Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trsbcVD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trsbcVD 44902
Description: Formula-building inference rule for class substitution, substituting a class variable for the setvar variable of the transitivity predicate. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trsbc 44565 is trsbcVD 44902 without virtual deductions and was automatically derived from trsbcVD 44902.
1:: (   𝐴𝐵   ▶   𝐴𝐵   )
2:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 𝑧𝑦)   )
3:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥 𝑦𝐴)   )
4:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥 𝑧𝐴)   )
5:1,2,3,4: (   𝐴𝐵   ▶   (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))   )
6:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)))   )
7:5,6: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴 𝑧𝐴)))   )
8:: ((𝑧𝑦 → (𝑦𝐴 𝑧𝐴)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))
9:7,8: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
10:: ((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥 𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
11:10: 𝑥((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥 𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
12:1,11: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) 𝑧𝑥))   )
13:9,12: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦 𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
14:13: (   𝐴𝐵   ▶   𝑦([𝐴 / 𝑥]((𝑧 𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
15:14: (   𝐴𝐵   ▶   (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
16:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧 𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦 𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
17:15,16: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧 𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
18:17: (   𝐴𝐵   ▶   𝑧([𝐴 / 𝑥]𝑦(( 𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
19:18: (   𝐴𝐵   ▶   (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦(( 𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦 𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
20:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦(( 𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧 𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
21:19,20: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦(( 𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦 𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
22:: (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦 𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))
23:21,22: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦(( 𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴)   )
24:: (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦 𝑥) → 𝑧𝑥))
25:24: 𝑥(Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦 𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
26:1,25: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 [𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
27:23,26: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴)   )
qed:27: (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trsbcVD (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem trsbcVD
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 44599 . . . . . . . . . . . . . 14 (   𝐴𝐵   ▶   𝐴𝐵   )
2 sbcg 3862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦𝑧𝑦))
31, 2e1a 44652 . . . . . . . . . . . . . 14 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦𝑧𝑦)   )
4 sbcel2gv 3856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥𝑦𝐴))
51, 4e1a 44652 . . . . . . . . . . . . . 14 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥𝑦𝐴)   )
6 sbcel2gv 3856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥𝑧𝐴))
71, 6e1a 44652 . . . . . . . . . . . . . 14 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥𝑧𝐴)   )
8 imbi13 44545 . . . . . . . . . . . . . . 15 (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦𝑧𝑦) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥𝑦𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥𝑧𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))))))
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵 → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦𝑧𝑦) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥𝑦𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥𝑧𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))))))
101, 3, 5, 7, 9e1111 44700 . . . . . . . . . . . . 13 (   𝐴𝐵   ▶   (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))   )
11 sbcim2g 44563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥))))
121, 11e1a 44652 . . . . . . . . . . . . 13 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)))   )
13 bibi1 351 . . . . . . . . . . . . . 14 (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))))
1413biimprcd 250 . . . . . . . . . . . . 13 ((([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥))) → ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))))
1510, 12, 14e11 44713 . . . . . . . . . . . 12 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))   )
16 pm3.31 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))
17 pm3.3 448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴) → (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))
1816, 17impbii 209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))
19 bibi1 351 . . . . . . . . . . . . 13 (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) ↔ ((𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
2019biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))) → (((𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
2115, 18, 20e10 44719 . . . . . . . . . . 11 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
22 pm3.31 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
23 pm3.3 448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) → (𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)))
2422, 23impbii 209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2524ax-gen 1794 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
26 sbcbi 44564 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (∀𝑥((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))))
271, 25, 26e10 44719 . . . . . . . . . . 11 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
28 bitr3 352 . . . . . . . . . . . 12 (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → ([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
2928com12 32 . . . . . . . . . . 11 (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
3021, 27, 29e11 44713 . . . . . . . . . 10 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
3130gen11 44641 . . . . . . . . 9 (   𝐴𝐵   ▶   𝑦([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
32 albi 1817 . . . . . . . . 9 (∀𝑦([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)))
3331, 32e1a 44652 . . . . . . . 8 (   𝐴𝐵   ▶   (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
34 sbcal 3848 . . . . . . . . . 10 ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)))
361, 35e1a 44652 . . . . . . . 8 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
37 bibi1 351 . . . . . . . . 9 (([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) ↔ (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
3837biimprcd 250 . . . . . . . 8 ((∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
3933, 36, 38e11 44713 . . . . . . 7 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
4039gen11 44641 . . . . . 6 (   𝐴𝐵   ▶   𝑧([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
41 albi 1817 . . . . . 6 (∀𝑧([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)))
4240, 41e1a 44652 . . . . 5 (   𝐴𝐵   ▶   (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
43 sbcal 3848 . . . . . . 7 ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)))
451, 44e1a 44652 . . . . 5 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
46 bibi1 351 . . . . . 6 (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) ↔ (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
4746biimprcd 250 . . . . 5 ((∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
4842, 45, 47e11 44713 . . . 4 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
49 dftr2 5260 . . . 4 (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))
50 biantr 805 . . . . 5 ((([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) ∧ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))) → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴))
5150ex 412 . . . 4 (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → ((Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴)))
5248, 49, 51e10 44719 . . 3 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴)   )
53 dftr2 5260 . . . . 5 (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
5453ax-gen 1794 . . . 4 𝑥(Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
55 sbcbi 44564 . . . 4 (𝐴𝐵 → (∀𝑥(Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))))
561, 54, 55e10 44719 . . 3 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
57 bibi1 351 . . . 4 (([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴)))
5857biimprcd 250 . . 3 (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴)))
5952, 56, 58e11 44713 . 2 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴)   )
6059in1 44596 1 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1537  wcel 2107  [wsbc 3787  Tr wtr 5258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1542  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-v 3481  df-sbc 3788  df-ss 3967  df-uni 4907  df-tr 5259  df-vd1 44595
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator