MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem7 24042
Description: Lemma for aaliou3 24044. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem7 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem7
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10992 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2 eqid 2621 . . . 4 (𝑐 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) ↦ ((2↑-(!‘(𝐴 + 1))) · ((1 / 2)↑(𝑐 − (𝐴 + 1))))) = (𝑐 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) ↦ ((2↑-(!‘(𝐴 + 1))) · ((1 / 2)↑(𝑐 − (𝐴 + 1)))))
3 aaliou3lem.c . . . 4 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
42, 3aaliou3lem3 24037 . . 3 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (seq(𝐴 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
5 3simpc 1058 . . 3 ((seq(𝐴 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) → (Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
61, 4, 53syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
7 nncn 10988 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
8 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
9 pncan 10247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
107, 8, 9sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
1110oveq2d 6631 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (1...((𝐴 + 1) − 1)) = (1...𝐴))
1211sumeq1d 14381 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...((𝐴 + 1) − 1))(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
1312oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (Σ𝑏 ∈ (1...((𝐴 + 1) − 1))(𝐹𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)))
14 nnuz 11683 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
15 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(𝐴 + 1)) = (ℤ‘(𝐴 + 1))
16 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))
17 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
1817negeqd 10235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
1918oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
20 ovex 6643 . . . . . . . . . . . 12 (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
2119, 3, 20fvmpt 6249 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
22 2rp 11797 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
23 nnnn0 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
24 faccl 13026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℕ0 → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
2625nnzd 11441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
2726znegcld 11444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
28 rpexpcl 12835 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
2922, 27, 28sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
3029rpcnd 11834 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℂ)
3121, 30eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
3231adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
33 1nn 10991 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
34 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ (ℤ‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1)))) = (𝑐 ∈ (ℤ‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 1))))
3534, 3aaliou3lem3 24037 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℕ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘1)))))
3635simp1d 1071 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3733, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3814, 15, 1, 16, 32, 37isumsplit 14516 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏) = (Σ𝑏 ∈ (1...((𝐴 + 1) − 1))(𝐹𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)))
39 oveq2 6623 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
4039sumeq1d 14381 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
41 aaliou3lem.e . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
42 sumex 14368 . . . . . . . . . 10 Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 6249 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
4443oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)) = (Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)))
4513, 38, 443eqtr4rd 2666 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)) = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏))
46 aaliou3lem.d . . . . . . 7 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
4745, 46syl6eqr 2673 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)) = 𝐿)
483, 46, 41aaliou3lem4 24039 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ ℝ
4948recni 10012 . . . . . . . 8 𝐿 ∈ ℂ
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℂ)
513, 46, 41aaliou3lem5 24040 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
5251recnd 10028 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℂ)
534simp2d 1072 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
541, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
5554rpcnd 11834 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℂ)
5650, 52, 55subaddd 10370 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐿 − (𝐻𝐴)) = Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ↔ ((𝐻𝐴) + Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏)) = 𝐿))
5747, 56mpbird 247 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐿 − (𝐻𝐴)) = Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏))
5857eqcomd 2627 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) = (𝐿 − (𝐻𝐴)))
59 eleq1 2686 . . . . 5 𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) = (𝐿 − (𝐻𝐴)) → (Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ↔ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+))
60 breq1 4626 . . . . 5 𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) = (𝐿 − (𝐻𝐴)) → (Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ↔ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
6159, 60anbi12d 746 . . . 4 𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) = (𝐿 − (𝐻𝐴)) → ((Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ↔ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))
6258, 61syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ↔ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))
6351adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
64 simprl 793 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+)
65 difrp 11828 . . . . . . . 8 (((𝐻𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐻𝐴) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+))
6663, 48, 65sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) < 𝐿 ↔ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+))
6764, 66mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐻𝐴) < 𝐿)
6863, 67ltned 10133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐻𝐴) ≠ 𝐿)
69 nnnn0 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
70 faccl 13026 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
711, 69, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
7271nnzd 11441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
7372znegcld 11444 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
74 rpexpcl 12835 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝐴 + 1)) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘(𝐴 + 1))) ∈ ℝ+)
7522, 73, 74sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘(𝐴 + 1))) ∈ ℝ+)
76 rpmulcl 11815 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝐴 + 1))) ∈ ℝ+) → (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ+)
7722, 75, 76sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ+)
7877adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ+)
7978rpred 11832 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ)
8063, 79resubcld 10418 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) − (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ∈ ℝ)
8148a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → 𝐿 ∈ ℝ)
8263, 78ltsubrpd 11864 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) − (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) < (𝐻𝐴))
8380, 63, 81, 82, 67lttrd 10158 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) − (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) < 𝐿)
8480, 81, 83ltled 10145 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) − (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ≤ 𝐿)
85 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))
8681, 63, 79lesubadd2d 10586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ↔ 𝐿 ≤ ((𝐻𝐴) + (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))
8785, 86mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → 𝐿 ≤ ((𝐻𝐴) + (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
8881, 63, 79absdifled 14123 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))) ↔ (((𝐻𝐴) − (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) ≤ 𝐿𝐿 ≤ ((𝐻𝐴) + (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))))
8984, 87, 88mpbir2and 956 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))
9068, 89jca 554 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))) → ((𝐻𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
9190ex 450 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (((𝐿 − (𝐻𝐴)) ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 − (𝐻𝐴)) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) → ((𝐻𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))
9262, 91sylbid 230 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))) → ((𝐻𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1)))))))
936, 92mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐻𝐴) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝐴))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝐴 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cmpt 4683  dom cdm 5084  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  +crp 11792  ...cfz 12284  seqcseq 12757  cexp 12816  !cfa 13016  abscabs 13924  cli 14165  Σcsu 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  24043
  Copyright terms: Public domain W3C validator