MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunressOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunressOLD 17297
Description: Obsolete version of wunress 17296 as of 28-Oct-2024. Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
wunress.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunress.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3 (𝜑𝑊𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunressOLD (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunressOLD
StepHypRef Expression
1 wunress.3 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
2 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑊s 𝐴) = (𝑊s 𝐴)
3 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3ressval 17278 . . . . 5 ((𝑊𝑈𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
51, 4sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6 wunress.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
7 df-base 17249 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
8 wunress.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
96, 8wunndx 17233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)
107, 6, 9wunstr 17226 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
11 incom 4208 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
12 baseid 17251 . . . . . . . . . . 11 Base = Slot (Base‘ndx)
1312, 6, 1wunstr 17226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
146, 13wunin 10754 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
1511, 14eqeltrid 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
166, 10, 15wunop 10763 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
176, 1, 16wunsets 17215 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
181, 17ifcld 4571 . . . . 5 (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
1918adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
205, 19eqeltrd 2840 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
2120ex 412 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
226wun0 10759 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
23 reldmress 17277 . . . . 5 Rel dom ↾s
2423ovprc2 7472 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
2524eleq1d 2825 . . 3 𝐴 ∈ V → ((𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
2622, 25syl5ibrcom 247 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
2721, 26pm2.61d 179 1 (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524  cop 4631  cfv 6560  (class class class)co 7432  ωcom 7888  WUnicwun 10741  1c1 11157   sSet csts 17201  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  s cress 17275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-pm 8870  df-wun 10743  df-ni 10913  df-pli 10914  df-mi 10915  df-lti 10916  df-plpq 10949  df-mpq 10950  df-ltpq 10951  df-enq 10952  df-nq 10953  df-erq 10954  df-plq 10955  df-mq 10956  df-1nq 10957  df-rq 10958  df-ltnq 10959  df-np 11022  df-plp 11024  df-ltp 11026  df-enr 11096  df-nr 11097  df-c 11162  df-nn 12268  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator