Theorem imo72b2lem2 44612

Description: Lemma for imo72b2 44617. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
imo72b2lem2.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem2	⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧

Proof of Theorem imo72b2lem2

Dummy variables 𝑐 𝑣 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaco 6209	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2	1	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
3		imassrn 6030	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
5		imo72b2lem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6		absf 15291	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
8		ax-resscn 11086	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10	7, 9	fssresd 6701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
11	5, 10	fco2d 44607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
12	11	frnd 6670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
13	4, 12	sstrd 3933	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
14	2, 13	eqsstrid 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
15		0re 11137	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	15	ne0ii 4285	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
18	17, 11	wnefimgd 44606	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
19	18	necomd 2988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
20	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
21	19, 20	neeqtrrd 3007	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
22	21	necomd 2988	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
23		imo72b2lem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → 𝑐 = 𝐶)
25	24	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → (𝑣 ≤ 𝑐 ↔ 𝑣 ≤ 𝐶))
26	25	ralbidv 3161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → (∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝐶))
27		imo72b2lem2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝐶)
28	5, 27	extoimad 44609	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝐶)
29	23, 26, 28	rspcedvd 3567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝑐)
30	5, 27	extoimad 44609	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝐶)
31	14, 22, 29, 23, 30	suprleubrd 44611	1 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ran crn 5625   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  supcsup 9346  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   ≤ cle 11171  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  imo72b2  44617