Theorem wun0 10676

Description: A weak universe contains the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)

Assertion

Ref	Expression
wun0	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wun0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		iswun 10662	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
3	2	ibi 269	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)))
4	3	simp2d 1156	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → 𝑈 ≠ ∅)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
6		n0 4305	. . 3 ⊢ (𝑈 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
7	5, 6	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑈)
8	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ WUni)
9		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10		0ss 4354	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ⊆ 𝑥)
12	8, 9, 11	wunss 10670	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∅ ∈ 𝑈)
13	7, 12	exlimddv 1955	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555  {cpr 4584  ∪ cuni 4865  Tr wtr 5207  WUnicwun 10658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-pw 4557  df-uni 4866  df-tr 5208  df-wun 10660

This theorem is referenced by:  wunr1om  10677  wunfi  10679  wuntpos  10692  intwun  10693  r1wunlim  10695  wuncval2  10705  wunress  17285  catcoppccl  18150  ex-sategoelel  35771