Theorem qsexg 5983

Description: A quotient set exists. (Contributed by FL, 19-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qsexg	⊢ ((R ∈ V ∧ A ∈ W) → (A / R) ∈ V)

Proof of Theorem qsexg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 5952	. . 3 ⊢ (A / R) = {x ∣ ∃y ∈ A x = [y]R}
2		elimapw1 4945	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ( ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) “ ℘1A) ↔ ∃y ∈ A ⟨{y}, x⟩ ∈ ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c))
3		elima1c 4948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨{y}, x⟩ ∈ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ↔ ∃z⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ ( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R))
4		elsymdif 3224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ ( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) ↔ ¬ (⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ ⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ Ins3 SI ◡R))
5		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {y} ∈ V
6	5	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ ⟨{z}, x⟩ ∈ S )
7		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ z ∈ V
8		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ x ∈ V
9	7, 8	opelssetsn 4761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨{z}, x⟩ ∈ S ↔ z ∈ x)
10	6, 9	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ z ∈ x)
11	8	otelins3 5793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ Ins3 SI ◡R ↔ ⟨{z}, {y}⟩ ∈ SI ◡R)
12		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z◡Ry ↔ ⟨z, y⟩ ∈ ◡R)
13		brcnv 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z◡Ry ↔ yRz)
14	12, 13	bitr3i 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨z, y⟩ ∈ ◡R ↔ yRz)
15		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ y ∈ V
16	7, 15	opsnelsi 5775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨{z}, {y}⟩ ∈ SI ◡R ↔ ⟨z, y⟩ ∈ ◡R)
17		elec 5965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ [y]R ↔ yRz)
18	14, 16, 17	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨{z}, {y}⟩ ∈ SI ◡R ↔ z ∈ [y]R)
19	11, 18	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ Ins3 SI ◡R ↔ z ∈ [y]R)
20	10, 19	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ ⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ Ins3 SI ◡R) ↔ (z ∈ x ↔ z ∈ [y]R))
21	20	notbii 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ Ins2 S ↔ ⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ Ins3 SI ◡R) ↔ ¬ (z ∈ x ↔ z ∈ [y]R))
22	4, 21	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ ( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) ↔ ¬ (z ∈ x ↔ z ∈ [y]R))
23	22	exbii 1582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃z⟨{z}, ⟨{y}, x⟩⟩ ∈ ( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) ↔ ∃z ¬ (z ∈ x ↔ z ∈ [y]R))
24	3, 23	bitri 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨{y}, x⟩ ∈ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ↔ ∃z ¬ (z ∈ x ↔ z ∈ [y]R))
25	24	notbii 287	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ⟨{y}, x⟩ ∈ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ↔ ¬ ∃z ¬ (z ∈ x ↔ z ∈ [y]R))
26	5, 8	opex 4589	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨{y}, x⟩ ∈ V
27	26	elcompl 3226	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨{y}, x⟩ ∈ ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ↔ ¬ ⟨{y}, x⟩ ∈ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c))
28		alex 1572	. . . . . . . 8 ⊢ (∀z(z ∈ x ↔ z ∈ [y]R) ↔ ¬ ∃z ¬ (z ∈ x ↔ z ∈ [y]R))
29	25, 27, 28	3bitr4i 268	. . . . . . 7 ⊢ (⟨{y}, x⟩ ∈ ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ↔ ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ [y]R))
30		dfcleq 2347	. . . . . . 7 ⊢ (x = [y]R ↔ ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ [y]R))
31	29, 30	bitr4i 243	. . . . . 6 ⊢ (⟨{y}, x⟩ ∈ ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ↔ x = [y]R)
32	31	rexbii 2640	. . . . 5 ⊢ (∃y ∈ A ⟨{y}, x⟩ ∈ ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ↔ ∃y ∈ A x = [y]R)
33	2, 32	bitri 240	. . . 4 ⊢ (x ∈ ( ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) “ ℘1A) ↔ ∃y ∈ A x = [y]R)
34	33	abbi2i 2465	. . 3 ⊢ ( ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) “ ℘1A) = {x ∣ ∃y ∈ A x = [y]R}
35	1, 34	eqtr4i 2376	. 2 ⊢ (A / R) = ( ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) “ ℘1A)
36		ssetex 4745	. . . . . . 7 ⊢ S ∈ V
37	36	ins2ex 5798	. . . . . 6 ⊢ Ins2 S ∈ V
38		cnvexg 5102	. . . . . . 7 ⊢ (R ∈ V → ◡R ∈ V)
39		siexg 4753	. . . . . . 7 ⊢ (◡R ∈ V → SI ◡R ∈ V)
40		ins3exg 5797	. . . . . . 7 ⊢ ( SI ◡R ∈ V → Ins3 SI ◡R ∈ V)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (R ∈ V → Ins3 SI ◡R ∈ V)
42		symdifexg 4104	. . . . . 6 ⊢ (( Ins2 S ∈ V ∧ Ins3 SI ◡R ∈ V) → ( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) ∈ V)
43	37, 41, 42	sylancr 644	. . . . 5 ⊢ (R ∈ V → ( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) ∈ V)
44		1cex 4143	. . . . 5 ⊢ 1c ∈ V
45		imaexg 4747	. . . . 5 ⊢ ((( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) ∈ V ∧ 1c ∈ V) → (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ∈ V)
46	43, 44, 45	sylancl 643	. . . 4 ⊢ (R ∈ V → (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ∈ V)
47		complexg 4100	. . . 4 ⊢ ((( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ∈ V → ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ∈ V)
48	46, 47	syl 15	. . 3 ⊢ (R ∈ V → ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ∈ V)
49		pw1exg 4303	. . 3 ⊢ (A ∈ W → ℘1A ∈ V)
50		imaexg 4747	. . 3 ⊢ (( ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) ∈ V ∧ ℘1A ∈ V) → ( ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) “ ℘1A) ∈ V)
51	48, 49, 50	syl2an 463	. 2 ⊢ ((R ∈ V ∧ A ∈ W) → ( ∼ (( Ins2 S ⊕ Ins3 SI ◡R) “ 1c) “ ℘1A) ∈ V)
52	35, 51	syl5eqel 2437	1 ⊢ ((R ∈ V ∧ A ∈ W) → (A / R) ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∃wrex 2616  Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   ⊕ csymdif 3210  {csn 3738  1_cc1c 4135  ℘₁cpw1 4136  ⟨cop 4562   class class class wbr 4640   S csset 4720   SI csi 4721   “ cima 4723  ^◡ccnv 4772   Ins2 cins2 5750   Ins3 cins3 5752  [cec 5946   / cqs 5947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-ec 5948  df-qs 5952

This theorem is referenced by:  qsex  5984