Theorem wuntpos 10156

Description: A weak universe is closed under transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wun0.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunop.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wuntpos	⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wuntpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wun0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunop.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wundm 10150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wuncnv 10152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡dom 𝐴 ∈ 𝑈)
5	1	wun0 10140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
6	1, 5	wunsn 10138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ 𝑈)
7	1, 4, 6	wunun 10132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡dom 𝐴 ∪ {∅}) ∈ 𝑈)
8	1, 2	wunrn 10151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ∈ 𝑈)
9	1, 7, 8	wunxp 10146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴) ∈ 𝑈)
10		tposssxp 7896	. . 3 ⊢ tpos 𝐴 ⊆ ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ⊆ ((◡dom 𝐴 ∪ {∅}) × ran 𝐴))
12	1, 9, 11	wunss 10134	1 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3934   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567   × cxp 5553  ^◡ccnv 5554  dom cdm 5555  ran crn 5556  tpos ctpos 7891  WUnicwun 10122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-tpos 7892  df-wun 10124

This theorem is referenced by:  catcoppccl  17368