Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trsbcVD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trsbcVD 39862
Description: Formula-building inference rule for class substitution, substituting a class variable for the setvar variable of the transitivity predicate. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trsbc 39515 is trsbcVD 39862 without virtual deductions and was automatically derived from trsbcVD 39862.
1:: (   𝐴𝐵   ▶   𝐴𝐵   )
2:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 𝑧𝑦)   )
3:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥 𝑦𝐴)   )
4:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥 𝑧𝐴)   )
5:1,2,3,4: (   𝐴𝐵   ▶   (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))   )
6:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)))   )
7:5,6: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴 𝑧𝐴)))   )
8:: ((𝑧𝑦 → (𝑦𝐴 𝑧𝐴)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))
9:7,8: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
10:: ((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥 𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
11:10: 𝑥((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥 𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
12:1,11: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) 𝑧𝑥))   )
13:9,12: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦 𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
14:13: (   𝐴𝐵   ▶   𝑦([𝐴 / 𝑥]((𝑧 𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
15:14: (   𝐴𝐵   ▶   (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧 𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
16:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧 𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦 𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
17:15,16: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧 𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
18:17: (   𝐴𝐵   ▶   𝑧([𝐴 / 𝑥]𝑦(( 𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) 𝑧𝐴))   )
19:18: (   𝐴𝐵   ▶   (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦(( 𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦 𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
20:1: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦(( 𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧 𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
21:19,20: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦(( 𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦 𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
22:: (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦 𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))
23:21,22: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦(( 𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴)   )
24:: (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦 𝑥) → 𝑧𝑥))
25:24: 𝑥(Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦 𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
26:1,25: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 [𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
27:23,26: (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴)   )
qed:27: (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trsbcVD (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem trsbcVD
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 39549 . . . . . . . . . . . . . 14 (   𝐴𝐵   ▶   𝐴𝐵   )
2 sbcg 3698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦𝑧𝑦))
31, 2e1a 39611 . . . . . . . . . . . . . 14 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦𝑧𝑦)   )
4 sbcel2gv 3692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥𝑦𝐴))
51, 4e1a 39611 . . . . . . . . . . . . . 14 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥𝑦𝐴)   )
6 sbcel2gv 3692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥𝑧𝐴))
71, 6e1a 39611 . . . . . . . . . . . . . 14 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥𝑧𝐴)   )
8 imbi13 39495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦𝑧𝑦) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥𝑦𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥𝑧𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))))))
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵 → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦𝑧𝑦) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥𝑦𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥𝑧𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))))))
101, 3, 5, 7, 9e1111 39659 . . . . . . . . . . . . 13 (   𝐴𝐵   ▶   (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))   )
11 sbcim2g 39513 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥))))
121, 11e1a 39611 . . . . . . . . . . . . 13 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)))   )
13 bibi1 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))))
1413biimprcd 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑥))) → ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))))
1510, 12, 14e11 39672 . . . . . . . . . . . 12 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))   )
16 pm3.31 441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))
17 pm3.3 440 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴) → (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)))
1816, 17impbii 201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))
19 bibi1 343 . . . . . . . . . . . . 13 (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) ↔ ((𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
2019biimprd 240 . . . . . . . . . . . 12 (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))) → (((𝑧𝑦 → (𝑦𝐴𝑧𝐴)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
2115, 18, 20e10 39678 . . . . . . . . . . 11 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
22 pm3.31 441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) → ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
23 pm3.3 440 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) → (𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)))
2422, 23impbii 201 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
2524ax-gen 1891 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
26 sbcbi 39514 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (∀𝑥((𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))))
271, 25, 26e10 39678 . . . . . . . . . . 11 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
28 bitr3 344 . . . . . . . . . . . 12 (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → ([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
2928com12 32 . . . . . . . . . . 11 (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → (([𝐴 / 𝑥](𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑧𝑥)) ↔ [𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
3021, 27, 29e11 39672 . . . . . . . . . 10 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
3130gen11 39600 . . . . . . . . 9 (   𝐴𝐵   ▶   𝑦([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
32 albi 1914 . . . . . . . . 9 (∀𝑦([𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)))
3331, 32e1a 39611 . . . . . . . 8 (   𝐴𝐵   ▶   (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
34 sbcal 3682 . . . . . . . . . 10 ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)))
361, 35e1a 39611 . . . . . . . 8 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
37 bibi1 343 . . . . . . . . 9 (([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) ↔ (∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
3837biimprcd 242 . . . . . . . 8 ((∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → (([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥]((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
3933, 36, 38e11 39672 . . . . . . 7 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
4039gen11 39600 . . . . . 6 (   𝐴𝐵   ▶   𝑧([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
41 albi 1914 . . . . . 6 (∀𝑧([𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)))
4240, 41e1a 39611 . . . . 5 (   𝐴𝐵   ▶   (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
43 sbcal 3682 . . . . . . 7 ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)))
451, 44e1a 39611 . . . . 5 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
46 bibi1 343 . . . . . 6 (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) ↔ (∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
4746biimprcd 242 . . . . 5 ((∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧[𝐴 / 𝑥]𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))))
4842, 45, 47e11 39672 . . . 4 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))   )
49 dftr2 4946 . . . 4 (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))
50 biantr 841 . . . . 5 ((([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) ∧ (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴))) → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴))
5150ex 402 . . . 4 (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → ((Tr 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝐴) → 𝑧𝐴)) → ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴)))
5248, 49, 51e10 39678 . . 3 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴)   )
53 dftr2 4946 . . . . 5 (Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
5453ax-gen 1891 . . . 4 𝑥(Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))
55 sbcbi 39514 . . . 4 (𝐴𝐵 → (∀𝑥(Tr 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))))
561, 54, 55e10 39678 . . 3 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥))   )
57 bibi1 343 . . . 4 (([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → (([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴)))
5857biimprcd 242 . . 3 (([𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥) ↔ Tr 𝐴) → (([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥[𝐴 / 𝑥]𝑧𝑦((𝑧𝑦𝑦𝑥) → 𝑧𝑥)) → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴)))
5952, 56, 58e11 39672 . 2 (   𝐴𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴)   )
6059in1 39546 1 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wal 1651  wcel 2157  [wsbc 3632  Tr wtr 4944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-v 3386  df-sbc 3633  df-in 3775  df-ss 3782  df-uni 4628  df-tr 4945  df-vd1 39545
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator