Theorem imo72b2lem1 39409

Description: Lemma for imo72b2 39413. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem1.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
imo72b2lem1.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem1	⊢ (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem imo72b2lem1

Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaco 5894	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2	1	eqcomi 2786	. . 3 ⊢ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ)
3		imassrn 5731	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹))
5		imo72b2lem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6		absf 14484	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
8		ax-resscn 10329	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10	7, 9	fssresd 6321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
11	5, 10	fco2d 39399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
12	11	frnd 6298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
13	4, 12	sstrd 3830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
14	2, 13	syl5eqss 3867	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
15		0re 10378	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	15	ne0ii 4151	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
18	17, 11	wnefimgd 39398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
19	18	necomd 3023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
20	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) = ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
21	19, 20	neeqtrrd 3042	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
22	21	necomd 3023	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
23		1red 10377	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
25	24	breq2d 4898	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑡 ≤ 𝑐 ↔ 𝑡 ≤ 1))
26	25	ralbidv 3167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1))
27		imo72b2lem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
28	5, 27	extoimad 39402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1)
29	23, 26, 28	rspcedvd 3517	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝑐)
30		0red 10380	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
31		imo72b2lem1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
32	5	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
33		simprl 761	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	32, 33	fvco3d 39400	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
35	11	funfvima2d 39407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
36	35	adantrr 707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
37	36, 1	syl6eleq 2868	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
38	34, 37	eqeltrrd 2859	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
39		simpr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥))) → 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
40	39	breq2d 4898	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥))) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
41	5	ffvelrnda 6623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
42	41	adantrr 707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
43	42	recnd 10405	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
44		simprr 763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
45	43, 44	absrpcld 14595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ+)
46	45	rpgt0d 12184	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑥)))
47	38, 40, 46	rspcedvd 3517	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
48	31, 47	rexlimddv 3217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
49	14, 22, 29, 30, 48	suprlubrd 39408	1 ⊢ (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∀wral 3089  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3791  ∅c0 4140   class class class wbr 4886  ran crn 5356   “ cima 5358   ∘ ccom 5359  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  supcsup 8634  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   < clt 10411   ≤ cle 10412  abscabs 14381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383

This theorem is referenced by:  imo72b2  39413