MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunress 16348
Description: Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunress.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunress.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3 (𝜑𝑊𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunress (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunress
StepHypRef Expression
1 wunress.3 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
2 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑊s 𝐴) = (𝑊s 𝐴)
3 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3ressval 16334 . . . . 5 ((𝑊𝑈𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
51, 4sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6 wunress.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
7 df-base 16272 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
8 wunress.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
96, 8wunndx 16287 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)
107, 6, 9wunstr 16290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
11 incom 4028 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
127, 6, 1wunstr 16290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
136, 12wunin 9872 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
1411, 13syl5eqel 2863 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
156, 10, 14wunop 9881 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
166, 1, 15wunsets 16307 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
171, 16ifcld 4352 . . . . 5 (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
1817adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
195, 18eqeltrd 2859 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
2019ex 403 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
216wun0 9877 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
22 reldmress 16333 . . . . 5 Rel dom ↾s
2322ovprc2 6963 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
2423eleq1d 2844 . . 3 𝐴 ∈ V → ((𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
2521, 24syl5ibrcom 239 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
2620, 25pm2.61d 172 1 (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  cin 3791  wss 3792  c0 4141  ifcif 4307  cop 4404  cfv 6137  (class class class)co 6924  ωcom 7345  WUnicwun 9859  1c1 10275  ndxcnx 16263   sSet csts 16264  Basecbs 16266  s cress 16267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-1cn 10332  ax-addcl 10334
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-ec 8030  df-qs 8034  df-map 8144  df-pm 8145  df-wun 9861  df-ni 10031  df-pli 10032  df-mi 10033  df-lti 10034  df-plpq 10067  df-mpq 10068  df-ltpq 10069  df-enq 10070  df-nq 10071  df-erq 10072  df-plq 10073  df-mq 10074  df-1nq 10075  df-rq 10076  df-ltnq 10077  df-np 10140  df-plp 10142  df-ltp 10144  df-enr 10214  df-nr 10215  df-c 10280  df-nn 11380  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator