MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunress 17202
Description: Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
wunress.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunress.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3 (𝜑𝑊𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunress (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunress
StepHypRef Expression
1 wunress.3 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
2 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑊s 𝐴) = (𝑊s 𝐴)
3 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3ressval 17183 . . . . 5 ((𝑊𝑈𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
51, 4sylan 579 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6 wunress.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
7 wunress.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
86, 7basndxelwund 17163 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
9 incom 4201 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
10 baseid 17154 . . . . . . . . . . 11 Base = Slot (Base‘ndx)
1110, 6, 1wunstr 17128 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
126, 11wunin 10714 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
139, 12eqeltrid 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
146, 8, 13wunop 10723 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
156, 1, 14wunsets 17117 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
161, 15ifcld 4574 . . . . 5 (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
1716adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
185, 17eqeltrd 2832 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
1918ex 412 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
206wun0 10719 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
21 reldmress 17182 . . . . 5 Rel dom ↾s
2221ovprc2 7452 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
2322eleq1d 2817 . . 3 𝐴 ∈ V → ((𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
2420, 23syl5ibrcom 246 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
2519, 24pm2.61d 179 1 (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cin 3947  wss 3948  c0 4322  ifcif 4528  cop 4634  cfv 6543  (class class class)co 7412  ωcom 7859  WUnicwun 10701   sSet csts 17103  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  s cress 17180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-1cn 11174  ax-addcl 11176
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-pm 8829  df-wun 10703  df-ni 10873  df-pli 10874  df-mi 10875  df-lti 10876  df-plpq 10909  df-mpq 10910  df-ltpq 10911  df-enq 10912  df-nq 10913  df-erq 10914  df-plq 10915  df-mq 10916  df-1nq 10917  df-rq 10918  df-ltnq 10919  df-np 10982  df-plp 10984  df-ltp 10986  df-enr 11056  df-nr 11057  df-c 11122  df-nn 12220  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator