New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  qsexg GIF version

Theorem qsexg 5982
 Description: A quotient set exists. (Contributed by FL, 19-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
qsexg ((R V A W) → (A / R) V)

Proof of Theorem qsexg
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-qs 5951 . . 3 (A / R) = {x y A x = [y]R}
2 elimapw1 4944 . . . . 5 (x ( ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) “ 1A) ↔ y A {y}, x ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c))
3 elima1c 4947 . . . . . . . . . 10 ({y}, x (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) ↔ z{z}, {y}, x ( Ins2 S Ins3 SI R))
4 elsymdif 3223 . . . . . . . . . . . 12 ({z}, {y}, x ( Ins2 S Ins3 SI R) ↔ ¬ ({z}, {y}, x Ins2 S {z}, {y}, x Ins3 SI R))
5 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {y} V
65otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({z}, {y}, x Ins2 S {z}, x S )
7 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 z V
8 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 x V
97, 8opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({z}, x S z x)
106, 9bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14 ({z}, {y}, x Ins2 S z x)
118otelins3 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({z}, {y}, x Ins3 SI R{z}, {y} SI R)
12 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (zRyz, y R)
13 brcnv 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (zRyyRz)
1412, 13bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z, y RyRz)
15 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 y V
167, 15opsnelsi 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({z}, {y} SI Rz, y R)
17 elec 5964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z [y]RyRz)
1814, 16, 173bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({z}, {y} SI Rz [y]R)
1911, 18bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14 ({z}, {y}, x Ins3 SI Rz [y]R)
2010, 19bibi12i 306 . . . . . . . . . . . . 13 (({z}, {y}, x Ins2 S {z}, {y}, x Ins3 SI R) ↔ (z xz [y]R))
2120notbii 287 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ({z}, {y}, x Ins2 S {z}, {y}, x Ins3 SI R) ↔ ¬ (z xz [y]R))
224, 21bitri 240 . . . . . . . . . . 11 ({z}, {y}, x ( Ins2 S Ins3 SI R) ↔ ¬ (z xz [y]R))
2322exbii 1582 . . . . . . . . . 10 (z{z}, {y}, x ( Ins2 S Ins3 SI R) ↔ z ¬ (z xz [y]R))
243, 23bitri 240 . . . . . . . . 9 ({y}, x (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) ↔ z ¬ (z xz [y]R))
2524notbii 287 . . . . . . . 8 {y}, x (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) ↔ ¬ z ¬ (z xz [y]R))
265, 8opex 4588 . . . . . . . . 9 {y}, x V
2726elcompl 3225 . . . . . . . 8 ({y}, x ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) ↔ ¬ {y}, x (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c))
28 alex 1572 . . . . . . . 8 (z(z xz [y]R) ↔ ¬ z ¬ (z xz [y]R))
2925, 27, 283bitr4i 268 . . . . . . 7 ({y}, x ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) ↔ z(z xz [y]R))
30 dfcleq 2347 . . . . . . 7 (x = [y]Rz(z xz [y]R))
3129, 30bitr4i 243 . . . . . 6 ({y}, x ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) ↔ x = [y]R)
3231rexbii 2639 . . . . 5 (y A {y}, x ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) ↔ y A x = [y]R)
332, 32bitri 240 . . . 4 (x ( ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) “ 1A) ↔ y A x = [y]R)
3433abbi2i 2464 . . 3 ( ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) “ 1A) = {x y A x = [y]R}
351, 34eqtr4i 2376 . 2 (A / R) = ( ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) “ 1A)
36 ssetex 4744 . . . . . . 7 S V
3736ins2ex 5797 . . . . . 6 Ins2 S V
38 cnvexg 5101 . . . . . . 7 (R VR V)
39 siexg 4752 . . . . . . 7 (R V → SI R V)
40 ins3exg 5796 . . . . . . 7 ( SI R V → Ins3 SI R V)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . 6 (R VIns3 SI R V)
42 symdifexg 4103 . . . . . 6 (( Ins2 S V Ins3 SI R V) → ( Ins2 S Ins3 SI R) V)
4337, 41, 42sylancr 644 . . . . 5 (R V → ( Ins2 S Ins3 SI R) V)
44 1cex 4142 . . . . 5 1c V
45 imaexg 4746 . . . . 5 ((( Ins2 S Ins3 SI R) V 1c V) → (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) V)
4643, 44, 45sylancl 643 . . . 4 (R V → (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) V)
47 complexg 4099 . . . 4 ((( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) V → ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) V)
4846, 47syl 15 . . 3 (R V → ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) V)
49 pw1exg 4302 . . 3 (A W1A V)
50 imaexg 4746 . . 3 (( ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) V 1A V) → ( ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) “ 1A) V)
5148, 49, 50syl2an 463 . 2 ((R V A W) → ( ∼ (( Ins2 S Ins3 SI R) “ 1c) “ 1A) V)
5235, 51syl5eqel 2437 1 ((R V A W) → (A / R) V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   ⊕ csymdif 3209  {csn 3737  1cc1c 4134  ℘1cpw1 4135  ⟨cop 4561   class class class wbr 4639   S csset 4719   SI csi 4720   “ cima 4722  ◡ccnv 4771   Ins2 cins2 5749   Ins3 cins3 5751  [cec 5945   / cqs 5946 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-ec 5947  df-qs 5951 This theorem is referenced by:  qsex  5983
 Copyright terms: Public domain W3C validator