Theorem imo72b2lem0 45013

Description: Lemma for imo72b2 45020. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
imo72b2lem0.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem0	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imo72b2lem0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		imo72b2lem0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	ffvelcdmd 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
5		imo72b2lem0.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
6		imo72b2lem0.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	ffvelcdmd 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 8	absmuld 15548	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))))
10	4, 8	mulcld 11257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15530	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℝ)
12		absf 15429	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
14	13	fimassd 6728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
15		imaco 6251	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
16	2	ne0d 4291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
17		ax-resscn 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
19	13, 18	fssresd 6746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
20	1, 19	fco2d 45010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
21	16, 20	wnefimgd 45009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
22	15, 21	eqnetrrid 3032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
23		1red 11237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
25	24	breq2d 5119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑐 ↔ 𝑥 ≤ 1))
26	25	ralbidv 3187	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1))
27		imo72b2lem0.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
28	1, 27	extoimad 45012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1)
29	23, 26, 28	rspcedvd 3581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐)
30	14, 22, 29	suprcld 12206	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
31		2re 12343	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
33		0le2 12371	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
35	3, 7	remulcld 11267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℝ)
36	34, 32, 35	absmulrposd 45007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) = (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
37		imo72b2lem0.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
38	37	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) = (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
39		2cnd 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
40	39, 10	mulcld 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℂ)
41	40	abscld 15530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ∈ ℝ)
42	38, 41	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
43	2, 6	readdcld 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
44	1, 43	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
47	2, 6	resubcld 11670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
48	1, 47	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
50	49	abscld 15530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
51	46, 50	readdcld 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
52	32, 30	remulcld 11267	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
53	45, 49	abstrid 15550	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))))
54	1, 43	fvco3d 6983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
55	43, 20	wfximgfd 45011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
56	55, 15	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
57	54, 56	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
58	14, 22, 29, 57	suprubd 12205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
59	1, 47	fvco3d 6983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))))
60	47, 20	wfximgfd 45011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
61	60, 15	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
62	59, 61	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
63	14, 22, 29, 62	suprubd 12205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
64	46, 50, 30, 30, 58, 63	le2addd 11861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
65	30	recnd 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℂ)
66	65	2timesd 12515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
67	64, 66	breqtrrd 5137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
68	42, 51, 52, 53, 67	letrd 11395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
69	38, 68	eqbrtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
70	36, 69	eqbrtrrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
71		2pos 12373	. . . 4 ⊢ 0 < 2
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
73	11, 30, 32, 70, 72	wwlemuld 45004	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
74	9, 73	eqbrtrrd 5133	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  supcsup 9414  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  2c2 12323  abscabs 15325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327

This theorem is used by:  imo72b2  45020