Theorem wun0 10142

Description: A weak universe contains the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
wun0	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wun0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		iswun 10128	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
3	2	ibi 269	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)))
4	3	simp2d 1139	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝑈 ≠ ∅)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
6		n0 4312	. . 3 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
7	5, 6	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
8	1	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10		0ss 4352	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ⊆ 𝑥)
12	8, 9, 11	wunss 10136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
13	7, 12	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  𝒫 cpw 4541  {cpr 4571  ∪ cuni 4840  Tr wtr 5174  WUnicwun 10124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-pw 4543  df-uni 4841  df-tr 5175  df-wun 10126

This theorem is referenced by:  wunr1om  10143  wunfi  10145  wuntpos  10158  intwun  10159  r1wunlim  10161  wuncval2  10171  wunress  16566  catcoppccl  17370  ex-sategoelel  32670