MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunressOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunressOLD 17200
Description: Obsolete proof of wunress 17199 as of 28-Oct-2024. Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
wunress.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
wunress.2 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
wunress.3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
wunressOLD (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ)

Proof of Theorem wunressOLD
StepHypRef Expression
1 wunress.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
2 eqid 2730 . . . . . 6 (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
3 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
42, 3ressval 17180 . . . . 5 ((π‘Š ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = if((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)))
51, 4sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = if((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)))
6 wunress.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
7 df-base 17149 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
8 wunress.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
96, 8wunndx 17132 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ndx ∈ π‘ˆ)
107, 6, 9wunstr 17125 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ π‘ˆ)
11 incom 4200 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ 𝐴)
12 baseid 17151 . . . . . . . . . . 11 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
1312, 6, 1wunstr 17125 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
146, 13wunin 10710 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
1511, 14eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∈ π‘ˆ)
166, 10, 15wunop 10719 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩ ∈ π‘ˆ)
176, 1, 16wunsets 17114 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) ∈ π‘ˆ)
181, 17ifcld 4573 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)) ∈ π‘ˆ)
1918adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ if((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)) ∈ π‘ˆ)
205, 19eqeltrd 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ)
2120ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ))
226wun0 10715 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ π‘ˆ)
23 reldmress 17179 . . . . 5 Rel dom β†Ύs
2423ovprc2 7451 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
2524eleq1d 2816 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ… ∈ π‘ˆ))
2622, 25syl5ibrcom 246 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ))
2721, 26pm2.61d 179 1 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  βŸ¨cop 4633  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857  WUnicwun 10697  1c1 11113   sSet csts 17100  ndxcnx 17130  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-wun 10699  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-plp 10980  df-ltp 10982  df-enr 11052  df-nr 11053  df-c 11118  df-nn 12217  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator