MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1c 18410
Description: The factors of ablfac1b 18409 cover the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
ablfac1c (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑝,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑤,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1c
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1.f . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
2 ablfac1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
32dprdssv 18355 . . 3 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵)
5 ssfi 8140 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
61, 3, 5sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
7 hashcl 13103 . . . . 5 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0)
9 hashcl 13103 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
11 ablfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfac1.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
13 ablfac1.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
14 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
152, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1b 18409 . . . . . 6 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
16 dprdsubg 18363 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
182lagsubg 17596 . . . . 5 (((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (#‘𝐵))
1917, 1, 18syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (#‘𝐵))
20 breq1 4626 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (#‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
21 ablfac1c.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)}
2220, 21elrab2 3353 . . . . . . . . . 10 (𝑞𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
23 ablfac1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝐴)
2423sseld 3587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞𝐷𝑞𝐴))
2522, 24syl5bir 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)) → 𝑞𝐴))
2625impl 649 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)) → 𝑞𝐴)
272, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1a 18408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑆𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
28 fvex 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝐺) ∈ V
292, 28eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ∈ V
3029rabex 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} ∈ V
3130, 12dmmpti 5990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑆 = 𝐴
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
3315, 32dprdf2 18346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3433ffvelrnda 6325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3515adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑆)
3631a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → dom 𝑆 = 𝐴)
37 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
3835, 36, 37dprdub 18364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
3917adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
40 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))
4140subsubg 17557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ↔ ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ↔ ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))))
4334, 38, 42mpbir2and 956 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
4440subgbas 17538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 DProd 𝑆) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
466adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
4745, 46eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∈ Fin)
48 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))
4948lagsubg 17596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∧ (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∈ Fin) → (#‘(𝑆𝑞)) ∥ (#‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5043, 47, 49syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑆𝑞)) ∥ (#‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5145fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (#‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5250, 51breqtrrd 4651 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑆𝑞)) ∥ (#‘(𝐺 DProd 𝑆)))
5327, 52eqbrtrrd 4647 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝐺 DProd 𝑆)))
5414sselda 3588 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
558nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ)
57 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
58 ablgrp 18138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
592grpbn0 17391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
6013, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
61 hashnncl 13113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
621, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
6360, 62mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
6557, 64pccld 15498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0)
6654, 65syldan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0)
67 pcdvdsb 15516 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6854, 56, 66, 67syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6953, 68mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))))
7069adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))))
7126, 70syldan 487 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))))
72 pceq0 15518 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (#‘𝐵)) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
7357, 64, 72syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞 pCnt (#‘𝐵)) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
7473biimpar 502 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) = 0)
75 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐺) = (0g𝐺)
7675subg0cl 17542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
77 ne0i 3903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
7817, 76, 773syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
79 hashnncl 13113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin → ((#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅))
806, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅))
8178, 80mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ)
8357, 82pccld 15498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))) ∈ ℕ0)
8483nn0ge0d 11314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8584adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)) → 0 ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8674, 85eqbrtrd 4645 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8771, 86pm2.61dan 831 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8887ralrimiva 2962 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8910nn0zd 11440 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
90 pc2dvds 15526 . . . . . 6 (((#‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ) → ((#‘𝐵) ∥ (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆)))))
9189, 55, 90syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐵) ∥ (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (#‘(𝐺 DProd 𝑆)))))
9288, 91mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐵) ∥ (#‘(𝐺 DProd 𝑆)))
93 dvdseq 14979 . . . 4 ((((#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((#‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (#‘𝐵) ∧ (#‘𝐵) ∥ (#‘(𝐺 DProd 𝑆)))) → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (#‘𝐵))
948, 10, 19, 92, 93syl22anc 1324 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (#‘𝐵))
95 hashen 13091 . . . 4 (((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (#‘𝐵) ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵))
966, 1, 95syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((#‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (#‘𝐵) ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵))
9794, 96mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵)
98 fisseneq 8131 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵) → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
991, 4, 97, 98syl3anc 1323 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  {crab 2912  Vcvv 3190  wss 3560  c0 3897   class class class wbr 4623  cmpt 4683  dom cdm 5084  cfv 5857  (class class class)co 6615  cen 7912  Fincfn 7915  0cc0 9896  cle 10035  cn 10980  0cn0 11252  cz 11337  cexp 12816  #chash 13073  cdvds 14926  cprime 15328   pCnt cpc 15484  Basecbs 15800  s cress 15801  0gc0g 16040  Grpcgrp 17362  SubGrpcsubg 17528  odcod 17884  Abelcabl 18134   DProd cdprd 18332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-disj 4594  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-ec 7704  df-qs 7708  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-pc 15485  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-eqg 17533  df-ghm 17598  df-gim 17641  df-ga 17663  df-cntz 17690  df-oppg 17716  df-od 17888  df-lsm 17991  df-pj1 17992  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-dprd 18334
This theorem is referenced by:  ablfaclem2  18425
  Copyright terms: Public domain W3C validator