Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem0 42149
Description: Lemma for imo72b2 42156. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem0.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.2 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
imo72b2lem0.6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem0 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imo72b2lem0.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 imo72b2lem0.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31, 2ffvelcdmd 7027 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 11113 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
54idi 1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6 imo72b2lem0.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
7 imo72b2lem0.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
86, 7ffvelcdmd 7027 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
98recnd 11113 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
109idi 1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
115, 10mulcld 11105 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) ∈ ℂ)
1211abscld 15252 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ∈ ℝ)
13 imaco 6196 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
1413eqcomi 2746 . . . . 5 (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
15 imassrn 6017 . . . . . . 7 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
17 absf 15153 . . . . . . . . . 10 abs:ℂ⟶ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
19 ax-resscn 11038 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2118, 20fssresd 6701 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
221, 21fco2d 42146 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
2322frnd 6668 . . . . . 6 (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
2416, 23sstrd 3949 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
2514, 24eqsstrid 3987 . . . 4 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
26 0re 11087 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
2726ne0ii 4292 . . . . . . . . 9 ℝ ≠ ∅
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
2928, 22wnefimgd 42145 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
3029necomd 2997 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3114a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3230, 31neeqtrrd 3016 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
3332necomd 2997 . . . 4 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
34 1red 11086 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
35 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
3635breq2d 5112 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 = 1) → (𝑥𝑐𝑥 ≤ 1))
3736ralbidv 3172 . . . . 5 ((𝜑𝑐 = 1) → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1))
38 imo72b2lem0.6 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
391, 38extoimad 42148 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1)
4034, 37, 39rspcedvd 3578 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝑐)
4125, 33, 40suprcld 12048 . . 3 (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42 2re 12157 . . . 4 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
44 imo72b2lem0.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
4544idi 1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵))) = (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
4645fveq2d 6838 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) = (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))))
47 2cnd 12161 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4847, 11mulcld 11105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ∈ ℂ)
4948abscld 15252 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ∈ ℝ)
5046, 49eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ∈ ℝ)
511idi 1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
522idi 1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
537idi 1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5452, 53readdcld 11114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5551, 54ffvelcdmd 7027 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
5655recnd 11113 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
5756abscld 15252 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
5852, 53resubcld 11513 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
5951, 58ffvelcdmd 7027 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
6059recnd 11113 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
6160abscld 15252 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
6257, 61readdcld 11114 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ∈ ℝ)
6343, 41remulcld 11115 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
6456, 60abstrid 15272 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))))
651, 54fvco3d 6933 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
6654, 22wfximgfd 42147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
6731idi 1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
6866, 67eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
6965, 68eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7025, 33, 40, 69suprubd 12047 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
711, 58fvco3d 6933 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))))
7258, 22wfximgfd 42147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
7372, 31eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7471, 73eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
7525, 33, 40, 74suprubd 12047 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
7657, 61, 41, 41, 70, 75le2addd 11704 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
7741recnd 11113 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℂ)
78772timesd 12326 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
7978eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8079, 63eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
8176, 79, 62, 80leeq2d 42141 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8250, 62, 63, 64, 81letrd 11242 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
8382, 46, 50, 63leeq1d 42140 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
84 0le2 12185 . . . . . 6 0 ≤ 2
8584a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 2)
863idi 1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
878idi 1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
8886, 87remulcld 11115 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) ∈ ℝ)
8985, 43, 88absmulrposd 42142 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) = (2 · (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))))
9083, 89, 49, 63leeq1d 42140 . . 3 (𝜑 → (2 · (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
91 2pos 12186 . . . 4 0 < 2
9291a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 2)
9312, 41, 43, 90, 92wwlemuld 42139 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
944, 9absmuld 15270 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) = ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))))
9594idi 1 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) = ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))))
9693, 95, 12, 41leeq1d 42140 1 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝐴)) · (abs‘(𝐺𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wss 3905  c0 4277   class class class wbr 5100  ran crn 5628  cima 5630  ccom 5631  wf 6484  cfv 6488  (class class class)co 7346  supcsup 9306  cc 10979  cr 10980  0cc0 10981  1c1 10982   + caddc 10984   · cmul 10986   < clt 11119  cle 11120  cmin 11315  2c2 12138  abscabs 15049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-sup 9308  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-rp 12841  df-seq 13832  df-exp 13893  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051
This theorem is referenced by:  imo72b2  42156
  Copyright terms: Public domain W3C validator