Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem1 40656
 Description: Lemma for imo72b2 40660. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem1.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem1.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ≠ 0)
imo72b2lem1.6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem1 (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem imo72b2lem1
Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imaco 6080 . . 3 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2 imassrn 5916 . . . 4 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
3 imo72b2lem1.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
4 absf 14677 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
6 ax-resscn 10572 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85, 7fssresd 6521 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
93, 8fco2d 40648 . . . . 5 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
109frnd 6497 . . . 4 (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
112, 10sstrid 3957 . . 3 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
121, 11eqsstrrid 3995 . 2 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
13 0re 10621 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1413ne0ii 4279 . . . . 5 ℝ ≠ ∅
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
1615, 9wnefimgd 40647 . . 3 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
171, 16eqnetrrid 3081 . 2 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
18 1red 10620 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
19 simpr 487 . . . . 5 ((𝜑𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
2019breq2d 5054 . . . 4 ((𝜑𝑐 = 1) → (𝑡𝑐𝑡 ≤ 1))
2120ralbidv 3184 . . 3 ((𝜑𝑐 = 1) → (∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡𝑐 ↔ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1))
22 imo72b2lem1.6 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
233, 22extoimad 40650 . . 3 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1)
2418, 21, 23rspcedvd 3605 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡𝑐)
25 0red 10622 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26 imo72b2lem1.7 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ≠ 0)
273adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2927, 28fvco3d 6737 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
309funfvima2d 6971 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3130adantrr 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3231, 1eleqtrdi 2921 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
3329, 32eqeltrrd 2912 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
34 simpr 487 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹𝑥))) → 𝑧 = (abs‘(𝐹𝑥)))
3534breq2d 5054 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹𝑥))) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑥))))
363ffvelrnda 6827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3736adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3837recnd 10647 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
39 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → (𝐹𝑥) ≠ 0)
4038, 39absrpcld 14788 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ+)
4140rpgt0d 12413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → 0 < (abs‘(𝐹𝑥)))
4233, 35, 41rspcedvd 3605 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
4326, 42rexlimddv 3278 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
4412, 17, 24, 25, 43suprlubrd 40655 1 (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ∀wral 3125  ∃wrex 3126   ⊆ wss 3913  ∅c0 4269   class class class wbr 5042  ran crn 5532   “ cima 5534   ∘ ccom 5535  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  supcsup 8882  ℂcc 10513  ℝcr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   < clt 10653   ≤ cle 10654  abscabs 14573 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575 This theorem is referenced by:  imo72b2  40660
 Copyright terms: Public domain W3C validator