Theorem wuntpos 10687

Description: A weak universe is closed under transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wuntpos	⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuntpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wundm 10681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wuncnv 10683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡dom 𝐴 ∈ 𝑈)
5	1	wun0 10671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
6	1, 5	wunsn 10669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ 𝑈)
7	1, 4, 6	wunun 10663	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡dom 𝐴 ∪ {∅}) ∈ 𝑈)
8	1, 2	wunrn 10682	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ∈ 𝑈)
9	1, 7, 8	wunxp 10677	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴) ∈ 𝑈)
10		tposssxp 8209	. . 3 ⊢ tpos 𝐴 ⊆ ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ⊆ ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴))
12	1, 9, 11	wunss 10665	1 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639  tpos ctpos 8204  WUnicwun 10653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-tpos 8205  df-wun 10655

This theorem is referenced by:  catcoppccl  18079