Theorem wuntpos 9871

Description: A weak universe is closed under transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wuntpos	⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuntpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wundm 9865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wuncnv 9867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡dom 𝐴 ∈ 𝑈)
5	1	wun0 9855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
6	1, 5	wunsn 9853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ 𝑈)
7	1, 4, 6	wunun 9847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡dom 𝐴 ∪ {∅}) ∈ 𝑈)
8	1, 2	wunrn 9866	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ∈ 𝑈)
9	1, 7, 8	wunxp 9861	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴) ∈ 𝑈)
10		tposssxp 7621	. . 3 ⊢ tpos 𝐴 ⊆ ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ⊆ ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴))
12	1, 9, 11	wunss 9849	1 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2166   ∪ cun 3796   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  {csn 4397   × cxp 5340  ^◡ccnv 5341  dom cdm 5342  ran crn 5343  tpos ctpos 7616  WUnicwun 9837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pr 5127

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-tpos 7617  df-wun 9839

This theorem is referenced by:  catcoppccl  17110