Theorem imo72b2lem2 45359

Description: Lemma for imo72b2 45364. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
imo72b2lem2.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem2	⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧

Proof of Theorem imo72b2lem2

Dummy variables 𝑐 𝑣 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaco 6265	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2	1	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
3		imassrn 6210	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
5		imo72b2lem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6		absf 15534	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
8		ax-resscn 11284	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10	7, 9	fssresd 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
11	5, 10	fco2d 45354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
12	11	frnd 6740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
13	4, 12	sstrd 3923	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
14	2, 13	eqsstrid 3951	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
15		0re 11337	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	15	ne0ii 4293	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
18	17, 11	wnefimgd 45353	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
19	18	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
20	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
21	19, 20	neeqtrrd 3033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
22	21	necomd 3014	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
23		imo72b2lem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
24		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → 𝑐 = 𝐶)
25	24	breq2d 5118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → (𝑣 ≤ 𝑐 ↔ 𝑣 ≤ 𝐶))
26	25	ralbidv 3189	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → (∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝐶))
27		imo72b2lem2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝐶)
28	5, 27	extoimad 45356	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝐶)
29	23, 26, 28	rspcedvd 3582	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝑐)
30	5, 27	extoimad 45356	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝐶)
31	14, 22, 29, 23, 30	suprleubrd 45358	1 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ran crn 5656   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  supcsup 9459  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227   < clt 11370   ≤ cle 11371  abscabs 15430

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432

This theorem is used by:  imo72b2  45364