Theorem sslttr 33268

Description: Transitive law for surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sslttr	⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sslttr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4310	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
2		ssltex1 33255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		ssltex2 33256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
4	2, 3	anim12i 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
5	4	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
6		ssltss1 33257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
7	6	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐴 ⊆ No )
8		ssltss2 33258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆ No )
9	8	ad2antll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐶 ⊆ No )
10	7	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ⊆ No )
11		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	10, 11	sseldd 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ No )
13		ssltss1 33257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐵 ⊆ No )
14	13	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐵 ⊆ No )
15	14	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ No )
16		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	15, 16	sseldd 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ No )
18	9	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ No )
19		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	18, 19	sseldd 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑧 ∈ No )
21		ssltsep 33259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
22	21	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
23	22	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
24		rsp 3205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
25	23, 11, 24	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
26		rsp 3205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 <s 𝑦))
27	25, 16, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 <s 𝑦)
28		ssltsep 33259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
29	28	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
30	29	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
31		rsp 3205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧))
32	30, 16, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
33		rsp 3205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧 → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑦 <s 𝑧))
34	32, 19, 33	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 <s 𝑧)
35	12, 17, 20, 27, 34	slttrd 33238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 <s 𝑧)
36	35	ralrimivva 3191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 <s 𝑧)
37	7, 9, 36	3jca 1124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐶 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 <s 𝑧))
38		brsslt 33254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐶 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐶 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 <s 𝑧)))
39	5, 37, 38	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐴 <<s 𝐶)
40	39	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
41	40	exlimiv 1931	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
42	1, 41	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
43	42	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 <<s 𝐶))
44	43	3impia 1113	1 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291   class class class wbr 5066   No csur 33147   <s cslt 33148   <<s csslt 33250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-1o 8102  df-2o 8103  df-no 33150  df-slt 33151  df-sslt 33251

This theorem is referenced by:  scutun12  33271  scutbdaylt  33276