Theorem wun0 10708

Description: A weak universe contains the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
wun0	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wun0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		iswun 10694	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
3	2	ibi 267	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)))
4	3	simp2d 1140	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝑈 ≠ ∅)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
6		n0 4338	. . 3 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
7	5, 6	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
8	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10		0ss 4388	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ⊆ 𝑥)
12	8, 9, 11	wunss 10702	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
13	7, 12	exlimddv 1930	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  𝒫 cpw 4594  {cpr 4622  ∪ cuni 4899  Tr wtr 5255  WUnicwun 10690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5289

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-pw 4596  df-uni 4900  df-tr 5256  df-wun 10692

This theorem is referenced by:  wunr1om  10709  wunfi  10711  wuntpos  10724  intwun  10725  r1wunlim  10727  wuncval2  10737  wunress  17193  wunressOLD  17194  catcoppccl  18068  catcoppcclOLD  18069  ex-sategoelel  34867