Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem1 42534
Description: Lemma for imo72b2 42537. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
imo72b2lem1.7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)
imo72b2lem1.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem1 (πœ‘ β†’ 0 < sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   𝑦,𝐹   πœ‘,π‘₯   πœ‘,𝑦

Proof of Theorem imo72b2lem1
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imaco 6207 . . 3 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))
2 imassrn 6028 . . . 4 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ran (abs ∘ 𝐹)
3 imo72b2lem1.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
4 absf 15231 . . . . . . . 8 abs:β„‚βŸΆβ„
54a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
6 ax-resscn 11116 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
85, 7fssresd 6713 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (abs β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
93, 8fco2d 42527 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹):β„βŸΆβ„)
109frnd 6680 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (abs ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
112, 10sstrid 3959 . . 3 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ℝ)
121, 11eqsstrrid 3997 . 2 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) βŠ† ℝ)
13 0re 11165 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1413ne0ii 4301 . . . . 5 ℝ β‰  βˆ…
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ β‰  βˆ…)
1615, 9wnefimgd 42526 . . 3 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) β‰  βˆ…)
171, 16eqnetrrid 3016 . 2 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) β‰  βˆ…)
18 1red 11164 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
19 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ 𝑐 = 1)
2019breq2d 5121 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ (𝑑 ≀ 𝑐 ↔ 𝑑 ≀ 1))
2120ralbidv 3171 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 1))
22 imo72b2lem1.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
233, 22extoimad 42529 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 1)
2418, 21, 23rspcedvd 3585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 𝑐)
25 0red 11166 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
26 imo72b2lem1.7 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)
273adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
28 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2927, 28fvco3d 6945 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
309funfvima2d 7186 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
3130adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
3231, 1eleqtrdi 2844 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
3329, 32eqeltrrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
34 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑧 = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑧 = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3534breq2d 5121 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑧 = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (0 < 𝑧 ↔ 0 < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
363ffvelcdmda 7039 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3736adantrr 716 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3837recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
39 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)
4038, 39absrpcld 15342 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
4140rpgt0d 12968 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 0 < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4233, 35, 41rspcedvd 3585 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))0 < 𝑧)
4326, 42rexlimddv 3155 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))0 < 𝑧)
4412, 17, 24, 25, 43suprlubrd 42533 1 (πœ‘ β†’ 0 < sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  ran crn 5638   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  supcsup 9384  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   < clt 11197   ≀ cle 11198  abscabs 15128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130
This theorem is referenced by:  imo72b2  42537
  Copyright terms: Public domain W3C validator