Theorem imo72b2lem0 45124

Description: Lemma for imo72b2 45131. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
imo72b2lem0.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem0	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imo72b2lem0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		imo72b2lem0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	ffvelcdmd 7077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
5		imo72b2lem0.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
6		imo72b2lem0.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	ffvelcdmd 7077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 8	absmuld 15604	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))))
10	4, 8	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℝ)
12		absf 15485	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
14	13	fimassd 6723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
15		imaco 6245	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
16	2	ne0d 4288	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
17		ax-resscn 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
19	13, 18	fssresd 6741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
20	1, 19	fco2d 45121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
21	16, 20	wnefimgd 45120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
22	15, 21	eqnetrrid 3031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
23		1red 11290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
25	24	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑐 ↔ 𝑥 ≤ 1))
26	25	ralbidv 3186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1))
27		imo72b2lem0.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
28	1, 27	extoimad 45123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1)
29	23, 26, 28	rspcedvd 3579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐)
30	14, 22, 29	suprcld 12261	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
31		2re 12398	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
33		0le2 12426	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
35	3, 7	remulcld 11320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℝ)
36	34, 32, 35	absmulrposd 45118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) = (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
37		imo72b2lem0.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
38	37	fveq2d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) = (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
39		2cnd 12402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
40	39, 10	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℂ)
41	40	abscld 15586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ∈ ℝ)
42	38, 41	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
43	2, 6	readdcld 11319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
44	1, 43	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
47	2, 6	resubcld 11725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
48	1, 47	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
50	49	abscld 15586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
51	46, 50	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
52	32, 30	remulcld 11320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
53	45, 49	abstrid 15606	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))))
54	1, 43	fvco3d 6978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
55	43, 20	wfximgfd 45122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
56	55, 15	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
57	54, 56	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
58	14, 22, 29, 57	suprubd 12260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
59	1, 47	fvco3d 6978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))))
60	47, 20	wfximgfd 45122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
61	60, 15	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
62	59, 61	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
63	14, 22, 29, 62	suprubd 12260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
64	46, 50, 30, 30, 58, 63	le2addd 11916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
65	30	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℂ)
66	65	2timesd 12570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
67	64, 66	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
68	42, 51, 52, 53, 67	letrd 11448	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
69	38, 68	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
70	36, 69	eqbrtrrd 5129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
71		2pos 12428	. . . 4 ⊢ 0 < 2
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
73	11, 30, 32, 70, 72	wwlemuld 45115	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
74	9, 73	eqbrtrrd 5129	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  supcsup 9416  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  2c2 12378  abscabs 15381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383

This theorem is used by:  imo72b2  45131