Theorem trlsegvdeglem3 29472

Description: Lemma for trlsegvdeg 29477. (Contributed by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem3	⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑌))

Proof of Theorem trlsegvdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6904	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑁) ∈ V
2		fvex 6904	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ V ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V)
4		funsng 6599	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ V ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V) → Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
6		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
7	6	funeqd 6570	. 2 ⊢ (𝜑 → (Fun (iEdg‘𝑌) ↔ Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))
8	5, 7	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   ↾ cres 5678   “ cima 5679  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  ♯chash 14289  Vtxcvtx 28253  iEdgciedg 28254  Trailsctrls 28944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-mo 2534  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  29477