Theorem wunressOLD 17201

Description: Obsolete proof of wunress 17200 as of 28-Oct-2024. Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunress.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunress.2	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunressOLD	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunressOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunress.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑈)
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressval 17181	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
5	1, 4	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6		wunress.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
7		df-base 17150	. . . . . . . . 9 ⊢ Base = Slot 1
8		wunress.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
9	6, 8	wunndx 17133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)
10	7, 6, 9	wunstr 17126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
11		incom 4202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
12		baseid 17152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
13	12, 6, 1	wunstr 17126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
14	6, 13	wunin 10711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
15	11, 14	eqeltrid 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
16	6, 10, 15	wunop 10720	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
17	6, 1, 16	wunsets 17115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
18	1, 17	ifcld 4575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
20	5, 19	eqeltrd 2832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈))
22	6	wun0 10716	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
23		reldmress 17180	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
24	23	ovprc2 7452	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
25	24	eleq1d 2817	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
26	22, 25	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈))
27	21, 26	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ifcif 4529  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  ωcom 7858  WUnicwun 10698  1c1 11114   sSet csts 17101  ndxcnx 17131  Basecbs 17149   ↾_s cress 17178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-1cn 11171  ax-addcl 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-map 8825  df-pm 8826  df-wun 10700  df-ni 10870  df-pli 10871  df-mi 10872  df-lti 10873  df-plpq 10906  df-mpq 10907  df-ltpq 10908  df-enq 10909  df-nq 10910  df-erq 10911  df-plq 10912  df-mq 10913  df-1nq 10914  df-rq 10915  df-ltnq 10916  df-np 10979  df-plp 10981  df-ltp 10983  df-enr 11053  df-nr 11054  df-c 11119  df-nn 12218  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179

This theorem is referenced by: (None)