Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem1 43663
Description: Lemma for imo72b2 43666. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem1.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
imo72b2lem1.7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)
imo72b2lem1.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem1 (πœ‘ β†’ 0 < sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   𝑦,𝐹   πœ‘,π‘₯   πœ‘,𝑦

Proof of Theorem imo72b2lem1
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imaco 6250 . . 3 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))
2 imassrn 6069 . . . 4 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ran (abs ∘ 𝐹)
3 imo72b2lem1.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
4 absf 15314 . . . . . . . 8 abs:β„‚βŸΆβ„
54a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
6 ax-resscn 11193 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
85, 7fssresd 6758 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (abs β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
93, 8fco2d 43656 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹):β„βŸΆβ„)
109frnd 6724 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (abs ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
112, 10sstrid 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) βŠ† ℝ)
121, 11eqsstrrid 4022 . 2 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) βŠ† ℝ)
13 0re 11244 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1413ne0ii 4333 . . . . 5 ℝ β‰  βˆ…
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ β‰  βˆ…)
1615, 9wnefimgd 43655 . . 3 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) β‰  βˆ…)
171, 16eqnetrrid 3006 . 2 (πœ‘ β†’ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) β‰  βˆ…)
18 1red 11243 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
19 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ 𝑐 = 1)
2019breq2d 5155 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ (𝑑 ≀ 𝑐 ↔ 𝑑 ≀ 1))
2120ralbidv 3168 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 = 1) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 1))
22 imo72b2lem1.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 1)
233, 22extoimad 43658 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 1)
2418, 21, 23rspcedvd 3604 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))𝑑 ≀ 𝑐)
25 0red 11245 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
26 imo72b2lem1.7 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)
273adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
28 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2927, 28fvco3d 6992 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
309funfvima2d 7239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
3130adantrr 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
3231, 1eleqtrdi 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
3329, 32eqeltrrd 2826 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
34 simpr 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑧 = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑧 = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3534breq2d 5155 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑧 = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (0 < 𝑧 ↔ 0 < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
363ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3736adantrr 715 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3837recnd 11270 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
39 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)
4038, 39absrpcld 15425 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
4140rpgt0d 13049 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 0 < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4233, 35, 41rspcedvd 3604 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))0 < 𝑧)
4326, 42rexlimddv 3151 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))0 < 𝑧)
4412, 17, 24, 25, 43suprlubrd 43662 1 (πœ‘ β†’ 0 < sup((abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  ran crn 5673   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  supcsup 9461  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   < clt 11276   ≀ cle 11277  abscabs 15211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213
This theorem is referenced by:  imo72b2  43666
  Copyright terms: Public domain W3C validator