Theorem trlsegvdeglem3 30705

Description: Lemma for trlsegvdeg 30710. (Contributed by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem3	⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑌))

Proof of Theorem trlsegvdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6892	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑁) ∈ V
2		fvex 6892	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ V ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V)
4		funsng 6585	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ V ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V) → Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
5	3, 4	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
6		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
7	6	funeqd 6555	. 2 ⊢ (𝜑 → (Fun (iEdg‘𝑌) ↔ Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))
8	5, 7	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↾ cres 5657   “ cima 5658  Fun wfun 6527  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  ...cfz 13564  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Vtxcvtx 29456  iEdgciedg 29457  Trailsctrls 30155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541

This theorem is used by:  trlsegvdeg  30710