Theorem trlsegvdeglem3 30071

Description: Lemma for trlsegvdeg 30076. (Contributed by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem3	⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑌))

Proof of Theorem trlsegvdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6903	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑁) ∈ V
2		fvex 6903	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ V ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V)
4		funsng 6599	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ V ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V) → Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
6		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
7	6	funeqd 6570	. 2 ⊢ (𝜑 → (Fun (iEdg‘𝑌) ↔ Fun {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))
8	5, 7	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4625  ⟨cop 4631   class class class wbr 5144   ↾ cres 5675   “ cima 5676  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  ♯chash 14316  Vtxcvtx 28848  iEdgciedg 28849  Trailsctrls 29543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-mo 2528  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3944  df-un 3946  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  30076