Theorem wuntpos 10570

Description: A weak universe is closed under transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wuntpos	⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuntpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wundm 10564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wuncnv 10566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡dom 𝐴 ∈ 𝑈)
5	1	wun0 10554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
6	1, 5	wunsn 10552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ 𝑈)
7	1, 4, 6	wunun 10546	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡dom 𝐴 ∪ {∅}) ∈ 𝑈)
8	1, 2	wunrn 10565	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ∈ 𝑈)
9	1, 7, 8	wunxp 10560	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴) ∈ 𝑈)
10		tposssxp 8095	. . 3 ⊢ tpos 𝐴 ⊆ ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ⊆ ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴))
12	1, 9, 11	wunss 10548	1 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ∅c0 4267  {csn 4571   × cxp 5606  ^◡ccnv 5607  dom cdm 5608  ran crn 5609  tpos ctpos 8090  WUnicwun 10536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pr 5367

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3443  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-tpos 8091  df-wun 10538

This theorem is referenced by:  catcoppccl  17909  catcoppcclOLD  17910