Theorem wunress 17296

Description: Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunress.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunress.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunress	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunress.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressval 17278	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
5	1, 4	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6		wunress.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
7		wunress.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
8	6, 7	basndxelwund 17259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
9		incom 4208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
10		baseid 17251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11	10, 6, 1	wunstr 17226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
12	6, 11	wunin 10754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
13	9, 12	eqeltrid 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
14	6, 8, 13	wunop 10763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
15	6, 1, 14	wunsets 17215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
16	1, 15	ifcld 4571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
18	5, 17	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)
19	18	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈))
20	6	wun0 10759	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
21		reldmress 17277	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
22	21	ovprc2 7472	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
23	22	eleq1d 2825	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
24	20, 23	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈))
25	19, 24	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ifcif 4524  ⟨cop 4631  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ωcom 7888  WUnicwun 10741   sSet csts 17201  ndxcnx 17231  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-pm 8870  df-wun 10743  df-ni 10913  df-pli 10914  df-mi 10915  df-lti 10916  df-plpq 10949  df-mpq 10950  df-ltpq 10951  df-enq 10952  df-nq 10953  df-erq 10954  df-plq 10955  df-mq 10956  df-1nq 10957  df-rq 10958  df-ltnq 10959  df-np 11022  df-plp 11024  df-ltp 11026  df-enr 11096  df-nr 11097  df-c 11162  df-nn 12268  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276

This theorem is referenced by: (None)