Theorem imo72b2lem0 44871

Description: Lemma for imo72b2 44878. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
imo72b2lem0.5	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
imo72b2lem0.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem0	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem imo72b2lem0

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imo72b2lem0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		imo72b2lem0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	ffvelcdmd 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
5		imo72b2lem0.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
6		imo72b2lem0.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	ffvelcdmd 7082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 8	absmuld 15510	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))))
10	4, 8	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℝ)
12		absf 15391	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
14	13	fimassd 6729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
15		imaco 6254	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
16	2	ne0d 4296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
17		ax-resscn 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
19	13, 18	fssresd 6747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
20	1, 19	fco2d 44868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
21	16, 20	wnefimgd 44867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
22	15, 21	eqnetrrid 3033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
23		1red 11210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
25	24	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑐 ↔ 𝑥 ≤ 1))
26	25	ralbidv 3188	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1))
27		imo72b2lem0.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
28	1, 27	extoimad 44870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 1)
29	23, 26, 28	rspcedvd 3584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝑐)
30	14, 22, 29	suprcld 12179	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
31		2re 12316	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
33		0le2 12344	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 2)
35	3, 7	remulcld 11240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℝ)
36	34, 32, 35	absmulrposd 44865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) = (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
37		imo72b2lem0.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
38	37	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) = (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))))
39		2cnd 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
40	39, 10	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ∈ ℂ)
41	40	abscld 15492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ∈ ℝ)
42	38, 41	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
43	2, 6	readdcld 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
44	1, 43	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ)
47	2, 6	resubcld 11643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
48	1, 47	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
50	49	abscld 15492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
51	46, 50	readdcld 11239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
52	32, 30	remulcld 11240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) ∈ ℝ)
53	45, 49	abstrid 15512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))))
54	1, 43	fvco3d 6984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))))
55	43, 20	wfximgfd 44869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
56	55, 15	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
57	54, 56	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
58	14, 22, 29, 57	suprubd 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
59	1, 47	fvco3d 6984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))))
60	47, 20	wfximgfd 44869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
61	60, 15	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹)‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
62	59, 61	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
63	14, 22, 29, 62	suprubd 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
64	46, 50, 30, 30, 58, 63	le2addd 11834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
65	30	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℂ)
66	65	2timesd 12488	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )) = (sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ) + sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
67	64, 66	breqtrrd 5140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘(𝐴 + 𝐵))) + (abs‘(𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
68	42, 51, 52, 53, 67	letrd 11368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐹‘(𝐴 − 𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
69	38, 68	eqbrtrrd 5136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
70	36, 69	eqbrtrrd 5136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)))) ≤ (2 · sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < )))
71		2pos 12346	. . . 4 ⊢ 0 < 2
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
73	11, 30, 32, 70, 72	wwlemuld 44862	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
74	9, 73	eqbrtrrd 5136	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) · (abs‘(𝐺‘𝐵))) ≤ sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287   class class class wbr 5110   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  supcsup 9401  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  2c2 12296  abscabs 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289

This theorem is referenced by:  imo72b2  44878