Theorem wunss 10635

Description: A weak universe is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wununi.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wununi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunss.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
wunss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wununi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wununi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunpw 10630	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wunelss 10631	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
5		wunss.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6	2, 5	sselpwd 5269	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
7	4, 6	sseldd 3922	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  WUnicwun 10623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-in 3896  df-ss 3906  df-pw 4543  df-uni 4851  df-tr 5193  df-wun 10625

This theorem is referenced by:  wunin  10636  wundif  10637  wunint  10638  wun0  10641  wunom  10643  wunxp  10647  wunpm  10648  wunmap  10649  wundm  10651  wunrn  10652  wuncnv  10653  wunres  10654  wunfv  10655  wunco  10656  wuntpos  10657  wuncn  11093  wunstr  17158  wunndx  17165  wunfunc  17868