Theorem imo72b2lem1 40874

Description: Lemma for imo72b2 40878. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem1.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
imo72b2lem1.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem1	⊢ (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem imo72b2lem1

Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaco 6071	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2		imassrn 5907	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
3		imo72b2lem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		absf 14689	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
6		ax-resscn 10583	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssresd 6519	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
9	3, 8	fco2d 40866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
10	9	frnd 6494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
11	2, 10	sstrid 3926	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
12	1, 11	eqsstrrid 3964	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
13		0re 10632	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	13	ne0ii 4253	. . . . 5 ⊢ ℝ ≠ ∅
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
16	15, 9	wnefimgd 40865	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
17	1, 16	eqnetrrid 3062	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
18		1red 10631	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
19		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
20	19	breq2d 5042	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑡 ≤ 𝑐 ↔ 𝑡 ≤ 1))
21	20	ralbidv 3162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1))
22		imo72b2lem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
23	3, 22	extoimad 40868	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1)
24	18, 21, 23	rspcedvd 3574	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝑐)
25		0red 10633	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26		imo72b2lem1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
27	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
29	27, 28	fvco3d 6738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
30	9	funfvima2d 6972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
31	30	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
32	31, 1	eleqtrdi 2900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
33	29, 32	eqeltrrd 2891	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
34		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥))) → 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
35	34	breq2d 5042	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥))) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
36	3	ffvelrnda 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
37	36	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
39		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
40	38, 39	absrpcld 14800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ+)
41	40	rpgt0d 12422	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑥)))
42	33, 35, 41	rspcedvd 3574	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
43	26, 42	rexlimddv 3250	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
44	12, 17, 24, 25, 43	suprlubrd 40873	1 ⊢ (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  ran crn 5520   “ cima 5522   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  supcsup 8888  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664   ≤ cle 10665  abscabs 14585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587

This theorem is referenced by:  imo72b2  40878