Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem0 42530
Description: Lemma for imo72b2 42537. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem0.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
imo72b2lem0.2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
imo72b2lem0.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))))
imo72b2lem0.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem0 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0
Dummy variables 𝑐 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imo72b2lem0.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 imo72b2lem0.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
31, 2ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
43recnd 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
54idi 1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6 imo72b2lem0.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
7 imo72b2lem0.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
86, 7ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ ℝ)
98recnd 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ β„‚)
109idi 1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ β„‚)
115, 10mulcld 11183 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
1211abscld 15330 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
13 imaco 6207 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))
1413eqcomi 2742 . . . . 5 (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ)
15 imassrn 6028 . . . . . . 7 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ran (abs ∘ 𝐹)
1615a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ran (abs ∘ 𝐹))
17 absf 15231 . . . . . . . . . 10 abs:β„‚βŸΆβ„
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
19 ax-resscn 11116 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
2118, 20fssresd 6713 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (abs β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
221, 21fco2d 42527 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹):β„βŸΆβ„)
2322frnd 6680 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (abs ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
2416, 23sstrd 3958 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ℝ)
2514, 24eqsstrid 3996 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) βŠ† ℝ)
26 0re 11165 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
2726ne0ii 4301 . . . . . . . . 9 ℝ β‰  βˆ…
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ β‰  βˆ…)
2928, 22wnefimgd 42526 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) β‰  βˆ…)
3029necomd 2996 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ… β‰  ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
3114a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
3230, 31neeqtrrd 3015 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… β‰  (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
3332necomd 2996 . . . 4 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) β‰  βˆ…)
34 1red 11164 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
35 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ 𝑐 = 1)
3635breq2d 5121 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑐 ↔ π‘₯ ≀ 1))
3736ralbidv 3171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 1))
38 imo72b2lem0.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
391, 38extoimad 42529 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 1)
4034, 37, 39rspcedvd 3585 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 𝑐)
4125, 33, 40suprcld 12126 . . 3 (πœ‘ β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42 2re 12235 . . . 4 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
44 imo72b2lem0.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))))
4544idi 1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))))
4645fveq2d 6850 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) = (absβ€˜(2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))))
47 2cnd 12239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
4847, 11mulcld 11183 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) ∈ β„‚)
4948abscld 15330 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))) ∈ ℝ)
5046, 49eqeltrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ∈ ℝ)
511idi 1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
522idi 1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
537idi 1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5452, 53readdcld 11192 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ ℝ)
5551, 54ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ ℝ)
5655recnd 11191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ β„‚)
5756abscld 15330 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) ∈ ℝ)
5852, 53resubcld 11591 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
5951, 58ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
6059recnd 11191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ β„‚)
6160abscld 15330 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) ∈ ℝ)
6257, 61readdcld 11192 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ∈ ℝ)
6343, 41remulcld 11193 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
6456, 60abstrid 15350 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))))
651, 54fvco3d 6945 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 + 𝐡)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))))
6654, 22wfximgfd 42528 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
6731idi 1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
6866, 67eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
6965, 68eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
7025, 33, 40, 69suprubd 12125 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
711, 58fvco3d 6945 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))))
7258, 22wfximgfd 42528 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
7372, 31eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
7471, 73eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
7525, 33, 40, 74suprubd 12125 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
7657, 61, 41, 41, 70, 75le2addd 11782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ≀ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
7741recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ∈ β„‚)
78772timesd 12404 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
7978eqcomd 2739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )) = (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
8079, 63eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
8176, 79, 62, 80leeq2d 42522 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡))) + (absβ€˜(πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ≀ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
8250, 62, 63, 64, 81letrd 11320 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))) ≀ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
8382, 46, 50, 63leeq1d 42521 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))) ≀ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
84 0le2 12263 . . . . . 6 0 ≀ 2
8584a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 2)
863idi 1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
878idi 1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ ℝ)
8886, 87remulcld 11193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
8985, 43, 88absmulrposd 42523 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(2 Β· ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))) = (2 Β· (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))))
9083, 89, 49, 63leeq1d 42521 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)))) ≀ (2 Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
91 2pos 12264 . . . 4 0 < 2
9291a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
9312, 41, 43, 90, 92wwlemuld 42520 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
944, 9absmuld 15348 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))))
9594idi 1 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))))
9693, 95, 12, 41leeq1d 42521 1 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  ran crn 5638   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  2c2 12216  abscabs 15128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130
This theorem is referenced by:  imo72b2  42537
  Copyright terms: Public domain W3C validator