Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem2 43500
Description: Lemma for imo72b2 43505. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem2.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
imo72b2lem2.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
imo72b2lem2.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem2 (πœ‘ β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ≀ 𝐢)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐢   𝑧,𝐹   πœ‘,𝑧

Proof of Theorem imo72b2lem2
Dummy variables 𝑐 𝑣 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imaco 6244 . . . 4 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))
21eqcomi 2735 . . 3 (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ)
3 imassrn 6064 . . . . 5 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ran (abs ∘ 𝐹)
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ran (abs ∘ 𝐹))
5 imo72b2lem2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
6 absf 15290 . . . . . . . 8 abs:β„‚βŸΆβ„
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
8 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
98a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
107, 9fssresd 6752 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (abs β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
115, 10fco2d 43495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹):β„βŸΆβ„)
1211frnd 6719 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (abs ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
134, 12sstrd 3987 . . 3 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ℝ)
142, 13eqsstrid 4025 . 2 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) βŠ† ℝ)
15 0re 11220 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1615ne0ii 4332 . . . . . . 7 ℝ β‰  βˆ…
1716a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ β‰  βˆ…)
1817, 11wnefimgd 43494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) β‰  βˆ…)
1918necomd 2990 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… β‰  ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
202a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
2119, 20neeqtrrd 3009 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ… β‰  (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
2221necomd 2990 . 2 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) β‰  βˆ…)
23 imo72b2lem2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
24 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 𝐢) β†’ 𝑐 = 𝐢)
2524breq2d 5153 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 𝐢) β†’ (𝑣 ≀ 𝑐 ↔ 𝑣 ≀ 𝐢))
2625ralbidv 3171 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 𝐢) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑣 ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘£ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑣 ≀ 𝐢))
27 imo72b2lem2.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝐢)
285, 27extoimad 43497 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑣 ≀ 𝐢)
2923, 26, 28rspcedvd 3608 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘£ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑣 ≀ 𝑐)
305, 27extoimad 43497 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 𝐢)
3114, 22, 29, 23, 30suprleubrd 43499 1 (πœ‘ β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ≀ 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  ran crn 5670   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   < clt 11252   ≀ cle 11253  abscabs 15187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  imo72b2  43505
  Copyright terms: Public domain W3C validator