Theorem wun0 10641

Description: A weak universe contains the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
wun0	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wun0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		iswun 10627	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
3	2	ibi 267	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)))
4	3	simp2d 1144	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝑈 ≠ ∅)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
6		n0 4293	. . 3 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
7	5, 6	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
8	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10		0ss 4340	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ⊆ 𝑥)
12	8, 9, 11	wunss 10635	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
13	7, 12	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  {cpr 4569  ∪ cuni 4850  Tr wtr 5192  WUnicwun 10623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-pw 4543  df-uni 4851  df-tr 5193  df-wun 10625

This theorem is referenced by:  wunr1om  10642  wunfi  10644  wuntpos  10657  intwun  10658  r1wunlim  10660  wuncval2  10670  wunress  17219  catcoppccl  18084  ex-sategoelel  35603