Theorem fco2d 42847

Description: Natural deduction form of fco2 6741. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fco2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fco2d.2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fco2d	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fco2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶)
2		fco2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
3		fco2 6741	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544

This theorem is referenced by:  extoimad  42849  imo72b2lem0  42850  imo72b2lem2  42852  imo72b2lem1  42854  imo72b2  42857