Theorem imo72b2lem1 43502

Description: Lemma for imo72b2 43505. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem1.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
imo72b2lem1.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem1	⊢ (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem imo72b2lem1

Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaco 6244	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2		imassrn 6064	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
3		imo72b2lem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		absf 15290	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
6		ax-resscn 11169	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssresd 6752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
9	3, 8	fco2d 43495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
10	9	frnd 6719	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
11	2, 10	sstrid 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
12	1, 11	eqsstrrid 4026	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
13		0re 11220	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	13	ne0ii 4332	. . . . 5 ⊢ ℝ ≠ ∅
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
16	15, 9	wnefimgd 43494	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
17	1, 16	eqnetrrid 3010	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
18		1red 11219	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
20	19	breq2d 5153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑡 ≤ 𝑐 ↔ 𝑡 ≤ 1))
21	20	ralbidv 3171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1))
22		imo72b2lem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
23	3, 22	extoimad 43497	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1)
24	18, 21, 23	rspcedvd 3608	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝑐)
25		0red 11221	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26		imo72b2lem1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
27	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
29	27, 28	fvco3d 6985	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
30	9	funfvima2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
31	30	adantrr 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
32	31, 1	eleqtrdi 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
33	29, 32	eqeltrrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
34		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥))) → 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
35	34	breq2d 5153	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥))) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
36	3	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
37	36	adantrr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
39		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
40	38, 39	absrpcld 15401	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ+)
41	40	rpgt0d 13025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑥)))
42	33, 35, 41	rspcedvd 3608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
43	26, 42	rexlimddv 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
44	12, 17, 24, 25, 43	suprlubrd 43501	1 ⊢ (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317   class class class wbr 5141  ran crn 5670   “ cima 5672   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  supcsup 9437  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252   ≤ cle 11253  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  imo72b2  43505