Theorem sslttr 27770

Description: Transitive law for surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sslttr	⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sslttr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4347	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
2		ssltex1 27749	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		ssltex2 27750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
6		ssltss1 27751	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
7	6	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ⊆ No )
8		ssltss2 27752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆ No )
9	8	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ⊆ No )
10	7	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊆ No )
11		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	10, 11	sseldd 3978	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ No )
13		ssltss2 27752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )
14	13	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐵 ⊆ No )
15	14	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 ⊆ No )
16		simp11 1200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	15, 16	sseldd 3978	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ No )
18	9	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐶 ⊆ No )
19		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	18, 19	sseldd 3978	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ No )
21		simp12 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)
22	21, 11, 16	ssltsepcd 27757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑦)
23		simp13 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 <<s 𝐶)
24	23, 16, 19	ssltsepcd 27757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 <s 𝑧)
25	12, 17, 20, 22, 24	slttrd 27722	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑧)
26	3, 5, 7, 9, 25	ssltd 27754	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶)
27	26	3exp 1116	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
28	27	exlimiv 1925	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
29	1, 28	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
30	29	3imp231 1110	1 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463   ⊆ wss 3945  ∅c0 4323   class class class wbr 5148   No csur 27603   <<s csslt 27743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-1o 8485  df-2o 8486  df-no 27606  df-slt 27607  df-sslt 27744

This theorem is referenced by:  scutun12  27773  scutbdaylt  27781  cuteq0  27795  cuteq1  27796  lltropt  27829  cofcut1  27870  addscut2  27926  sleadd1  27936  addsuniflem  27948  addsasslem1  27950  addsasslem2  27951  negscut2  27982  mulscut2  28067