Theorem pw1exg 4303

Description: The unit power class preserves sethood. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pw1exg	⊢ (A ∈ V → ℘1A ∈ V)

Proof of Theorem pw1exg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpw12 4302	. 2 ⊢ ℘1A = ( SIk (A ×k A) “k V)
2		xpkexg 4289	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ∈ V) → (A ×k A) ∈ V)
3	2	anidms 626	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → (A ×k A) ∈ V)
4		sikexg 4297	. . . 4 ⊢ ((A ×k A) ∈ V → SIk (A ×k A) ∈ V)
5	3, 4	syl 15	. . 3 ⊢ (A ∈ V → SIk (A ×k A) ∈ V)
6		vvex 4110	. . 3 ⊢ V ∈ V
7		imakexg 4300	. . 3 ⊢ (( SIk (A ×k A) ∈ V ∧ V ∈ V) → ( SIk (A ×k A) “k V) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 643	. 2 ⊢ (A ∈ V → ( SIk (A ×k A) “k V) ∈ V)
9	1, 8	syl5eqel 2437	1 ⊢ (A ∈ V → ℘1A ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860  ℘₁cpw1 4136   ×_k cxpk 4175   “_k cimak 4180   SI_k csik 4182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-si 4084  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193

This theorem is referenced by:  pw1ex  4304  pw1exb  4327  pwexg  4329  addcexg  4394  ncfintfin  4496  imaexg  4747  coexg  4750  siexg  4753  qsexg  5983  pw1eltc  6163  ncpw1pwneg  6202  ltcpw1pwg  6203  tcncg  6225  canncb  6333