Theorem imo72b2lem0 44161

Description: Lemma for imo72b2 44168. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
imo72b2lem0.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem0	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imo72b2lem0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		imo72b2lem0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	ffvelcdmd 7060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11209	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
5		imo72b2lem0.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
6		imo72b2lem0.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	ffvelcdmd 7060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11209	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 8	absmuld 15430	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))))
10	4, 8	mulcld 11201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℝ)
12		absf 15311	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
14	13	fimassd 6712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
15		imaco 6227	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
16	2	ne0d 4308	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
17		ax-resscn 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
19	13, 18	fssresd 6730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
20	1, 19	fco2d 44158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
21	16, 20	wnefimgd 44157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
22	15, 21	eqnetrrid 3001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
23		1red 11182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
25	24	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑐 ↔ 𝑥 ≤ 1))
26	25	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1))
27		imo72b2lem0.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
28	1, 27	extoimad 44160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1)
29	23, 26, 28	rspcedvd 3593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐)
30	14, 22, 29	suprcld 12153	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
31		2re 12267	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
33		0le2 12295	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
35	3, 7	remulcld 11211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℝ)
36	34, 32, 35	absmulrposd 44155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) = (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
37		imo72b2lem0.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
38	37	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) = (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
39		2cnd 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
40	39, 10	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℂ)
41	40	abscld 15412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ∈ ℝ)
42	38, 41	eqeltrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
43	2, 6	readdcld 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
44	1, 43	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
47	2, 6	resubcld 11613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
48	1, 47	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
50	49	abscld 15412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
51	46, 50	readdcld 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
52	32, 30	remulcld 11211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
53	45, 49	abstrid 15432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))))
54	1, 43	fvco3d 6964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
55	43, 20	wfximgfd 44159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
56	55, 15	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
57	54, 56	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
58	14, 22, 29, 57	suprubd 12152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
59	1, 47	fvco3d 6964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))))
60	47, 20	wfximgfd 44159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
61	60, 15	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
62	59, 61	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
63	14, 22, 29, 62	suprubd 12152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
64	46, 50, 30, 30, 58, 63	le2addd 11804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
65	30	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℂ)
66	65	2timesd 12432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
67	64, 66	breqtrrd 5138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
68	42, 51, 52, 53, 67	letrd 11338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
69	38, 68	eqbrtrrd 5134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
70	36, 69	eqbrtrrd 5134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
71		2pos 12296	. . . 4 ⊢ 0 < 2
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
73	11, 30, 32, 70, 72	wwlemuld 44152	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
74	9, 73	eqbrtrrd 5134	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299   class class class wbr 5110   “ cima 5644   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  supcsup 9398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  2c2 12248  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  imo72b2  44168