Theorem imo72b2lem1 44614

Description: Lemma for imo72b2 44617. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
imo72b2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
imo72b2lem1.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
imo72b2lem1.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
imo72b2lem1	⊢ (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem imo72b2lem1

Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaco 6209	. . 3 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
2		imassrn 6030	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ran (abs ∘ 𝐹)
3		imo72b2lem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		absf 15291	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
6		ax-resscn 11086	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssresd 6701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
9	3, 8	fco2d 44607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
10	9	frnd 6670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (abs ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
11	2, 10	sstrid 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ⊆ ℝ)
12	1, 11	eqsstrrid 3962	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ⊆ ℝ)
13		0re 11137	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
14	13	ne0ii 4285	. . . . 5 ⊢ ℝ ≠ ∅
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ≠ ∅)
16	15, 9	wnefimgd 44606	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ≠ ∅)
17	1, 16	eqnetrrid 3008	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ≠ ∅)
18		1red 11136	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → 𝑐 = 1)
20	19	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (𝑡 ≤ 𝑐 ↔ 𝑡 ≤ 1))
21	20	ralbidv 3161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 1) → (∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1))
22		imo72b2lem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 1)
23	3, 22	extoimad 44609	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 1)
24	18, 21, 23	rspcedvd 3567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑡 ≤ 𝑐)
25		0red 11138	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26		imo72b2lem1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
27	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
29	27, 28	fvco3d 6934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
30	9	funfvima2d 7180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
31	30	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ))
32	31, 1	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
33	29, 32	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
34		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥))) → 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
35	34	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑧 = (abs‘(𝐹‘𝑥))) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
36	3	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
37	36	adantrr 718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
39		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
40	38, 39	absrpcld 15404	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ+)
41	40	rpgt0d 12980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → 0 < (abs‘(𝐹‘𝑥)))
42	33, 35, 41	rspcedvd 3567	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
43	26, 42	rexlimddv 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))0 < 𝑧)
44	12, 17, 24, 25, 43	suprlubrd 44613	1 ⊢ (𝜑 → 0 < sup((abs “ (𝐹 “ ℝ)), ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ran crn 5625   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  supcsup 9346  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  imo72b2  44617