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Theorem intwun 10778
Description: The intersection of a collection of weak universes is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
intwun ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ WUni)

Proof of Theorem intwun
Dummy variables 𝑥 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ WUni)
21sselda 3979 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
3 wuntr 10748 . . . . 5 (𝑢 ∈ WUni → Tr 𝑢)
42, 3syl 17 . . . 4 (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢𝐴) → Tr 𝑢)
54ralrimiva 3136 . . 3 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑢𝐴 Tr 𝑢)
6 trint 5288 . . 3 (∀𝑢𝐴 Tr 𝑢 → Tr 𝐴)
75, 6syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Tr 𝐴)
82wun0 10761 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢𝐴) → ∅ ∈ 𝑢)
98ralrimiva 3136 . . . 4 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑢𝐴 ∅ ∈ 𝑢)
10 0ex 5312 . . . . 5 ∅ ∈ V
1110elint2 4961 . . . 4 (∅ ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑢𝐴 ∅ ∈ 𝑢)
129, 11sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
1312ne0d 4338 . 2 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
142adantlr 713 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
15 intss1 4971 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝐴 𝐴𝑢)
1615adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢𝐴) → 𝐴𝑢)
1716sselda 3979 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥𝑢)
1817an32s 650 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑥𝑢)
1914, 18wununi 10749 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑥𝑢)
2019ralrimiva 3136 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) → ∀𝑢𝐴 𝑥𝑢)
21 vuniex 7750 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2221elint2 4961 . . . . 5 ( 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑢𝐴 𝑥𝑢)
2320, 22sylibr 233 . . . 4 (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 𝐴)
2414, 18wunpw 10750 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑢𝐴) → 𝒫 𝑥𝑢)
2524ralrimiva 3136 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) → ∀𝑢𝐴 𝒫 𝑥𝑢)
26 vpwex 5381 . . . . . 6 𝒫 𝑥 ∈ V
2726elint2 4961 . . . . 5 (𝒫 𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑢𝐴 𝒫 𝑥𝑢)
2825, 27sylibr 233 . . . 4 (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝒫 𝑥 𝐴)
2914adantlr 713 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑦 𝐴) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
3018adantlr 713 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑦 𝐴) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑥𝑢)
3115adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑢𝐴) → 𝐴𝑢)
3231sselda 3979 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑦 𝐴) → 𝑦𝑢)
3332an32s 650 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑦 𝐴) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦𝑢)
3429, 30, 33wunpr 10752 . . . . . . 7 (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑦 𝐴) ∧ 𝑢𝐴) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
3534ralrimiva 3136 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑦 𝐴) → ∀𝑢𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
36 prex 5438 . . . . . . 7 {𝑥, 𝑦} ∈ V
3736elint2 4961 . . . . . 6 ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑢𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
3835, 37sylibr 233 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑦 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐴)
3938ralrimiva 3136 . . . 4 (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) → ∀𝑦 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ 𝐴)
4023, 28, 393jca 1125 . . 3 (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝐴) → ( 𝑥 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 𝐴 ∧ ∀𝑦 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ 𝐴))
4140ralrimiva 3136 . 2 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 𝐴( 𝑥 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 𝐴 ∧ ∀𝑦 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ 𝐴))
42 simpr 483 . . . 4 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
43 intex 5344 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
4442, 43sylib 217 . . 3 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
45 iswun 10747 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ WUni ↔ (Tr 𝐴 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 𝐴( 𝑥 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 𝐴 ∧ ∀𝑦 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ 𝐴))))
4644, 45syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( 𝐴 ∈ WUni ↔ (Tr 𝐴 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 𝐴( 𝑥 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 𝐴 ∧ ∀𝑦 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ 𝐴))))
477, 13, 41, 46mpbir3and 1339 1 ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ WUni)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  Vcvv 3462  wss 3947  c0 4325  𝒫 cpw 4607  {cpr 4635   cuni 4913   cint 4954  Tr wtr 5270  WUnicwun 10743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-uni 4914  df-int 4955  df-iin 5004  df-tr 5271  df-wun 10745
This theorem is referenced by:  wunccl  10787
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