Theorem ex-sategoelel 35415

Description: Example of a valuation of a simplified satisfaction predicate for a Godel-set of membership. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sategoelfvb.s	⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
ex-sategoelel.s	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
ex-sategoelel	⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ex-sategoelel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝑀)
2		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑀 ∈ WUni)
3	2, 1	wunpw 10667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝒫 𝑍 ∈ 𝑀)
4	2	wun0 10678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ 𝑀)
5	3, 4	ifcld 4538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ 𝑀)
6	1, 5	ifcld 4538	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ ω) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
9		ex-sategoelel.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
10	8, 9	fmptd 7089	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆:ω⟶𝑀)
11	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑀 ∈ WUni)
12		omex 9603	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ω ∈ V)
14	11, 13	elmapd 8816	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ↔ 𝑆:ω⟶𝑀))
15	10, 14	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω))
16		pwidg 4586	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑀 → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
19	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))))
20		iftrue 4497	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = 𝑍)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = 𝑍)
22		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ω)
23	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝑀)
24	19, 21, 22, 23	fvmptd 6978	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) = 𝑍)
25		eqeq1 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
26		eqeq1 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐵))
27	26	ifbid 4515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
28	25, 27	ifbieq2d 4518	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
29		necom 2979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
30		ifnefalse 4503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
31	29, 30	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
32	31	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
34	28, 33	sylan9eqr 2787	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
35		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ω)
36		pwexg 5336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑀 → 𝒫 𝑍 ∈ V)
37	36	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝒫 𝑍 ∈ V)
38		0ex 5265	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ V)
40	37, 39	ifcld 4538	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ V)
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ V)
42	19, 34, 35, 41	fvmptd 6978	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
43		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = 𝐵
44	43	iftruei 4498	. . . 4 ⊢ if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) = 𝒫 𝑍
45	42, 44	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐵) = 𝒫 𝑍)
46	18, 24, 45	3eltr4d 2844	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))
47		3simpa 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
48		sategoelfvb.s	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
49	48	sategoelfvb 35413	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))))
50	2, 47, 49	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))))
51	15, 46, 50	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ifcif 4491  𝒫 cpw 4566   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ωcom 7845   ↑_m cmap 8802  WUnicwun 10660  ∈_𝑔cgoe 35327   Sat_∈ csate 35332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-ac2 10423

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-ac 10076  df-wun 10662  df-goel 35334  df-gona 35335  df-goal 35336  df-sat 35337  df-sate 35338  df-fmla 35339

This theorem is referenced by:  ex-sategoel  35416