MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly2 14708
Description: The Bernoulli polynomials at two. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly2 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))

Proof of Theorem bpoly2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 11254 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 bpolyval 14700 . . 3 ((2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 705 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))))
4 2m1e1 11080 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
5 0p1e1 11077 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
64, 5eqtr4i 2651 . . . . . 6 (2 − 1) = (0 + 1)
76oveq2i 6616 . . . . 5 (0...(2 − 1)) = (0...(0 + 1))
87sumeq1i 14357 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))
9 0nn0 11252 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
10 nn0uz 11666 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
119, 10eleqtri 2702 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
13 0z 11333 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
14 fzpr 12335 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
1615eleq2i 2696 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ {0, (0 + 1)})
17 vex 3194 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ V
1817elpr 4174 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {0, (0 + 1)} ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1)))
1916, 18bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1)))
20 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (2C𝑘) = (2C0))
21 bcn0 13034 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℕ0 → (2C0) = 1)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2C0) = 1
2320, 22syl6eq 2676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (2C𝑘) = 1)
24 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
25 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (2 − 𝑘) = (2 − 0))
2625oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → ((2 − 𝑘) + 1) = ((2 − 0) + 1))
27 2cn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
2827subid1i 10298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 0) = 2
2928oveq1i 6615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 − 0) + 1) = (2 + 1)
30 df-3 11025 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
3129, 30eqtr4i 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 − 0) + 1) = 3
3226, 31syl6eq 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((2 − 𝑘) + 1) = 3)
3324, 32oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 3))
3423, 33oveq12d 6623 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
35 bpoly0 14701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
3635oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 3) = (1 / 3))
3736oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) = (1 · (1 / 3)))
38 3cn 11040 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
39 3ne0 11060 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≠ 0
4038, 39reccli 10700 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℂ
4140mulid2i 9988 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (1 / 3)) = (1 / 3)
4237, 41syl6eq 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) = (1 / 3))
4334, 42sylan9eqr 2682 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 / 3))
4443, 40syl6eqel 2712 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
455eqeq2i 2638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
46 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (2C𝑘) = (2C1))
47 bcn1 13037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℕ0 → (2C1) = 2)
481, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (2C1) = 2
4946, 48syl6eq 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (2C𝑘) = 2)
50 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
51 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → (2 − 𝑘) = (2 − 1))
5251oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((2 − 𝑘) + 1) = ((2 − 1) + 1))
53 ax-1cn 9939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
54 npcan 10235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 − 1) + 1) = 2)
5527, 53, 54mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 − 1) + 1) = 2
5652, 55syl6eq 2676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((2 − 𝑘) + 1) = 2)
5750, 56oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 2))
5849, 57oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)))
5945, 58sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (0 + 1) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)))
60 bpoly1 14702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
6160oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 BernPoly 𝑋) / 2) = ((𝑋 − (1 / 2)) / 2))
6261oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)) = (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)))
63 halfcn 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℂ
64 subcl 10225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
6563, 64mpan2 706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
66 2ne0 11058 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
67 divcan2 10638 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
6827, 66, 67mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7062, 69eqtrd 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7159, 70sylan9eqr 2682 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 2)))
7265adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
7371, 72eqeltrd 2704 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7444, 73jaodan 825 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1))) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7519, 74sylan2b 492 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7612, 75, 59fsump1 14410 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) + (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2))))
7742, 40syl6eqel 2712 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) ∈ ℂ)
7834fsum1 14401 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
7913, 77, 78sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
8079, 42eqtrd 2660 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 / 3))
8180, 70oveq12d 6623 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) + (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2))) = ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))))
8276, 81eqtrd 2660 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))))
83 addsub12 10239 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))))
8440, 63, 83mp3an13 1412 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))))
8563, 40negsubdi2i 10312 . . . . . . . 8 -((1 / 2) − (1 / 3)) = ((1 / 3) − (1 / 2))
86 halfthird 11629 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
8786negeqi 10219 . . . . . . . 8 -((1 / 2) − (1 / 3)) = -(1 / 6)
8885, 87eqtr3i 2650 . . . . . . 7 ((1 / 3) − (1 / 2)) = -(1 / 6)
8988oveq2i 6616 . . . . . 6 (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))) = (𝑋 + -(1 / 6))
9084, 89syl6eq 2676 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + -(1 / 6)))
91 6cn 11047 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
92 6re 11046 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
93 6pos 11064 . . . . . . . 8 0 < 6
9492, 93gt0ne0ii 10509 . . . . . . 7 6 ≠ 0
9591, 94reccli 10700 . . . . . 6 (1 / 6) ∈ ℂ
96 negsub 10274 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → (𝑋 + -(1 / 6)) = (𝑋 − (1 / 6)))
9795, 96mpan2 706 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + -(1 / 6)) = (𝑋 − (1 / 6)))
9882, 90, 973eqtrd 2664 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 6)))
998, 98syl5eq 2672 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 6)))
10099oveq2d 6621 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))))
101 sqcl 12862 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
102 subsub 10256 . . . 4 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
10395, 102mp3an3 1410 . . 3 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
104101, 103mpancom 702 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
1053, 100, 1043eqtrd 2664 1 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  {cpr 4155  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cmin 10211  -cneg 10212   / cdiv 10629  2c2 11015  3c3 11016  6c6 11019  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  cexp 12797  Ccbc 13026  Σcsu 14345   BernPoly cbp 14697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-bpoly 14698
This theorem is referenced by:  bpoly3  14709  bpoly4  14710
  Copyright terms: Public domain W3C validator