Theorem wun0 10787

Description: A weak universe contains the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
wun0	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wun0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		iswun 10773	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
3	2	ibi 267	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)))
4	3	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝑈 ≠ ∅)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
6		n0 4376	. . 3 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
7	5, 6	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
8	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10		0ss 4423	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ⊆ 𝑥)
12	8, 9, 11	wunss 10781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
13	7, 12	exlimddv 1934	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650  ∪ cuni 4931  Tr wtr 5283  WUnicwun 10769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-pw 4624  df-uni 4932  df-tr 5284  df-wun 10771

This theorem is referenced by:  wunr1om  10788  wunfi  10790  wuntpos  10803  intwun  10804  r1wunlim  10806  wuncval2  10816  wunress  17309  wunressOLD  17310  catcoppccl  18184  catcoppcclOLD  18185  ex-sategoelel  35389