Theorem wunss 10670

Description: A weak universe is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wununi.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wununi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunss.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
wunss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wununi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wununi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunpw 10665	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wunelss 10666	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
5		wunss.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6	2, 5	sselpwd 5284	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
7	4, 6	sseldd 3937	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4555  WUnicwun 10658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-3an 1100  df-tru 1563  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-in 3911  df-ss 3921  df-pw 4557  df-uni 4866  df-tr 5208  df-wun 10660

This theorem is referenced by:  wunin  10671  wundif  10672  wunint  10673  wun0  10676  wunom  10678  wunxp  10682  wunpm  10683  wunmap  10684  wundm  10686  wunrn  10687  wuncnv  10688  wunres  10689  wunfv  10690  wunco  10691  wuntpos  10692  wuncn  11128  wunstr  17224  wunndx  17231  wunfunc  17934