Theorem ex-sategoelel 33623

Description: Example of a valuation of a simplified satisfaction predicate for a Godel-set of membership. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sategoelfvb.s	⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
ex-sategoelel.s	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
ex-sategoelel	⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ex-sategoelel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝑀)
2		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑀 ∈ WUni)
3	2, 1	wunpw 10556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝒫 𝑍 ∈ 𝑀)
4	2	wun0 10567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ 𝑀)
5	3, 4	ifcld 4518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ 𝑀)
6	1, 5	ifcld 4518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ ω) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
9		ex-sategoelel.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
10	8, 9	fmptd 7038	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆:ω⟶𝑀)
11	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑀 ∈ WUni)
12		omex 9492	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ω ∈ V)
14	11, 13	elmapd 8692	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ↔ 𝑆:ω⟶𝑀))
15	10, 14	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω))
16		pwidg 4566	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑀 → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
17	16	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
19	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))))
20		iftrue 4478	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = 𝑍)
21	20	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = 𝑍)
22		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ω)
23	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝑀)
24	19, 21, 22, 23	fvmptd 6932	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) = 𝑍)
25		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
26		eqeq1 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐵))
27	26	ifbid 4495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
28	25, 27	ifbieq2d 4498	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
29		necom 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
30		ifnefalse 4484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
31	29, 30	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
32	31	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
33	32	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
34	28, 33	sylan9eqr 2798	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
35		simpr2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ω)
36		pwexg 5318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑀 → 𝒫 𝑍 ∈ V)
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝒫 𝑍 ∈ V)
38		0ex 5248	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ V)
40	37, 39	ifcld 4518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ V)
41	40	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ V)
42	19, 34, 35, 41	fvmptd 6932	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
43		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = 𝐵
44	43	iftruei 4479	. . . 4 ⊢ if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) = 𝒫 𝑍
45	42, 44	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐵) = 𝒫 𝑍)
46	18, 24, 45	3eltr4d 2852	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))
47		3simpa 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
48		sategoelfvb.s	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
49	48	sategoelfvb 33621	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))))
50	2, 47, 49	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))))
51	15, 46, 50	mpbir2and 710	1 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  Vcvv 3441  ∅c0 4268  ifcif 4472  𝒫 cpw 4546   ↦ cmpt 5172  ⟶wf 6469  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  ωcom 7772   ↑_m cmap 8678  WUnicwun 10549  ∈_𝑔cgoe 33535   Sat_∈ csate 33540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-ac2 10312

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-card 9788  df-ac 9965  df-wun 10551  df-goel 33542  df-gona 33543  df-goal 33544  df-sat 33545  df-sate 33546  df-fmla 33547

This theorem is referenced by:  ex-sategoel  33624