MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trlsegvdeglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlsegvdeglem3 29169
Description: Lemma for trlsegvdeg 29174. (Contributed by AV, 20-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
trlsegvdeg.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
trlsegvdeg.vx (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
trlsegvdeg.iz (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
Assertion
Ref Expression
trlsegvdeglem3 (πœ‘ β†’ Fun (iEdgβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem trlsegvdeglem3
StepHypRef Expression
1 fvex 6856 . . . 4 (πΉβ€˜π‘) ∈ V
2 fvex 6856 . . . 4 (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ V
31, 2pm3.2i 472 . . 3 ((πΉβ€˜π‘) ∈ V ∧ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ V)
4 funsng 6553 . . 3 (((πΉβ€˜π‘) ∈ V ∧ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ V) β†’ Fun {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
53, 4mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ Fun {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
6 trlsegvdeg.iy . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
76funeqd 6524 . 2 (πœ‘ β†’ (Fun (iEdgβ€˜π‘Œ) ↔ Fun {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}))
85, 7mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ Fun (iEdgβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  ...cfz 13425  ..^cfzo 13568  β™―chash 14231  Vtxcvtx 27950  iEdgciedg 27951  Trailsctrls 28641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505
This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  29174
  Copyright terms: Public domain W3C validator