Theorem trlsegvdeglem3 30648

Description: Lemma for trlsegvdeg 30653. (Contributed by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem3	⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑌))

Proof of Theorem trlsegvdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑁) ∈ V
2		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ V ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V)
4		funsng 6591	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ V ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V) → Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
5	3, 4	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
6		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
7	6	funeqd 6562	. 2 ⊢ (𝜑 → (Fun (iEdg‘𝑌) ↔ Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))
8	5, 7	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  {csn 4591  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111   ↾ cres 5665   “ cima 5666  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  ...cfz 13555  ..^cfzo 13703  ♯chash 14388  Vtxcvtx 29405  iEdgciedg 29406  Trailsctrls 30104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2569  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548

This theorem is used by:  trlsegvdeg  30653