Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem2 40503
 Description: Lemma for imo72b2 40510. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem2.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem2.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
imo72b2lem2.3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem2 (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧

Proof of Theorem imo72b2lem2
Dummy variables 𝑐 𝑣 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imaco 6097 . . . 4 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
21eqcomi 2828 . . 3 (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
3 imassrn 5933 . . . . 5 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
5 imo72b2lem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
6 absf 14689 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
8 ax-resscn 10586 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
107, 9fssresd 6538 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
115, 10fco2d 40498 . . . . 5 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
1211frnd 6514 . . . 4 (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
134, 12sstrd 3975 . . 3 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
142, 13eqsstrid 4013 . 2 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
15 0re 10635 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1615ne0ii 4301 . . . . . . 7 ℝ ≠ ∅
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
1817, 11wnefimgd 40497 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
1918necomd 3069 . . . 4 (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
202a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
2119, 20neeqtrrd 3088 . . 3 (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
2221necomd 3069 . 2 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
23 imo72b2lem2.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
24 simpr 487 . . . . 5 ((𝜑𝑐 = 𝐶) → 𝑐 = 𝐶)
2524breq2d 5069 . . . 4 ((𝜑𝑐 = 𝐶) → (𝑣𝑐𝑣𝐶))
2625ralbidv 3195 . . 3 ((𝜑𝑐 = 𝐶) → (∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣𝑐 ↔ ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣𝐶))
27 imo72b2lem2.3 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝐶)
285, 27extoimad 40500 . . 3 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣𝐶)
2923, 26, 28rspcedvd 3624 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣𝑐)
305, 27extoimad 40500 . 2 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡𝐶)
3114, 22, 29, 23, 30suprleubrd 40502 1 (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  ∀wral 3136   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289   class class class wbr 5057  ran crn 5549   “ cima 5551   ∘ ccom 5552  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  supcsup 8896  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529   < clt 10667   ≤ cle 10668  abscabs 14585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587 This theorem is referenced by:  imo72b2  40510
 Copyright terms: Public domain W3C validator