Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem0 42428
Description: Lemma for imo72b2 42435. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem0.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.2 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
imo72b2lem0.6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem0 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imo72b2lem0.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 imo72b2lem0.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31, 2ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
54idi 1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6 imo72b2lem0.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
7 imo72b2lem0.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
86, 7ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
98recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
109idi 1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
115, 10mulcld 11175 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) ∈ ℂ)
1211abscld 15321 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ∈ ℝ)
13 imaco 6203 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
1413eqcomi 2745 . . . . 5 (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
15 imassrn 6024 . . . . . . 7 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
17 absf 15222 . . . . . . . . . 10 abs:ℂ⟶ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
19 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2118, 20fssresd 6709 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
221, 21fco2d 42425 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
2322frnd 6676 . . . . . 6 (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
2416, 23sstrd 3954 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
2514, 24eqsstrid 3992 . . . 4 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
26 0re 11157 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
2726ne0ii 4297 . . . . . . . . 9 ℝ ≠ ∅
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
2928, 22wnefimgd 42424 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
3029necomd 2999 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3114a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3230, 31neeqtrrd 3018 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
3332necomd 2999 . . . 4 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
34 1red 11156 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
35 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
3635breq2d 5117 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 = 1) → (𝑥𝑐𝑥 ≤ 1))
3736ralbidv 3174 . . . . 5 ((𝜑𝑐 = 1) → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1))
38 imo72b2lem0.6 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
391, 38extoimad 42427 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1)
4034, 37, 39rspcedvd 3583 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝑐)
4125, 33, 40suprcld 12118 . . 3 (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42 2re 12227 . . . 4 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
44 imo72b2lem0.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
4544idi 1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
4645fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) = (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))))
47 2cnd 12231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4847, 11mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ∈ ℂ)
4948abscld 15321 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ∈ ℝ)
5046, 49eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ∈ ℝ)
511idi 1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
522idi 1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
537idi 1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5452, 53readdcld 11184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5551, 54ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
5655recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
5756abscld 15321 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
5852, 53resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
5951, 58ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
6059recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
6160abscld 15321 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
6257, 61readdcld 11184 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ∈ ℝ)
6343, 41remulcld 11185 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
6456, 60abstrid 15341 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))))
651, 54fvco3d 6941 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
6654, 22wfximgfd 42426 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
6731idi 1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
6866, 67eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
6965, 68eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7025, 33, 40, 69suprubd 12117 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
711, 58fvco3d 6941 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))))
7258, 22wfximgfd 42426 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
7372, 31eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7471, 73eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7525, 33, 40, 74suprubd 12117 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
7657, 61, 41, 41, 70, 75le2addd 11774 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
7741recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℂ)
78772timesd 12396 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
7978eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8079, 63eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
8176, 79, 62, 80leeq2d 42420 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8250, 62, 63, 64, 81letrd 11312 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8382, 46, 50, 63leeq1d 42419 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
84 0le2 12255 . . . . . 6 0 ≤ 2
8584a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 2)
863idi 1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
878idi 1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
8886, 87remulcld 11185 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) ∈ ℝ)
8985, 43, 88absmulrposd 42421 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) = (2 · (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))))
9083, 89, 49, 63leeq1d 42419 . . 3 (𝜑 → (2 · (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
91 2pos 12256 . . . 4 0 < 2
9291a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 2)
9312, 41, 43, 90, 92wwlemuld 42418 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
944, 9absmuld 15339 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) = ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))))
9594idi 1 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) = ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))))
9693, 95, 12, 41leeq1d 42419 1 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cima 5636  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  2c2 12208  abscabs 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  imo72b2  42435
  Copyright terms: Public domain W3C validator