ V)
323ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4 ssltex2 27278 . . . . . . 7 (𝐵 <<s 𝐶𝐶 ∈ V)
543ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
6 ssltss1 27279 . . . . . . 7 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
763ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 No )
8 ssltss2 27280 . . . . . . 7 (𝐵 <<s 𝐶𝐶 No )
983ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 No )
1073ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝐴 No )
11 simp2 1137 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑥𝐴)
1210, 11sseldd 3982 . . . . . . 7 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑥 No )
13 ssltss2 27280 . . . . . . . . . 10 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
14133ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐵 No )
15143ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝐵 No )
16 simp11 1203 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑦𝐵)
1715, 16sseldd 3982 . . . . . . 7 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑦 No )
1893ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝐶 No )
19 simp3 1138 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑧𝐶)
2018, 19sseldd 3982 . . . . . . 7 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑧 No )
21 simp12 1204 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)
2221, 11, 16ssltsepcd 27284 . . . . . . 7 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑥 <s 𝑦)
23 simp13 1205 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝐵 <<s 𝐶)
2423, 16, 19ssltsepcd 27284 . . . . . . 7 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑦 <s 𝑧)
2512, 17, 20, 22, 24slttrd 27251 . . . . . 6 (((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐶) → 𝑥 <s 𝑧)
263, 5, 7, 9, 25ssltd 27282 . . . . 5 ((𝑦𝐵𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶)
27263exp 1119 . . . 4 (𝑦𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶𝐴 <<s 𝐶)))
2827exlimiv 1933 . . 3 (∃𝑦 𝑦𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶𝐴 <<s 𝐶)))
291, 28sylbi 216 . 2 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶𝐴 <<s 𝐶)))
30293imp231 1113 1 ((𝐴 <<s 𝐵𝐵 <<s 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087  wex 1781  wcel 2106  wne 2940  Vcvv 3474  wss 3947  c0 4321   class class class wbr 5147   No csur 27132   <<s csslt 27271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27135  df-slt 27136  df-sslt 27272
This theorem is referenced by:  scutun12  27300  scutbdaylt  27308  cuteq0  27322  cuteq1  27323  lltropt  27356  cofcut1  27396  addscut2  27452  sleadd1  27461  addsuniflem  27473  addsasslem1  27475  addsasslem2  27476  negscut2  27503  mulscut2  27578
  Copyright terms: Public domain W3C validator