Theorem intwun 10778

Description: The intersection of a collection of weak universes is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
intwun	⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ WUni)

Proof of Theorem intwun

Dummy variables 𝑥 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ WUni)
2	1	sselda 3979	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
3		wuntr 10748	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ WUni → Tr 𝑢)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → Tr 𝑢)
5	4	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 Tr 𝑢)
6		trint 5288	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 Tr 𝑢 → Tr ∩ 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Tr ∩ 𝐴)
8	2	wun0 10761	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 𝑢)
9	8	ralrimiva 3136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∅ ∈ 𝑢)
10		0ex 5312	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	elint2 4961	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∅ ∈ 𝑢)
12	9, 11	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ ∩ 𝐴)
13	12	ne0d 4338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ≠ ∅)
14	2	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
15		intss1 4971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
16	15	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
17	16	sselda 3979	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
18	17	an32s 650	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
19	14, 18	wununi 10749	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
20	19	ralrimiva 3136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
21		vuniex 7750	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
22	21	elint2 4961	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
23	20, 22	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
24	14, 18	wunpw 10750	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
25	24	ralrimiva 3136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
26		vpwex 5381	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
27	26	elint2 4961	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
28	25, 27	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
29	14	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
30	18	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
31	15	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
32	31	sselda 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑢)
33	32	an32s 650	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑢)
34	29, 30, 33	wunpr 10752	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
35	34	ralrimiva 3136	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
36		prex 5438	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
37	36	elint2 4961	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
38	35, 37	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴)
39	38	ralrimiva 3136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴)
40	23, 28, 39	3jca 1125	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))
41	40	ralrimiva 3136	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))
42		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
43		intex 5344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
44	42, 43	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ V)
45		iswun 10747	. . 3 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ WUni ↔ (Tr ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))))
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ WUni ↔ (Tr ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))))
47	7, 13, 41, 46	mpbir3and 1339	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ WUni)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  Vcvv 3462   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325  𝒫 cpw 4607  {cpr 4635  ∪ cuni 4913  ∩ cint 4954  Tr wtr 5270  WUnicwun 10743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-uni 4914  df-int 4955  df-iin 5004  df-tr 5271  df-wun 10745

This theorem is referenced by:  wunccl  10787