Theorem intwun 10683

Description: The intersection of a collection of weak universes is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
intwun	⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ WUni)

Proof of Theorem intwun

Dummy variables 𝑥 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ WUni)
2	1	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
3		wuntr 10653	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ WUni → Tr 𝑢)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → Tr 𝑢)
5	4	ralrimiva 3148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 Tr 𝑢)
6		trint 5219	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 Tr 𝑢 → Tr ∩ 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Tr ∩ 𝐴)
8	2	wun0 10666	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 𝑢)
9	8	ralrimiva 3148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∅ ∈ 𝑢)
10		0ex 5251	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	elint2 4906	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∅ ∈ 𝑢)
12	9, 11	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ ∩ 𝐴)
13	12	ne0d 4289	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ≠ ∅)
14	2	adantlr 723	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
15		intss1 4915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
16	15	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
17	16	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
18	17	an32s 660	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
19	14, 18	wununi 10654	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
20	19	ralrimiva 3148	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
21		vuniex 7711	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
22	21	elint2 4906	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
23	20, 22	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
24	14, 18	wunpw 10655	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
25	24	ralrimiva 3148	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
26		vpwex 5328	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
27	26	elint2 4906	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
28	25, 27	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
29	14	adantlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
30	18	adantlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
31	15	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
32	31	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑢)
33	32	an32s 660	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑢)
34	29, 30, 33	wunpr 10657	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
35	34	ralrimiva 3148	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
36		prex 5389	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
37	36	elint2 4906	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
38	35, 37	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴)
39	38	ralrimiva 3148	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴)
40	23, 28, 39	3jca 1137	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))
41	40	ralrimiva 3148	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))
42		intex 5294	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
43	42	bilani 507	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ V)
44		iswun 10652	. . 3 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ WUni ↔ (Tr ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))))
45	43, 44	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ WUni ↔ (Tr ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))))
46	7, 13, 41, 45	mpbir3and 1352	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ WUni)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  Vcvv 3448   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4549  {cpr 4578  ∪ cuni 4859  ∩ cint 4899  Tr wtr 5201  WUnicwun 10648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-uni 4860  df-int 4900  df-iin 4946  df-tr 5202  df-wun 10650

This theorem is referenced by:  wunccl  10692