Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem0 43659
Description: Lemma for imo72b2 43666. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem0.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
imo72b2lem0.2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
imo72b2lem0.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))))
imo72b2lem0.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem0 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0
Dummy variables 𝑐 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imo72b2lem0.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 imo72b2lem0.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
31, 2ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
43recnd 11270 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
54idi 1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6 imo72b2lem0.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
7 imo72b2lem0.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
86, 7ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ ℝ)
98recnd 11270 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ β„‚)
109idi 1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ β„‚)
115, 10mulcld 11262 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
1211abscld 15413 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
13 imaco 6250 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))
1413eqcomi 2734 . . . . 5 (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ)
15 imassrn 6069 . . . . . . 7 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ran (abs ∘ 𝐹)
1615a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ran (abs ∘ 𝐹))
17 absf 15314 . . . . . . . . . 10 abs:β„‚βŸΆβ„
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
19 ax-resscn 11193 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
2118, 20fssresd 6758 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (abs β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
221, 21fco2d 43656 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹):β„βŸΆβ„)
2322frnd 6724 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (abs ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
2416, 23sstrd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ℝ)
2514, 24eqsstrid 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) βŠ† ℝ)
26 0re 11244 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
2726ne0ii 4333 . . . . . . . . 9 ℝ β‰  βˆ…
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ β‰  βˆ…)
2928, 22wnefimgd 43655 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) β‰  βˆ…)
3029necomd 2986 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ… β‰  ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
3114a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
3230, 31neeqtrrd 3005 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… β‰  (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
3332necomd 2986 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) β‰  βˆ…)
34 1red 11243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
35 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ 𝑐 = 1)
3635breq2d 5155 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑐 ↔ π‘₯ ≀ 1))
3736ralbidv 3168 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 1))
38 imo72b2lem0.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
391, 38extoimad 43658 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 1)
4034, 37, 39rspcedvd 3604 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 𝑐)
4125, 33, 40suprcld 12205 . . 3 (πœ‘ β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42 2re 12314 . . . 4 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
44 imo72b2lem0.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))))
4544idi 1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))))
4645fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) = (absβ€˜(2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))))
47 2cnd 12318 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
4847, 11mulcld 11262 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) ∈ β„‚)
4948abscld 15413 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))) ∈ ℝ)
5046, 49eqeltrd 2825 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ∈ ℝ)
511idi 1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
522idi 1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
537idi 1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5452, 53readdcld 11271 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ ℝ)
5551, 54ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ ℝ)
5655recnd 11270 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ β„‚)
5756abscld 15413 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) ∈ ℝ)
5852, 53resubcld 11670 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
5951, 58ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
6059recnd 11270 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ β„‚)
6160abscld 15413 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) ∈ ℝ)
6257, 61readdcld 11271 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ∈ ℝ)
6343, 41remulcld 11272 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
6456, 60abstrid 15433 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))))
651, 54fvco3d 6992 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 + 𝐡)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))))
6654, 22wfximgfd 43657 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
6731idi 1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
6866, 67eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
6965, 68eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
7025, 33, 40, 69suprubd 12204 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
711, 58fvco3d 6992 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))))
7258, 22wfximgfd 43657 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
7372, 31eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
7471, 73eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
7525, 33, 40, 74suprubd 12204 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
7657, 61, 41, 41, 70, 75le2addd 11861 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ≀ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
7741recnd 11270 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ∈ β„‚)
78772timesd 12483 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
7978eqcomd 2731 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )) = (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
8079, 63eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
8176, 79, 62, 80leeq2d 43652 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ≀ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
8250, 62, 63, 64, 81letrd 11399 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ≀ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
8382, 46, 50, 63leeq1d 43651 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))) ≀ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
84 0le2 12342 . . . . . 6 0 ≀ 2
8584a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 2)
863idi 1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
878idi 1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ ℝ)
8886, 87remulcld 11272 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
8985, 43, 88absmulrposd 43653 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))) = (2 Β· (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))))
9083, 89, 49, 63leeq1d 43651 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))) ≀ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
91 2pos 12343 . . . 4 0 < 2
9291a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
9312, 41, 43, 90, 92wwlemuld 43650 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
944, 9absmuld 15431 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))))
9594idi 1 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))))
9693, 95, 12, 41leeq1d 43651 1 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  ran crn 5673   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  supcsup 9461  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  2c2 12295  abscabs 15211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213
This theorem is referenced by:  imo72b2  43666
  Copyright terms: Public domain W3C validator