MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asin1 24335
Description: The arcsine of 1 is π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asin1 (arcsin‘1) = (π / 2)

Proof of Theorem asin1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9847 . . 3 1 ∈ ℂ
2 asinval 24323 . . 3 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))))
4 ax-icn 9848 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
54addid1i 10071 . . . . . 6 (i + 0) = i
64mulid1i 9895 . . . . . . 7 (i · 1) = i
7 sq1 12772 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
87oveq2i 6535 . . . . . . . . . 10 (1 − (1↑2)) = (1 − 1)
9 1m1e0 10933 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
108, 9eqtri 2628 . . . . . . . . 9 (1 − (1↑2)) = 0
1110fveq2i 6088 . . . . . . . 8 (√‘(1 − (1↑2))) = (√‘0)
12 sqrt0 13773 . . . . . . . 8 (√‘0) = 0
1311, 12eqtri 2628 . . . . . . 7 (√‘(1 − (1↑2))) = 0
146, 13oveq12i 6536 . . . . . 6 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (i + 0)
15 efhalfpi 23941 . . . . . 6 (exp‘(i · (π / 2))) = i
165, 14, 153eqtr4i 2638 . . . . 5 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (exp‘(i · (π / 2)))
1716fveq2i 6088 . . . 4 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (log‘(exp‘(i · (π / 2))))
18 halfpire 23934 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
1918recni 9905 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℂ
204, 19mulcli 9898 . . . . . 6 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
21 pipos 23930 . . . . . . . . 9 0 < π
22 pire 23928 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
23 lt0neg2 10381 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 < π ↔ -π < 0)
2521, 24mpbi 218 . . . . . . . 8 -π < 0
26 pirp 23931 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
27 rphalfcl 11687 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ+
29 rpgt0 11673 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 < (π / 2)
3122renegcli 10190 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
32 0re 9893 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3331, 32, 18lttri 10011 . . . . . . . 8 ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
3425, 30, 33mp2an 703 . . . . . . 7 -π < (π / 2)
3520addid2i 10072 . . . . . . . . 9 (0 + (i · (π / 2))) = (i · (π / 2))
3635fveq2i 6088 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
3732, 18crimi 13724 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (π / 2)
3836, 37eqtr3i 2630 . . . . . . 7 (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
3934, 38breqtrri 4601 . . . . . 6 -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
40 rphalflt 11689 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
4126, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 2) < π
4218, 22, 41ltleii 10008 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ π
4338, 42eqbrtri 4595 . . . . . 6 (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
44 ellogrn 24024 . . . . . 6 ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
4520, 39, 43, 44mpbir3an 1236 . . . . 5 (i · (π / 2)) ∈ ran log
46 logef 24046 . . . . 5 ((i · (π / 2)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2)))
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2))
4817, 47eqtri 2628 . . 3 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (i · (π / 2))
4948oveq2i 6535 . 2 (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))) = (-i · (i · (π / 2)))
504, 4mulneg1i 10323 . . . . . 6 (-i · i) = -(i · i)
51 ixi 10502 . . . . . . 7 (i · i) = -1
5251negeqi 10122 . . . . . 6 -(i · i) = --1
53 negneg1e1 10972 . . . . . 6 --1 = 1
5450, 52, 533eqtri 2632 . . . . 5 (-i · i) = 1
5554oveq1i 6534 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
56 negicn 10130 . . . . 5 -i ∈ ℂ
5756, 4, 19mulassi 9902 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5855, 57eqtr3i 2630 . . 3 (1 · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5919mulid2i 9896 . . 3 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
6058, 59eqtr3i 2630 . 2 (-i · (i · (π / 2))) = (π / 2)
613, 49, 603eqtri 2632 1 (arcsin‘1) = (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4574  ran crn 5026  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790  ici 9791   + caddc 9792   · cmul 9794   < clt 9927  cle 9928  cmin 10114  -cneg 10115   / cdiv 10530  2c2 10914  +crp 11661  cexp 12674  cim 13629  csqrt 13764  expce 14574  πcpi 14579  logclog 24019  arcsincasin 24303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-ef 14580  df-sin 14582  df-cos 14583  df-pi 14585  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cncf 22417  df-limc 23350  df-dv 23351  df-log 24021  df-asin 24306
This theorem is referenced by:  acos1  24336  reasinsin  24337  areacirc  32475
  Copyright terms: Public domain W3C validator