Theorem fco2d 45005

Description: Natural deduction form of fco2 6730. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fco2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fco2d.2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fco2d	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fco2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco2d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶)
2		fco2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
3		fco2 6730	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537

This theorem is used by:  extoimad  45007  imo72b2lem0  45008  imo72b2lem2  45010  imo72b2lem1  45012  imo72b2  45015