Theorem imo72b2lem2 43661

Description: Lemma for imo72b2 43666. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
imo72b2lem2.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem2	⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧

Proof of Theorem imo72b2lem2

Dummy variables 𝑐 𝑣 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaco 6250	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2	1	eqcomi 2734	. . 3 ⊢ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
3		imassrn 6069	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
5		imo72b2lem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6		absf 15314	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
8		ax-resscn 11193	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10	7, 9	fssresd 6758	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
11	5, 10	fco2d 43656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
12	11	frnd 6724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
13	4, 12	sstrd 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
14	2, 13	eqsstrid 4021	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
15		0re 11244	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	15	ne0ii 4333	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
18	17, 11	wnefimgd 43655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
19	18	necomd 2986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
20	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
21	19, 20	neeqtrrd 3005	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
22	21	necomd 2986	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
23		imo72b2lem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
24		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → 𝑐 = 𝐶)
25	24	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → (𝑣 ≤ 𝑐 ↔ 𝑣 ≤ 𝐶))
26	25	ralbidv 3168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → (∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝐶))
27		imo72b2lem2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝐶)
28	5, 27	extoimad 43658	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝐶)
29	23, 26, 28	rspcedvd 3604	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑣 ≤ 𝑐)
30	5, 27	extoimad 43658	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝐶)
31	14, 22, 29, 23, 30	suprleubrd 43660	1 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051   ⊆ wss 3940  ∅c0 4318   class class class wbr 5143  ran crn 5673   “ cima 5675   ∘ ccom 5676  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  supcsup 9461  ℂcc 11134  ℝcr 11135  0cc0 11136   < clt 11276   ≤ cle 11277  abscabs 15211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213

This theorem is referenced by:  imo72b2  43666