Theorem intwun 10719

Description: The intersection of a collection of weak universes is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
intwun	⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ WUni)

Proof of Theorem intwun

Dummy variables 𝑥 𝑢 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ WUni)
2	1	sselda 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
3		wuntr 10689	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ WUni → Tr 𝑢)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → Tr 𝑢)
5	4	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 Tr 𝑢)
6		trint 5235	. . 3 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 Tr 𝑢 → Tr ∩ 𝐴)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Tr ∩ 𝐴)
8	2	wun0 10702	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 𝑢)
9	8	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∅ ∈ 𝑢)
10		0ex 5269	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	elint2 4918	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∅ ∈ 𝑢)
12	9, 11	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ ∩ 𝐴)
13	12	ne0d 4294	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ≠ ∅)
14	2	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
15		intss1 4927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
16	15	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
17	16	sselda 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
18	17	an32s 664	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
19	14, 18	wununi 10690	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
20	19	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
21		vuniex 7737	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
22	21	elint2 4918	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝑢)
23	20, 22	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
24	14, 18	wunpw 10691	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
25	24	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
26		vpwex 5348	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
27	26	elint2 4918	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ∈ 𝑢)
28	25, 27	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
29	14	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ WUni)
30	18	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑢)
31	15	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑢)
32	31	sselda 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑢)
33	32	an32s 664	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑢)
34	29, 30, 33	wunpr 10693	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
35	34	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑢 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
36		prex 5409	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
37	36	elint2 4918	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑢)
38	35, 37	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴)
39	38	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴)
40	23, 28, 39	3jca 1144	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))
41	40	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))
42		intex 5314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
43	42	bilani 509	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ V)
44		iswun 10688	. . 3 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ WUni ↔ (Tr ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))))
45	43, 44	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ WUni ↔ (Tr ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴(∪ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴{𝑥, 𝑦} ∈ ∩ 𝐴))))
46	7, 13, 41, 45	mpbir3and 1359	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ WUni ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ WUni)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  {cpr 4590  ∪ cuni 4871  ∩ cint 4911  Tr wtr 5217  WUnicwun 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-uni 4872  df-int 4912  df-iin 4958  df-tr 5218  df-wun 10686

This theorem is referenced by:  wunccl  10728