Theorem wunss 10123

Description: A weak universe is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wununi.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wununi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunss.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
wunss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wununi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wununi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunpw 10118	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wunelss 10119	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
5		wunss.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6	2, 5	sselpwd 5194	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
7	4, 6	sseldd 3916	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  WUnicwun 10111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2158  ax-ext 2770  ax-sep 5167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rab 3115  df-v 3443  df-in 3888  df-ss 3898  df-pw 4499  df-uni 4801  df-tr 5137  df-wun 10113

This theorem is referenced by:  wunin  10124  wundif  10125  wunint  10126  wun0  10129  wunom  10131  wunxp  10135  wunpm  10136  wunmap  10137  wundm  10139  wunrn  10140  wuncnv  10141  wunres  10142  wunfv  10143  wunco  10144  wuntpos  10145  wuncn  10581  wunndx  16496  wunstr  16499  wunfunc  17161