Theorem imo72b2lem2 44285

Description: Lemma for imo72b2 44290. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
imo72b2lem2.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem2	⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧

Proof of Theorem imo72b2lem2

Dummy variables 𝑐 𝑣 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaco 6203	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2	1	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
3		imassrn 6024	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
5		imo72b2lem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6		absf 15247	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
8		ax-resscn 11070	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10	7, 9	fssresd 6695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
11	5, 10	fco2d 44280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
12	11	frnd 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
13	4, 12	sstrd 3941	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
14	2, 13	eqsstrid 3969	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
15		0re 11121	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	15	ne0ii 4293	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
18	17, 11	wnefimgd 44279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
19	18	necomd 2984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
20	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
21	19, 20	neeqtrrd 3003	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
22	21	necomd 2984	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
23		imo72b2lem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → 𝑐 = 𝐶)
25	24	breq2d 5105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → (𝑣 ≤ 𝑐 ↔ 𝑣 ≤ 𝐶))
26	25	ralbidv 3156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → (∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝐶))
27		imo72b2lem2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝐶)
28	5, 27	extoimad 44282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝐶)
29	23, 26, 28	rspcedvd 3575	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝑐)
30	5, 27	extoimad 44282	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝐶)
31	14, 22, 29, 23, 30	suprleubrd 44284	1 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   class class class wbr 5093  ran crn 5620   “ cima 5622   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  supcsup 9331  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013   < clt 11153   ≤ cle 11154  abscabs 15143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145

This theorem is referenced by:  imo72b2  44290