Theorem ex-sategoelel 33096

Description: Example of a valuation of a simplified satisfaction predicate for a Godel-set of membership. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sategoelfvb.s	⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
ex-sategoelel.s	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
ex-sategoelel	⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ex-sategoelel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝑀)
2		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑀 ∈ WUni)
3	2, 1	wunpw 10321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝒫 𝑍 ∈ 𝑀)
4	2	wun0 10332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ 𝑀)
5	3, 4	ifcld 4485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ 𝑀)
6	1, 5	ifcld 4485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
8	7	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ ω) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
9		ex-sategoelel.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
10	8, 9	fmptd 6931	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆:ω⟶𝑀)
11	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑀 ∈ WUni)
12		omex 9258	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ω ∈ V)
14	11, 13	elmapd 8522	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ↔ 𝑆:ω⟶𝑀))
15	10, 14	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω))
16		pwidg 4535	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑀 → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
17	16	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
18	17	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
19	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))))
20		iftrue 4445	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = 𝑍)
21	20	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = 𝑍)
22		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ω)
23	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝑀)
24	19, 21, 22, 23	fvmptd 6825	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) = 𝑍)
25		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
26		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐵))
27	26	ifbid 4462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
28	25, 27	ifbieq2d 4465	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
29		necom 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
30		ifnefalse 4451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
31	29, 30	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
32	31	3ad2ant3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
33	32	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
34	28, 33	sylan9eqr 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
35		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ω)
36		pwexg 5271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑀 → 𝒫 𝑍 ∈ V)
37	36	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝒫 𝑍 ∈ V)
38		0ex 5200	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ V)
40	37, 39	ifcld 4485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ V)
41	40	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ V)
42	19, 34, 35, 41	fvmptd 6825	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
43		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = 𝐵
44	43	iftruei 4446	. . . 4 ⊢ if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) = 𝒫 𝑍
45	42, 44	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐵) = 𝒫 𝑍)
46	18, 24, 45	3eltr4d 2853	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))
47		3simpa 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
48		sategoelfvb.s	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
49	48	sategoelfvb 33094	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))))
50	2, 47, 49	syl2an 599	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))))
51	15, 46, 50	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  Vcvv 3408  ∅c0 4237  ifcif 4439  𝒫 cpw 4513   ↦ cmpt 5135  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ωcom 7644   ↑_m cmap 8508  WUnicwun 10314  ∈_𝑔cgoe 33008   Sat_∈ csate 33013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-ac2 10077

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-card 9555  df-ac 9730  df-wun 10316  df-goel 33015  df-gona 33016  df-goal 33017  df-sat 33018  df-sate 33019  df-fmla 33020

This theorem is referenced by:  ex-sategoel  33097