Theorem wunss 10692

Description: A weak universe is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wununi.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wununi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunss.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
wunss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wununi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wununi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunpw 10687	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wunelss 10688	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
5		wunss.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6	2, 5	sselpwd 5299	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
7	4, 6	sseldd 3938	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  WUnicwun 10680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-in 3912  df-ss 3922  df-pw 4564  df-uni 4873  df-tr 5219  df-wun 10682

This theorem is referenced by:  wunin  10693  wundif  10694  wunint  10695  wun0  10698  wunom  10700  wunxp  10704  wunpm  10705  wunmap  10706  wundm  10708  wunrn  10709  wuncnv  10710  wunres  10711  wunfv  10712  wunco  10713  wuntpos  10714  wuncn  11150  wunstr  17243  wunndx  17250  wunfunc  17953