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Theorem imo72b2 42924
Description: IMO 1972 B2. (14th International Mathematical Olympiad in Poland, problem B2). (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
imo72b2.2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
imo72b2.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
imo72b2.5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ βˆ€π‘£ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))))
imo72b2.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
imo72b2.7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)
Assertion
Ref Expression
imo72b2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) ≀ 1)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐡,𝑣   π‘₯,𝐡   𝑦,𝐡   𝑒,𝐹,𝑣   π‘₯,𝐹   𝑦,𝐹   𝑒,𝐺,𝑣   π‘₯,𝐺   𝑦,𝐺   πœ‘,𝑒,𝑣   πœ‘,π‘₯   πœ‘,𝑦,𝑒

Proof of Theorem imo72b2
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imo72b2.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
2 imo72b2.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31, 2ffvelcdmd 7088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ ℝ)
43recnd 11242 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ β„‚)
54abscld 15383 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
6 1red 11215 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
7 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)))
81adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
92adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
108, 9ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ ℝ)
1110recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ β„‚)
1211abscld 15383 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
136adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ 1 ∈ ℝ)
14 ax-resscn 11167 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
15 imaco 6251 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))
1615eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ)
17 imassrn 6071 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ran (abs ∘ 𝐹)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ran (abs ∘ 𝐹))
19 imo72b2.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21 absf 15284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:β„‚βŸΆβ„
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
2314a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
2422, 23fssresd 6759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (abs β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
2520, 24fco2d 42914 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (abs ∘ 𝐹):β„βŸΆβ„)
2625frnd 6726 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ ran (abs ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
2718, 26sstrd 3993 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ℝ)
2816, 27eqsstrid 4031 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) βŠ† ℝ)
29 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
3029ne0ii 4338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ β‰  βˆ…
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ ℝ β‰  βˆ…)
3231, 25wnefimgd 42913 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) β‰  βˆ…)
3332necomd 2997 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ βˆ… β‰  ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
3416a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
3533, 34neeqtrrd 3016 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ βˆ… β‰  (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
3635necomd 2997 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) β‰  βˆ…)
37 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑐 = 1) β†’ 𝑐 = 1)
3837breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑐 = 1) β†’ (𝑑 ≀ 𝑐 ↔ 𝑑 ≀ 1))
3938ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑐 = 1) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 1))
40 imo72b2.6 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
4119, 40extoimad 42916 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 1)
4241adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 1)
4313, 39, 42rspcedvd 3615 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 𝑐)
4428, 36, 43suprcld 12177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
4514, 44sselid 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ∈ β„‚)
4614, 12sselid 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
4745, 46mulcomd 11235 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) = ((absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
4829a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ 0 ∈ ℝ)
49 0lt1 11736 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ 0 < 1)
5148, 13, 12, 50, 7lttrd 11375 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ 0 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)))
5251gt0ne0d 11778 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) β‰  0)
5344, 12, 52redivcld 12042 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) / (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
5420adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
558adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
56 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
579adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
58 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ 𝑣 = 𝐡)
5958oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ (𝑒 + 𝑣) = (𝑒 + 𝐡))
6059fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) = (πΉβ€˜(𝑒 + 𝐡)))
6158oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ (𝑒 βˆ’ 𝑣) = (𝑒 βˆ’ 𝐡))
6261fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣)) = (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐡)))
6360, 62oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐡))))
6458fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (πΊβ€˜π΅))
6564oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π΅)))
6665oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π΅))))
6763, 66eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))) ↔ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π΅)))))
6867ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))) ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π΅)))))
69 imo72b2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ βˆ€π‘£ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))))
70 ralcom 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘’ ∈ ℝ βˆ€π‘£ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))))
7170biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘’ ∈ ℝ βˆ€π‘£ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))))
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ βˆ€π‘£ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£)))))
7372imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ βˆ€π‘£ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£)))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))))
7469, 73mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝑣)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑣))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π‘£))))
7568, 2, 74rspcdv2 3608 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π΅))))
7675r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π΅))))
7776adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑒 + 𝐡)) + (πΉβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((πΉβ€˜π‘’) Β· (πΊβ€˜π΅))))
7840ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
7954, 55, 56, 57, 77, 78imo72b2lem0 42917 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
80 0xr 11261 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ*)
82 1xr 11273 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ*
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ*)
8412adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
8584rexrd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
8649a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 0 < 1)
87 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)))
8881, 83, 85, 86, 87xrlttrd 13138 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ 0 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)))
8920ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ ℝ)
9089recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚)
9190abscld 15383 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ∈ ℝ)
9244adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
9379, 88, 84, 91, 92lemuldiv3d 42922 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ≀ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) / (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))))
9493ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ≀ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) / (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))))
9520, 53, 94imo72b2lem2 42919 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ≀ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) / (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))))
9695, 51, 12, 44, 44lemuldiv4d 42923 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
9747, 96eqbrtrrd 5173 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) Β· sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )) ≀ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
98 imo72b2.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)
9998adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)
10040adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
10120, 99, 100imo72b2lem1 42921 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ 0 < sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
10297, 101, 44, 12, 44lemuldiv3d 42922 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) ≀ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) / sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
10323, 44sseldd 3984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) ∈ β„‚)
104101gt0ne0d 11778 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) β‰  0)
105103, 104dividd 11988 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) / sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )) = 1)
106105eqcomd 2739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ 1 = (sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ) / sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < )))
107102, 106breqtrrd 5177 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) ≀ 1)
10812, 13, 107lensymd 11365 . . 3 ((πœ‘ ∧ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅))) β†’ Β¬ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)))
1097, 108pm2.65da 816 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 1 < (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)))
1105, 6, 109nltled 11364 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π΅)) ≀ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
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