Theorem intwun 10650

Description: The intersection of a collection of weak universes is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
intwun	⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ WUni)

Proof of Theorem intwun

Dummy variables 𝑥 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ WUni)
2	1	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
3		wuntr 10620	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ WUni → Tr 𝑢)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → Tr 𝑢)
5	4	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 Tr 𝑢)
6		trint 5223	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 Tr 𝑢 → Tr ∩ 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Tr ∩ 𝐴)
8	2	wun0 10633	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 𝑢)
9	8	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∅ ∈ 𝑢)
10		0ex 5253	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	elint2 4910	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∅ ∈ 𝑢)
12	9, 11	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ ∩ 𝐴)
13	12	ne0d 4295	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ≠ ∅)
14	2	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
15		intss1 4919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
17	16	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
18	17	an32s 653	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
19	14, 18	wununi 10621	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
20	19	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
21		vuniex 7686	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
22	21	elint2 4910	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
23	20, 22	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
24	14, 18	wunpw 10622	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
25	24	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
26		vpwex 5323	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
27	26	elint2 4910	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
28	25, 27	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
29	14	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
30	18	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
31	15	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
32	31	sselda 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑢)
33	32	an32s 653	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑢)
34	29, 30, 33	wunpr 10624	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
35	34	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
36		prex 5383	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
37	36	elint2 4910	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
38	35, 37	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴)
39	38	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴)
40	23, 28, 39	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))
41	40	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))
42		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
43		intex 5290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
44	42, 43	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ V)
45		iswun 10619	. . 3 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ WUni ↔ (Tr ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))))
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ WUni ↔ (Tr ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))))
47	7, 13, 41, 46	mpbir3and 1344	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ WUni)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  {cpr 4583  ∪ cuni 4864  ∩ cint 4903  Tr wtr 5206  WUnicwun 10615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-uni 4865  df-int 4904  df-iin 4950  df-tr 5207  df-wun 10617

This theorem is referenced by:  wunccl  10659