Theorem fco2d 44124

Description: Natural deduction form of fco2 6774. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fco2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fco2d.2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fco2d	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fco2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶)
2		fco2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
3		fco2 6774	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577

This theorem is referenced by:  extoimad  44126  imo72b2lem0  44127  imo72b2lem2  44129  imo72b2lem1  44131  imo72b2  44134