Theorem wunressOLD 17265

Description: Obsolete proof of wunress 17264 as of 28-Oct-2024. Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunress.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunress.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunressOLD	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunressOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunress.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
2		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressval 17245	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
5	1, 4	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6		wunress.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
7		df-base 17214	. . . . . . . . 9 ⊢ Base = Slot 1
8		wunress.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
9	6, 8	wunndx 17197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)
10	7, 6, 9	wunstr 17190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
11		incom 4202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
12		baseid 17216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
13	12, 6, 1	wunstr 17190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
14	6, 13	wunin 10756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
15	11, 14	eqeltrid 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
16	6, 10, 15	wunop 10765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
17	6, 1, 16	wunsets 17179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
18	1, 17	ifcld 4579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
19	18	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
20	5, 19	eqeltrd 2826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)
21	20	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈))
22	6	wun0 10761	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
23		reldmress 17244	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
24	23	ovprc2 7464	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
25	24	eleq1d 2811	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
26	22, 25	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈))
27	21, 26	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325  ifcif 4533  ⟨cop 4639  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ωcom 7876  WUnicwun 10743  1c1 11159   sSet csts 17165  ndxcnx 17195  Basecbs 17213   ↾_s cress 17242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-1cn 11216  ax-addcl 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-ec 8736  df-qs 8740  df-map 8857  df-pm 8858  df-wun 10745  df-ni 10915  df-pli 10916  df-mi 10917  df-lti 10918  df-plpq 10951  df-mpq 10952  df-ltpq 10953  df-enq 10954  df-nq 10955  df-erq 10956  df-plq 10957  df-mq 10958  df-1nq 10959  df-rq 10960  df-ltnq 10961  df-np 11024  df-plp 11026  df-ltp 11028  df-enr 11098  df-nr 11099  df-c 11164  df-nn 12265  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243

This theorem is referenced by: (None)