Theorem wunress 16886

Description: Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunress.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunress.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunress	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunress.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
2		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressval 16870	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
5	1, 4	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6		wunress.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
7		wunress.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
8	6, 7	basndxelwund 16852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
9		incom 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
10		baseid 16843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11	10, 6, 1	wunstr 16817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
12	6, 11	wunin 10400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
13	9, 12	eqeltrid 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
14	6, 8, 13	wunop 10409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
15	6, 1, 14	wunsets 16806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
16	1, 15	ifcld 4502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
18	5, 17	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)
19	18	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈))
20	6	wun0 10405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
21		reldmress 16869	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
22	21	ovprc2 7295	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
23	22	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
24	20, 23	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈))
25	19, 24	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ifcif 4456  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687  WUnicwun 10387   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-pm 8576  df-wun 10389  df-ni 10559  df-pli 10560  df-mi 10561  df-lti 10562  df-plpq 10595  df-mpq 10596  df-ltpq 10597  df-enq 10598  df-nq 10599  df-erq 10600  df-plq 10601  df-mq 10602  df-1nq 10603  df-rq 10604  df-ltnq 10605  df-np 10668  df-plp 10670  df-ltp 10672  df-enr 10742  df-nr 10743  df-c 10808  df-nn 11904  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868

This theorem is referenced by: (None)