Theorem imo72b2lem1 44145

Description: Lemma for imo72b2 44148. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem1.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
imo72b2lem1.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem1	⊢ (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem imo72b2lem1

Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaco 6204	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2		imassrn 6026	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
3		imo72b2lem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		absf 15263	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
6		ax-resscn 11085	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssresd 6695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
9	3, 8	fco2d 44138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
10	9	frnd 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
11	2, 10	sstrid 3949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
12	1, 11	eqsstrrid 3977	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
13		0re 11136	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	13	ne0ii 4297	. . . . 5 ⊢ ℝ ≠ ∅
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
16	15, 9	wnefimgd 44137	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
17	1, 16	eqnetrrid 3000	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
18		1red 11135	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
20	19	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑡 ≤ 𝑐 ↔ 𝑡 ≤ 1))
21	20	ralbidv 3152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1))
22		imo72b2lem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
23	3, 22	extoimad 44140	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1)
24	18, 21, 23	rspcedvd 3581	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝑐)
25		0red 11137	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26		imo72b2lem1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
27	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
29	27, 28	fvco3d 6927	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
30	9	funfvima2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
31	30	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
32	31, 1	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
33	29, 32	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
34		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥))) → 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
35	34	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥))) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
36	3	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
37	36	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
39		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
40	38, 39	absrpcld 15376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ+)
41	40	rpgt0d 12958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑥)))
42	33, 35, 41	rspcedvd 3581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
43	26, 42	rexlimddv 3136	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
44	12, 17, 24, 25, 43	suprlubrd 44144	1 ⊢ (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5095  ran crn 5624   “ cima 5626   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  supcsup 9349  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168   ≤ cle 11169  abscabs 15159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161

This theorem is referenced by:  imo72b2  44148