MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunressOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunressOLD 17137
Description: Obsolete proof of wunress 17136 as of 28-Oct-2024. Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
wunress.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
wunress.2 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
wunress.3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
wunressOLD (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ)

Proof of Theorem wunressOLD
StepHypRef Expression
1 wunress.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘ˆ)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
42, 3ressval 17120 . . . . 5 ((π‘Š ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = if((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)))
51, 4sylan 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = if((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)))
6 wunress.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
7 df-base 17089 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
8 wunress.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
96, 8wunndx 17072 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ndx ∈ π‘ˆ)
107, 6, 9wunstr 17065 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ π‘ˆ)
11 incom 4162 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ 𝐴)
12 baseid 17091 . . . . . . . . . . 11 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
1312, 6, 1wunstr 17065 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
146, 13wunin 10654 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ 𝐴) ∈ π‘ˆ)
1511, 14eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∈ π‘ˆ)
166, 10, 15wunop 10663 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩ ∈ π‘ˆ)
176, 1, 16wunsets 17054 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) ∈ π‘ˆ)
181, 17ifcld 4533 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)) ∈ π‘ˆ)
1918adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ if((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴, π‘Š, (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)) ∈ π‘ˆ)
205, 19eqeltrd 2834 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ)
2120ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ))
226wun0 10659 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ π‘ˆ)
23 reldmress 17119 . . . . 5 Rel dom β†Ύs
2423ovprc2 7398 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
2524eleq1d 2819 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ… ∈ π‘ˆ))
2622, 25syl5ibrcom 247 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ))
2721, 26pm2.61d 179 1 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  βŸ¨cop 4593  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803  WUnicwun 10641  1c1 11057   sSet csts 17040  ndxcnx 17070  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-map 8770  df-pm 8771  df-wun 10643  df-ni 10813  df-pli 10814  df-mi 10815  df-lti 10816  df-plpq 10849  df-mpq 10850  df-ltpq 10851  df-enq 10852  df-nq 10853  df-erq 10854  df-plq 10855  df-mq 10856  df-1nq 10857  df-rq 10858  df-ltnq 10859  df-np 10922  df-plp 10924  df-ltp 10926  df-enr 10996  df-nr 10997  df-c 11062  df-nn 12159  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator