Theorem wuntpos 10715

Description: A weak universe is closed under transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wuntpos	⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuntpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wundm 10709	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wuncnv 10711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡dom 𝐴 ∈ 𝑈)
5	1	wun0 10699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
6	1, 5	wunsn 10697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ 𝑈)
7	1, 4, 6	wunun 10691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡dom 𝐴 ∪ {∅}) ∈ 𝑈)
8	1, 2	wunrn 10710	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ∈ 𝑈)
9	1, 7, 8	wunxp 10705	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴) ∈ 𝑈)
10		tposssxp 8222	. . 3 ⊢ tpos 𝐴 ⊆ ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ⊆ ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴))
12	1, 9, 11	wunss 10693	1 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4591   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660  tpos ctpos 8217  WUnicwun 10681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-tpos 8218  df-wun 10683

This theorem is referenced by:  catcoppccl  18170