Theorem wunress 17219

Description: Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunress.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunress.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunress	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunress.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressval 17203	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
5	1, 4	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6		wunress.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
7		wunress.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
8	6, 7	basndxelwund 17190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
9		incom 4172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
10		baseid 17182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11	10, 6, 1	wunstr 17158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
12	6, 11	wunin 10666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
13	9, 12	eqeltrid 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
14	6, 8, 13	wunop 10675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
15	6, 1, 14	wunsets 17147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
16	1, 15	ifcld 4535	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
18	5, 17	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)
19	18	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈))
20	6	wun0 10671	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
21		reldmress 17202	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
22	21	ovprc2 7427	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
23	22	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
24	20, 23	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈))
25	19, 24	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ifcif 4488  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842  WUnicwun 10653   sSet csts 17133  ndxcnx 17163  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-pm 8802  df-wun 10655  df-ni 10825  df-pli 10826  df-mi 10827  df-lti 10828  df-plpq 10861  df-mpq 10862  df-ltpq 10863  df-enq 10864  df-nq 10865  df-erq 10866  df-plq 10867  df-mq 10868  df-1nq 10869  df-rq 10870  df-ltnq 10871  df-np 10934  df-plp 10936  df-ltp 10938  df-enr 11008  df-nr 11009  df-c 11074  df-nn 12187  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201

This theorem is referenced by: (None)