Theorem imo72b2lem0 41776

Description: Lemma for imo72b2 41783. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
imo72b2lem0.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem0	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imo72b2lem0.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		imo72b2lem0.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	ffvelrnd 6962	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	idi 1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
6		imo72b2lem0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
7		imo72b2lem0.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	ffvelrnd 6962	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
10	9	idi 1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
11	5, 10	mulcld 10995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15148	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℝ)
13		imaco 6155	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
14	13	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
15		imassrn 5980	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
17		absf 15049	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
19		ax-resscn 10928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
21	18, 20	fssresd 6641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
22	1, 21	fco2d 41773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
23	22	frnd 6608	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
24	16, 23	sstrd 3931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
25	14, 24	eqsstrid 3969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
26		0re 10977	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
27	26	ne0ii 4271	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ≠ ∅
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
29	28, 22	wnefimgd 41772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
30	29	necomd 2999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
31	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
32	30, 31	neeqtrrd 3018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
33	32	necomd 2999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
34		1red 10976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
35		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
36	35	breq2d 5086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑐 ↔ 𝑥 ≤ 1))
37	36	ralbidv 3112	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1))
38		imo72b2lem0.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
39	1, 38	extoimad 41775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1)
40	34, 37, 39	rspcedvd 3563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐)
41	25, 33, 40	suprcld 11938	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42		2re 12047	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
44		imo72b2lem0.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
45	44	idi 1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
46	45	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) = (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
47		2cnd 12051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
48	47, 11	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℂ)
49	48	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ∈ ℝ)
50	46, 49	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
51	1	idi 1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
52	2	idi 1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
53	7	idi 1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
54	52, 53	readdcld 11004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
55	51, 54	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
57	56	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
58	52, 53	resubcld 11403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
59	51, 58	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
60	59	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
61	60	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
62	57, 61	readdcld 11004	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
63	43, 41	remulcld 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
64	56, 60	abstrid 15168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))))
65	1, 54	fvco3d 6868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
66	54, 22	wfximgfd 41774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
67	31	idi 1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
68	66, 67	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
69	65, 68	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
70	25, 33, 40, 69	suprubd 11937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
71	1, 58	fvco3d 6868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))))
72	58, 22	wfximgfd 41774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
73	72, 31	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
74	71, 73	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
75	25, 33, 40, 74	suprubd 11937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
76	57, 61, 41, 41, 70, 75	le2addd 11594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
77	41	recnd 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℂ)
78	77	2timesd 12216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
79	78	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
80	79, 63	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
81	76, 79, 62, 80	leeq2d 41768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
82	50, 62, 63, 64, 81	letrd 11132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
83	82, 46, 50, 63	leeq1d 41767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
84		0le2 12075	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
86	3	idi 1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
87	8	idi 1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
88	86, 87	remulcld 11005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℝ)
89	85, 43, 88	absmulrposd 41769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) = (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
90	83, 89, 49, 63	leeq1d 41767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
91		2pos 12076	. . . 4 ⊢ 0 < 2
92	91	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
93	12, 41, 43, 90, 92	wwlemuld 41766	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
94	4, 9	absmuld 15166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))))
95	94	idi 1	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))))
96	93, 95, 12, 41	leeq1d 41767	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ran crn 5590   “ cima 5592   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  2c2 12028  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  imo72b2  41783