MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dftr2 4913
Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
dftr2 (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem dftr2
StepHypRef Expression
1 dfss2 3749 . 2 ( 𝐴𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 𝐴𝑥𝐴))
2 df-tr 4912 . 2 (Tr 𝐴 𝐴𝐴)
3 19.23v 2037 . . . 4 (∀𝑦((𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝐴) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝐴))
4 eluni 4597 . . . . 5 (𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐴))
54imbi1i 340 . . . 4 ((𝑥 𝐴𝑥𝐴) ↔ (∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝐴))
63, 5bitr4i 269 . . 3 (∀𝑦((𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝐴) ↔ (𝑥 𝐴𝑥𝐴))
76albii 1914 . 2 (∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝐴) ↔ ∀𝑥(𝑥 𝐴𝑥𝐴))
81, 2, 73bitr4i 294 1 (Tr 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wal 1650  wex 1874  wcel 2155  wss 3732   cuni 4594  Tr wtr 4911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-ext 2743
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-v 3352  df-in 3739  df-ss 3746  df-uni 4595  df-tr 4912
This theorem is referenced by:  dftr5  4914  trel  4918  ordelord  5930  suctr  5991  ordom  7272  hartogs  8656  card2on  8666  trcl  8819  tskwe  9027  ondomon  9638  dftr6  32085  elpotr  32129  nosupno  32293  hftr  32733  dford4  38273  tratrb  39414  trsbc  39418  truniALT  39419  sspwtr  39709  sspwtrALT  39710  sspwtrALT2  39711  pwtrVD  39712  pwtrrVD  39713  suctrALT  39714  suctrALT2VD  39724  suctrALT2  39725  tratrbVD  39749  trsbcVD  39765  truniALTVD  39766  trintALTVD  39768  trintALT  39769  suctrALTcf  39810  suctrALTcfVD  39811  suctrALT3  39812
  Copyright terms: Public domain W3C validator