Theorem imo72b2lem0 44127

Description: Lemma for imo72b2 44134. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
imo72b2lem0.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem0	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imo72b2lem0.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		imo72b2lem0.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	idi 1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
6		imo72b2lem0.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
7		imo72b2lem0.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
10	9	idi 1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
11	5, 10	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℝ)
13		imaco 6282	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
14	13	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
15		imassrn 6100	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
17		absf 15386	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
19		ax-resscn 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
21	18, 20	fssresd 6788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
22	1, 21	fco2d 44124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
23	22	frnd 6755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
24	16, 23	sstrd 4019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
25	14, 24	eqsstrid 4057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
26		0re 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
27	26	ne0ii 4367	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ≠ ∅
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
29	28, 22	wnefimgd 44123	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
30	29	necomd 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
31	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
32	30, 31	neeqtrrd 3021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
33	32	necomd 3002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
34		1red 11291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
35		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
36	35	breq2d 5178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑐 ↔ 𝑥 ≤ 1))
37	36	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1))
38		imo72b2lem0.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
39	1, 38	extoimad 44126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1)
40	34, 37, 39	rspcedvd 3637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐)
41	25, 33, 40	suprcld 12258	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42		2re 12367	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
44		imo72b2lem0.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
45	44	idi 1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
46	45	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) = (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
47		2cnd 12371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
48	47, 11	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℂ)
49	48	abscld 15485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ∈ ℝ)
50	46, 49	eqeltrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
51	1	idi 1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
52	2	idi 1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
53	7	idi 1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
54	52, 53	readdcld 11319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
55	51, 54	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
57	56	abscld 15485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
58	52, 53	resubcld 11718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
59	51, 58	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
60	59	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
61	60	abscld 15485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
62	57, 61	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
63	43, 41	remulcld 11320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
64	56, 60	abstrid 15505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))))
65	1, 54	fvco3d 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
66	54, 22	wfximgfd 44125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
67	31	idi 1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
68	66, 67	eleqtrrd 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
69	65, 68	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
70	25, 33, 40, 69	suprubd 12257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
71	1, 58	fvco3d 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))))
72	58, 22	wfximgfd 44125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
73	72, 31	eleqtrrd 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
74	71, 73	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
75	25, 33, 40, 74	suprubd 12257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
76	57, 61, 41, 41, 70, 75	le2addd 11909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
77	41	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℂ)
78	77	2timesd 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
79	78	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
80	79, 63	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
81	76, 79, 62, 80	leeq2d 44120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
82	50, 62, 63, 64, 81	letrd 11447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
83	82, 46, 50, 63	leeq1d 44119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
84		0le2 12395	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
86	3	idi 1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
87	8	idi 1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
88	86, 87	remulcld 11320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℝ)
89	85, 43, 88	absmulrposd 44121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) = (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
90	83, 89, 49, 63	leeq1d 44119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
91		2pos 12396	. . . 4 ⊢ 0 < 2
92	91	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
93	12, 41, 43, 90, 92	wwlemuld 44118	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
94	4, 9	absmuld 15503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))))
95	94	idi 1	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))))
96	93, 95, 12, 41	leeq1d 44119	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  ran crn 5701   “ cima 5703   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  2c2 12348  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  imo72b2  44134