Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem0 39304
Description: Lemma for imo72b2 39314. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem0.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.2 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
imo72b2lem0.6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem0 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imo72b2lem0.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 imo72b2lem0.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31, 2ffvelrnd 6614 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10392 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
54idi 2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6 imo72b2lem0.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
7 imo72b2lem0.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
86, 7ffvelrnd 6614 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
98recnd 10392 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
109idi 2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
115, 10mulcld 10384 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) ∈ ℂ)
1211abscld 14559 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ∈ ℝ)
13 imaco 5885 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
1413eqcomi 2834 . . . . 5 (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
15 imassrn 5722 . . . . . . 7 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
17 absf 14461 . . . . . . . . . 10 abs:ℂ⟶ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
19 ax-resscn 10316 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2118, 20fssresd 6312 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
221, 21fco2d 39300 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
2322frnd 6289 . . . . . 6 (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
2416, 23sstrd 3837 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
2514, 24syl5eqss 3874 . . . 4 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
26 0re 10365 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
2726ne0ii 4155 . . . . . . . . 9 ℝ ≠ ∅
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
2928, 22wnefimgd 39299 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
3029necomd 3054 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3114a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3230, 31neeqtrrd 3073 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
3332necomd 3054 . . . 4 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
34 1red 10364 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
35 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
3635breq2d 4887 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 = 1) → (𝑥𝑐𝑥 ≤ 1))
3736ralbidv 3195 . . . . 5 ((𝜑𝑐 = 1) → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1))
38 imo72b2lem0.6 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
391, 38extoimad 39303 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1)
4034, 37, 39rspcedvd 3533 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝑐)
4125, 33, 40suprcld 11323 . . 3 (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42 2re 11432 . . . 4 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
44 imo72b2lem0.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
4544idi 2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
4645fveq2d 6441 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) = (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))))
47 2cnd 11436 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4847, 11mulcld 10384 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ∈ ℂ)
4948abscld 14559 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ∈ ℝ)
5046, 49eqeltrd 2906 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ∈ ℝ)
511idi 2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
522idi 2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
537idi 2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5452, 53readdcld 10393 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5551, 54ffvelrnd 6614 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
5655recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
5756abscld 14559 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
5852, 53resubcld 10789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
5951, 58ffvelrnd 6614 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
6059recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
6160abscld 14559 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
6257, 61readdcld 10393 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ∈ ℝ)
6343, 41remulcld 10394 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
6456, 60abstrid 14579 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))))
651, 54fvco3d 39301 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
6654, 22wfximgfd 39302 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
6731idi 2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
6866, 67eleqtrrd 2909 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
6965, 68eqeltrrd 2907 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7025, 33, 40, 69suprubd 11322 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
711, 58fvco3d 39301 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))))
7258, 22wfximgfd 39302 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
7372, 31eleqtrrd 2909 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7471, 73eqeltrrd 2907 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7525, 33, 40, 74suprubd 11322 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
7657, 61, 41, 41, 70, 75le2addd 10978 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
7741recnd 10392 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℂ)
78772timesd 11608 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
7978eqcomd 2831 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8079, 63eqeltrd 2906 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
8176, 79, 62, 80leeq2d 39295 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8250, 62, 63, 64, 81letrd 10520 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8382, 46, 50, 63leeq1d 39294 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
84 0le2 11467 . . . . . 6 0 ≤ 2
8584a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 2)
863idi 2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
878idi 2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
8886, 87remulcld 10394 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) ∈ ℝ)
8985, 43, 88absmulrposd 39296 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) = (2 · (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))))
9083, 89, 49, 63leeq1d 39294 . . 3 (𝜑 → (2 · (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
91 2pos 11468 . . . 4 0 < 2
9291a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 2)
9312, 41, 43, 90, 92wwlemuld 39293 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
944, 9absmuld 14577 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) = ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))))
9594idi 2 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) = ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))))
9693, 95, 12, 41leeq1d 39294 1 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wss 3798  c0 4146   class class class wbr 4875  ran crn 5347  cima 5349  ccom 5350  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  supcsup 8621  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592  2c2 11413  abscabs 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360
This theorem is referenced by:  imo72b2  39314
  Copyright terms: Public domain W3C validator