MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunressOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunressOLD 17132
Description: Obsolete proof of wunress 17131 as of 28-Oct-2024. Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
wunress.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunress.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3 (𝜑𝑊𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunressOLD (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunressOLD
StepHypRef Expression
1 wunress.3 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
2 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑊s 𝐴) = (𝑊s 𝐴)
3 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3ressval 17115 . . . . 5 ((𝑊𝑈𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
51, 4sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6 wunress.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
7 df-base 17084 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
8 wunress.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
96, 8wunndx 17067 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)
107, 6, 9wunstr 17060 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
11 incom 4161 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
12 baseid 17086 . . . . . . . . . . 11 Base = Slot (Base‘ndx)
1312, 6, 1wunstr 17060 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
146, 13wunin 10649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
1511, 14eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
166, 10, 15wunop 10658 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
176, 1, 16wunsets 17049 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
181, 17ifcld 4532 . . . . 5 (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
1918adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
205, 19eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
2120ex 413 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
226wun0 10654 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
23 reldmress 17114 . . . . 5 Rel dom ↾s
2423ovprc2 7397 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
2524eleq1d 2822 . . 3 𝐴 ∈ V → ((𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
2622, 25syl5ibrcom 246 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
2721, 26pm2.61d 179 1 (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  cop 4592  cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  WUnicwun 10636  1c1 11052   sSet csts 17035  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  s cress 17112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-1cn 11109  ax-addcl 11111
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-wun 10638  df-ni 10808  df-pli 10809  df-mi 10810  df-lti 10811  df-plpq 10844  df-mpq 10845  df-ltpq 10846  df-enq 10847  df-nq 10848  df-erq 10849  df-plq 10850  df-mq 10851  df-1nq 10852  df-rq 10853  df-ltnq 10854  df-np 10917  df-plp 10919  df-ltp 10921  df-enr 10991  df-nr 10992  df-c 11057  df-nn 12154  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator