Theorem ex-sategoelel 35084

Description: Example of a valuation of a simplified satisfaction predicate for a Godel-set of membership. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sategoelfvb.s	⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
ex-sategoelel.s	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
ex-sategoelel	⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ex-sategoelel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝑀)
2		simpl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑀 ∈ WUni)
3	2, 1	wunpw 10725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝒫 𝑍 ∈ 𝑀)
4	2	wun0 10736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ 𝑀)
5	3, 4	ifcld 4571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ 𝑀)
6	1, 5	ifcld 4571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
7	6	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
8	7	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ ω) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) ∈ 𝑀)
9		ex-sategoelel.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
10	8, 9	fmptd 7117	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆:ω⟶𝑀)
11	2	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑀 ∈ WUni)
12		omex 9661	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ω ∈ V)
14	11, 13	elmapd 8852	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ↔ 𝑆:ω⟶𝑀))
15	10, 14	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω))
16		pwidg 4619	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑀 → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
17	16	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
18	17	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝒫 𝑍)
19	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))))
20		iftrue 4531	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = 𝑍)
21	20	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = 𝑍)
22		simpr1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ω)
23	1	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝑀)
24	19, 21, 22, 23	fvmptd 7005	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) = 𝑍)
25		eqeq1 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
26		eqeq1 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐵))
27	26	ifbid 4548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
28	25, 27	ifbieq2d 4551	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
29		necom 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
30		ifnefalse 4537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
31	29, 30	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
32	31	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
33	32	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝐵 = 𝐴, 𝑍, if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
34	28, 33	sylan9eqr 2787	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
35		simpr2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ω)
36		pwexg 5373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑀 → 𝒫 𝑍 ∈ V)
37	36	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → 𝒫 𝑍 ∈ V)
38		0ex 5303	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ V)
40	37, 39	ifcld 4571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) → if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ V)
41	40	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) ∈ V)
42	19, 34, 35, 41	fvmptd 7005	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅))
43		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = 𝐵
44	43	iftruei 4532	. . . 4 ⊢ if(𝐵 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅) = 𝒫 𝑍
45	42, 44	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐵) = 𝒫 𝑍)
46	18, 24, 45	3eltr4d 2840	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))
47		3simpa 1145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
48		sategoelfvb.s	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
49	48	sategoelfvb 35082	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))))
50	2, 47, 49	syl2an 594	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))))
51	15, 46, 50	mpbir2and 711	1 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463  ∅c0 4319  ifcif 4525  𝒫 cpw 4599   ↦ cmpt 5227  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ωcom 7865   ↑_m cmap 8838  WUnicwun 10718  ∈_𝑔cgoe 34996   Sat_∈ csate 35001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-ac2 10481

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-ac 10134  df-wun 10720  df-goel 35003  df-gona 35004  df-goal 35005  df-sat 35006  df-sate 35007  df-fmla 35008

This theorem is referenced by:  ex-sategoel  35085