Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imo72b2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imo72b2lem1 41326
Description: Lemma for imo72b2 41330. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
imo72b2lem1.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem1.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ≠ 0)
imo72b2lem1.6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
imo72b2lem1 (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem imo72b2lem1
Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imaco 6084 . . 3 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2 imassrn 5914 . . . 4 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
3 imo72b2lem1.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
4 absf 14787 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
6 ax-resscn 10672 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85, 7fssresd 6545 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
93, 8fco2d 41319 . . . . 5 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
109frnd 6512 . . . 4 (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
112, 10sstrid 3888 . . 3 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
121, 11eqsstrrid 3926 . 2 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
13 0re 10721 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1413ne0ii 4226 . . . . 5 ℝ ≠ ∅
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
1615, 9wnefimgd 41318 . . 3 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
171, 16eqnetrrid 3009 . 2 (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
18 1red 10720 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
19 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
2019breq2d 5042 . . . 4 ((𝜑𝑐 = 1) → (𝑡𝑐𝑡 ≤ 1))
2120ralbidv 3109 . . 3 ((𝜑𝑐 = 1) → (∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡𝑐 ↔ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1))
22 imo72b2lem1.6 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 1)
233, 22extoimad 41321 . . 3 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1)
2418, 21, 23rspcedvd 3529 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡𝑐)
25 0red 10722 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26 imo72b2lem1.7 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ≠ 0)
273adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2927, 28fvco3d 6768 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
309funfvima2d 7005 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3130adantrr 717 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
3231, 1eleqtrdi 2843 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
3329, 32eqeltrrd 2834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
34 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹𝑥))) → 𝑧 = (abs‘(𝐹𝑥)))
3534breq2d 5042 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹𝑥))) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (abs‘(𝐹𝑥))))
363ffvelrnda 6861 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3736adantrr 717 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3837recnd 10747 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
39 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → (𝐹𝑥) ≠ 0)
4038, 39absrpcld 14898 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ+)
4140rpgt0d 12517 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → 0 < (abs‘(𝐹𝑥)))
4233, 35, 41rspcedvd 3529 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
4326, 42rexlimddv 3201 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
4412, 17, 24, 25, 43suprlubrd 41325 1 (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  wss 3843  c0 4211   class class class wbr 5030  ran crn 5526  cima 5528  ccom 5529  wf 6335  cfv 6339  supcsup 8977  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   < clt 10753  cle 10754  abscabs 14683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685
This theorem is referenced by:  imo72b2  41330
  Copyright terms: Public domain W3C validator